Геометрия 7 класс как научиться доказывать


Как доказывать теоремы?

Как доказывать теоремы?

Процедура доказательства теоремы только кажется сложной. Достаточно уметь логически мыслить, иметь необходимые знания по данной научной дисциплине, и доказать теорему для вас не составит труда. Важно выполнять все действия четко в правильной последовательности.

В некоторых науках, к примеру, в алгебре и геометрии, одним из важнейших умений является умение доказывать теоремы. Это связано с тем, что доказанные теоремы впоследствии пригодятся для того, чтобы решать задачи. Нужно не просто выучить алгоритм доказательства, а суметь понять ее суть. Давайте разберемся, как доказывать теоремы.

Доказательство теорем

Для начала следует сделать чертеж, он должен быть четким и аккуратным. После этого нужно отметить на нем заданные условия. В графе «Дано» нужно записать все величины, которые вам изначально известны, и то, что нужно доказать. После этого можно заняться доказательством. По сути, это цепочка логически выстроенных мыслей, которые позволяют показать то, что какое-либо утверждение является верным. Доказательство теоремы подразумевает использование других теорем, аксиом, применение действия от противного и т.д.

Итак, доказательством теоремы является определенная последовательность действий, позволяющих получить утверждение, истинность которого нельзя оспорить. Как правило, наиболее трудным во время доказательства является как раз поиск последовательности логических рассуждений. Если же это удастся, то вы сможете доказать то, что от вас требовалось.

Как доказывать теоремы по геометрии без труда

Чтобы упростить себе задачу, можно разбить теорему на части, и доказывать каждую из них по отдельности, что в итоге приведет вас к результату. В некоторых случаях эффективно использовать метод «доказательства от противного». Тогда нужно начинать со слов «предположим обратное». Следует объяснить, почему в данном случае то или иное заключение невозможно. Заканчивать нужно словами «значит, первоначальное утверждение является верным. Теорема доказана».

Еще больше полезной информации по геометрии можно найти в разделе Геометрия.

Седьмой класс (7 класс) Вопросы по геометрии и измерениям для тестов и рабочих листов

Расположите следующие многоугольники в порядке от наименьшего к наибольшему количеству сторон.

Шестиугольник, треугольник, десятиугольник, пятиугольник

  1. Десятиугольник, шестиугольник, пятиугольник, треугольник
  2. Треугольник, шестиугольник, пятиугольник, десятиугольник
  3. Шестиугольник, треугольник, десятиугольник, пятиугольник
  4. Треугольник, пятиугольник, шестиугольник, десятиугольник
.

Как помочь ученикам понять геометрию средней школы?

Вы здесь: Главная → Статьи → Помощь по геометрии в старших классах

Если вы прочитали первую часть этой статьи, то уже заметили, что лучшие меры по оказанию помощи учащимся, изучающим геометрию в старших классах, принимаются до старшей школы. Нам необходимо улучшить преподавание геометрии в начальной и средней школе, чтобы уровень Ван Хиле учащихся был доведен как минимум до уровня абстрактного / относительного. Некоторые моменты, которые следует учитывать:

  • Нам нужно включить больше обоснований, неформальных доказательств и вопросов «почему» в преподавание математики в начальной и средней школе.
  • В общем, учащимся нужно думать, рассуждать, анализировать и использовать свой мозг в различных школьных предметах (не только по математике).

В данной статье мы сосредоточимся только на первом пункте.


Понимание концепций геометрии / Уровни Ван Хиле

Можно ожидать, что дети до первого класса находятся на первом уровне ван Хиле - визуальном. Это означает, что дети узнают геометрические фигуры по внешнему виду, а не по их свойствам.На этом уровне дети в основном изучают названия фигур, таких как квадрат, треугольник, прямоугольник и круг.

В начальной школе (2–5 классы) дети должны исследовать геометрические фигуры и играть с ними, чтобы достичь второго уровня Ван Хиле (описательного / аналитического). Именно тогда они могут определять свойства фигур и распознавать их по их свойствам, а не полагаться на внешний вид .

Например, учащиеся должны понять, что прямоугольник имеет четыре прямых угла, и даже если он повернут на своем «углу», он все равно остается прямоугольником.Дети должны узнать о параллельных линиях и понять, что делает фигуру параллелограммом. Студенты должны разделять фигуры на разные формы (например, делить квадрат на два прямоугольника), комбинировать формы для образования новых и, конечно, давать имена новым формам.

Рисование также помогает . Научите учеников пользоваться линейкой, циркулем и протектором и дайте им много практики, чтобы рисовать квадраты, прямоугольники, параллелограммы и круги с соответствующими инструментами и с максимальной точностью.Например, попросите учащихся нарисовать равнобедренный треугольник с верхним углом 40 ° или ромб со сторонами 4 дюйма и одним углом 66 °. Я часто использую это в своей книге Math Mammoth Geometry 1.

Если все пойдет хорошо, в средней школе (6-8 классы) учащиеся перейдут на третий уровень Ван Хиле (абстрактный / относительный), где они смогут понимать и формировать абстрактные определения, различать необходимые и достаточные условия для концепции, и понять отношения между различными формами .Таким образом, ученики будут подготовлены к формальным доказательствам и дедуктивным рассуждениям в геометрии средней школы.

Эксперименты показали, что это действительно возможно при правильном обучении. Ключ состоит в том, чтобы подчеркнуть геометрические концепции и предоставить учащимся множество практических занятий, таких как рисование фигур и работа с манипуляторами, вместо простого запоминания формул и определений, вычисления площадей, периметров и т. Д. См. Ниже некоторые примеры действий, которые помогут детям и молодежи развивать геометрическое мышление.


