Как быстро научиться решать пределы


Пределы. Примеры решений - matematika

Теория пределов – это один из разделов математического анализа. Вопрос решения пределов является достаточно обширным, поскольку существуют десятки приемов решений пределов различных видов. Существуют десятки нюансов и хитростей, позволяющих решить тот или иной предел. Тем не менее, мы все-таки попробуем разобраться в основных типах пределов, которые наиболее часто встречаются на практике.

Начнем с самого понятия предела. Но сначала краткая историческая справка. Жил-был в 19 веке француз Огюстен Луи Коши, который заложил основы математического анализа и дал строгие определения, определение предела, в частности. Надо сказать, этот самый Коши снился, снится и будет сниться в кошмарных снах всем студентам физико-математических факультетов, так как доказал огромное количество теорем математического анализа, причем одна теорема отвратительнее другой. В этой связи мы не будем рассматривать строгое определение предела, а попытаемся сделать две вещи:

1. Понять, что такое предел.
2. Научиться решать основные типы пределов.    

Прошу прощения за некоторую ненаучность объяснений, важно чтобы материал был понятен даже чайнику, что, собственно, и является задачей проекта.

Итак, что же такое предел?

А сразу пример, чего бабушку лохматить….

Лю

Как вычислить пределы с помощью калькулятора

  1. Образование
  2. Математика
  3. Исчисление
  4. Как вычислить пределы с помощью калькулятора

Вы можете решить большинство задач с ограничениями с помощью своего калькулятора. Есть два основных метода. Например, вы хотите оценить следующий предел:

Метод первый

Вот что вы делаете. Возьмите число, очень близкое к 5, и вставьте его в x. Если у вас есть калькулятор, например Texas Instruments TI-84, выполните следующие действия:

  1. Введите свой номер, скажем 4.9999 на главном экране.

  2. Нажмите кнопку Sto (сохранить), затем кнопку x , а затем кнопку Enter .

    Это сохраняет число в x.

  3. Введите функцию:

  4. Нажмите Enter.

    Результат 9,9999 очень близко к округленному числу 10, так что это ваш ответ.

  5. Для удобства сохраните 4,999999 в x .

    Следуйте процедуре шага 2.

  6. Прокрутите назад до функции, нажав 2nd , Enter , 2nd , Enter .

  7. Нажмите Введите еще раз.

    Получается 9,999999 - даже ближе к 10. Если все еще есть сомнения, попробуйте еще одно число.

  8. Сохраните 4,99999999 в формате x , прокрутите до функции и нажмите Введите .

    Результат, 10, подтверждает это. (Значение функции 4,99999999 на самом деле не равно 10, но оно настолько близко, что калькулятор округляет его до 10.)

Кстати, если вы используете другую модель калькулятора, вы, вероятно, сможете достичь того же результата с помощью той же техники или чего-то очень близкого к ней.

Метод второй

Второй метод калькулятора - создать таблицу значений:

  1. В режиме построения графика калькулятора введите следующее:

  2. Перейдите в раздел «Настройка стола» и введите номер лимита, 5, в качестве «начального» числа.

  3. Введите небольшое число, скажем 0,001, для Tbl .

    Это размер шага x - в таблице.

  4. Нажмите кнопку Tab le , чтобы создать таблицу.

  5. Прокрутите вверх, чтобы увидеть пару чисел меньше 5.

    Вы должны увидеть таблицу значений, подобную той, что приведена в этой таблице.

    X Y
    4.998 9,998
    4,999 9,999
    5 Ошибка
    5,001 10,001
    5,002 10.002
    5,003 10,003

Поскольку y очень близко к 10, так как x нули 5 сверху и снизу, 10 является пределом.

Эти калькуляторы полезны по ряду причин:

  • Ваш калькулятор может дать вам ответы на ограниченные задачи, которые невозможно решить алгебраически.

  • Он может решить некоторые проблемы, которые вы могли бы решить с бумагой и карандашом, за исключением того, что вы в тупике.

  • Для задач, которые вы решаете на бумаге, вы можете использовать калькулятор, чтобы проверить свои ответы.

Многие вычислительные задачи могут быть решены алгебраически, графически, и численно . По возможности используйте два или три подхода. Каждый подход позволяет по-своему взглянуть на проблему и улучшить понимание соответствующих концепций.

Используйте методы калькулятора в качестве дополнения к алгебраическим методам, но не слишком полагайтесь на них. Прежде всего, методы калькулятора не дадут вам точного ответа, если числа, которые дает калькулятор, не приближаются к числу, которое вы знаете, например, 9,99998 близко к 10 или 0,333332 близко к 1/3.

Однако, даже если вы не знаете точного ответа в таких случаях, вы все равно можете узнать приблизительный ответ в десятичной форме на предельный вопрос.

Этот предел равен нулю, но вы не можете получить такой результат с помощью калькулятора.

.- $$ означает, что $$ x $$ приближается слева.

Примеры

Пример 1

Используйте график, чтобы аппроксимировать значение обоих односторонних пределов, поскольку $$ x $$ приближается к 3.

Шаг 1

Посмотрите, что происходит, когда $$ x $$ приближается слева.

Поскольку $$ x $$ приближается к 3 слева, функция кажется приближается к 2.