Как помочь студентам усвоить единую геометрическую концепцию

  • Покажите учащимся как правильные, так и неправильные примеры геометрической концепции. Покажите концепцию разными способами или представлениями (например, повернутым, отраженным, перекошенным). Попросите учащихся различать правильные и неправильные примеры . Это поможет избежать неправильных представлений.
  • Попросите учащихся сами нарисовать правильные и неправильные примеры . Например, детей 4-го класса можно попросить нарисовать параллельные и непараллельные линии.В 5-м классе попросите учащихся нарисовать параллелограммы и четырехугольники, которые равны , а не параллелограммам.
  • В связи с предыдущим пунктом попросите учащихся дать определение концепции . Это заставляет их задуматься о том, какие свойства в определении необходимы, а какие нет.
  • Позвольте ученикам экспериментировать, исследовать и играть с геометрическими идеями и фигурами. Используйте манипуляторы, рисунки, приложения или программное обеспечение (подробнее о них ниже).
  • Попросите учащихся составить свой собственный блокнот по геометрии, заполненный примерами, непримерами, определениями и другими примечаниями и рисунками.

Компьютеры и интерактивная геометрия

Компьютер или планшет действительно полезны в обучении геометрии, потому что он позволяет динамических и интерактивных манипуляций с фигурами . Учащийся может перемещать, вращать, отражать или растягивать фигуру, а также наблюдать, какие свойства остаются неизменными.

Например, предположим, вы изучаете равнобедренные треугольники в 4-м классе.Вы можете просто использовать текстовый редактор. Например, в MS Word есть панель инструментов для рисования, которая имеет автофигуру для равнобедренного треугольника (у нее также есть одна для прямоугольного треугольника и параллелограмма). Попросите детей нарисовать несколько равнобедренных треугольников и перетащить их, чтобы они становились больше и меньше. Попросите их также повернуть их. Спросите: «Что изменится? Что не изменится? Что останется прежним? Можете ли вы нарисовать эту фигуру на бумаге?»

Существуют также программы и приложения динамической геометрии, специально разработанные для обучения геометрии в интерактивном и исследовательском стиле.Такие программы использовались в исследовательских экспериментах и ​​в школах с хорошими результатами. После того, как вы увидите, что можно сделать с помощью программного обеспечения для динамической геометрии, очень легко влюбиться в него - идея просто великолепна!

Вот список программного обеспечения для динамической геометрии.


Как я могу помочь ученику, который уже учится в старшей школе?

Возможно, ваш ученик уже изучает геометрию в средней школе и у него проблемы. Конечно, вы не можете изменить способ обучения ученика в прошлом.Поскольку это такая распространенная проблема, многие издатели выпустили учебников, в которых упор делается на «неформальную» геометрию и концепции геометрии вместо доказательств. Вы можете использовать одну из этих книг и просто забыть о прувингах.

Тем не менее, в других книгах есть доказательства, но не в том же количестве или с таким акцентом, как в предыдущие годы. К ним относятся, например, Геометрия Гарольда Джейкобса: видение, действие, понимание. Ссылка идет на мою рецензию на эту книгу.

И даже при хорошей подготовке школьная геометрия и доказательства могут быть трудными.Все i

.

Как научить делению в столбик: пошаговый метод

В этой статье я объясню, как обучить делению в столбик в несколько шагов. Вместо того, чтобы показывать студентам сразу весь алгоритм, мы искренне воспринимайте это «шаг за шагом».

До ребенок готов учить деление в столбик, он должен знать:

  • таблицы умножения (по крайней мере неплохо)
  • базовая концепция деления, основанная на таблицах умножения
    (например, 28 ÷ 7 или 56 ÷ 8)
  • базовое деление с остатками (например, 54 ÷ 7 или 23 ÷ 5)

Одна из причин, почему деление в столбик затруднено

Деление в длину - это алгоритм, который повторяет основные шаги
1) Делить; 2) Умножить; 3) Вычесть; 4) Отбросьте следующую цифру.

Из этих шагов №2 и №3 могут стать трудными и запутать учащихся, потому что они, по-видимому, не имеют отношения к разделению - они имеют отношение к нахождению остатка. На самом деле, чтобы указать на это, мне нравится объединять их в один "умножить и вычесть" шаг.

Чтобы избежать путаницы, я рекомендую обучать полному делению в таком мода на то, что дети сначала НЕ подвергаются всем этим шагам. Вместо этого вы можете научить этому в несколько «ступенек»:

  • Шаг 1: Все цифры четные.Здесь студенты отрабатывают только разделительную часть.
  • Шаг 2: Остаток в единицах. Сейчас, студенты практикуют часть "умножить и вычесть" и связать это с поиском остаток.
  • Шаг 3: Остаток в десятках. Ученики теперь используйте весь алгоритм, в том числе «отбрасывание следующей цифры», с использованием 2-значного дивиденды.
  • Шаг 4: Остаток в любом месте ценности. Студенты практикуют весь алгоритм, используя более длинные дивиденды.

Шаг 1. Деление четное по всем цифрам

Мы делим числа, в которых каждая цифра сотен, десятков и единиц делится на делитель без остатка. ЦЕЛЬ на этом первом легком шаге чтобы студенты привыкли к двум вещам:

  1. Чтобы привыкнуть к большому делению «угол», чтобы частное писалось сверху.
  2. Чтобы привыкнуть спрашивать, сколько раз делитель переходит в различные цифры делимого.

Ниже приведены примеры проблем для этого шага. Студенты должны проверить каждый деление на умножение.

На этом этапе ученики также учатся смотреть на первые две цифры делимого, если делитель не «входит» в первую цифру:

.

Смотрите также