Шаг 2

Посмотрите, что происходит, когда x приближается справа

Поскольку $$ x $$ приближается к 3 справа, функция кажется приближается к 3.+} f (x) \ приблизительно 3 $$

Пример 2: Использование таблиц

Используя приведенные ниже таблицы, что можно сказать об односторонних пределах, когда $$ x $$ приближается к 6?

$$ \ begin {array} {l | c} x & f (x) \\\ hline \ hline 5 & ​​8.32571 \ hline 5.5 и 8.95692 \ hline 5.9 и 8.99084 \ hline 5,99 и 8,99987 \ hline 5.999 и 8.99992 \ hline 5.9999 и 8.99999 \\\ hline \ end {массив} $$

$$ \ begin {array} {l | c} x & f (x) \\\ hline \ hline 7 и 1 \ hline 6.5 и 95 \ hline 6.1 и 1230 \ hline 6.01 и 9658 \ hline 6.001 и 54231 \ hline 6.0001 и 834366 \ end {массив} $$

Шаг 1

Посмотрите, что происходит, когда $$ x $$ приближается к 6 слева.

Когда $$ x $$ приближается к 6 слева ...

$$ \ begin {array} {l | c} x & f (x) \\\ hline \ hline 5 & ​​8.32571 \ hline 5.5 и 8.95692 \ hline 5.9 и 8.99084 \ hline 5,99 и 8,99987 \ hline 5.999 и 8.99992 \ hline 5.9999 и 8.99999 \ end {массив} $$

... функция приближается к 9.

Шаг 2

Посмотрите, что происходит, когда $$ x $$ приближается к 6 справа.

Когда $$ x $$ приближается к 6 слева ...

$$ \ begin {array} {l | c} x & f (x) \\\ hline \ hline 7 и 1 \ hline 6.5 и 95 \ hline 6.1 и 1230 \ hline 6.01 и 9658 \ hline 6.001 и 54231 \ hline 6.0001 и 834366 \ end {массив} $$

... функция, кажется, становится все больше.

.

Как найти предел функции алгебраически

  1. Образование
  2. Математика
  3. Исчисление
  4. Как найти предел функции алгебраически

Ян Куанг, Эллин Кейс

Когда ваш учитель по предварительному исчислению просит вас найти предел функции алгебраически, у вас есть четыре метода на выбор: вставка значения x , разложение на множители, рационализация числителя и поиск наименьшего общего знаменателя.

Лучшее место для начала - это первая техника. Вы можете использовать этот метод только в том случае, если функция является непрерывной при значении x , при котором вы берете предел. Если функция не определена при этом значении x , вы должны перейти к другим методам, чтобы упростить вашу функцию, чтобы вы могли вставить приближенное значение для x.

Найдите предел, вставив значение x

Первый способ алгебраического решения предельного значения - подставить в функцию число, которое приближается к x .Если вы получили неопределенное значение (0 в знаменателе), вы должны перейти к другой технике. Но если ваша функция является непрерывной при этом значении x , вы получите значение, и все готово; вы нашли свой предел! Например, с помощью этого метода вы можете найти этот предел:

Предел - 3, потому что f (5) = 3, и эта функция является непрерывной при x = 5.

Найдите предел, разложив на множители

Факторинг - это метод, который следует попробовать при неудачном подключении, особенно когда любая часть данной функции является полиномиальным выражением.

Допустим, вас попросили определить этот предел:

Сначала вы пытаетесь вставить 4 в функцию, и вы получаете 0 в числителе и в знаменателе, что говорит вам перейти к следующей технике. Квадратичное выражение в числителе требует, чтобы вы попробовали разложить его на множители. Обратите внимание, что числитель предыдущей функции делится на ( x - 4) ( x - 2). x - 4 отменяет верхнюю и нижнюю части дроби. Этот шаг оставляет вам f ( x ) = x - 2.Вы можете подключить 4 к этой непрерывной функции, чтобы получить 2.

Если вы изобразите эту функцию, она выглядит как прямая f ( x ) = x - 2, но в ней есть дыра, когда x = 4, потому что исходная функция там все еще не определена (потому что она создает 0 в знаменателе). Рисунок это иллюстрирует.

Если после того, как вы разложили верхнюю и нижнюю части дроби, член в знаменателе не аннулировался и искомое значение не определено, предел функции при этом значении x не изменится. не существует (который можно записать как DNE ).

Например, эта функция множителей, как показано:

Изображение ( x - 7) сверху и снизу отменяется. Поэтому, если вас попросят найти предел функции, поскольку x приближается к 7, вы можете вставить 7 в отмененную версию и получить 11/8. Но если вы пытаетесь найти

предел DNE, потому что в знаменателе вы получите 0. Следовательно, эта функция имеет предел где угодно, за исключением того, что x приближается к –1.

Найдите предел, рационализируя числитель

Третий метод, который вам нужно знать, чтобы найти пределы алгебраически, требует от вас рационализации числителя.Функции, для которых требуется этот метод, имеют квадратный корень в числителе и полиномиальное выражение в знаменателе. Например, вас просят найти предел этой функции: x приближается к 13:

.

Подставить числа не удается, когда в знаменателе дроби стоит 0. Факторинг не удается, потому что уравнение не имеет многочлена для разложения. В этой ситуации, если вы умножите числитель и знаменатель на сопряжение числителя, член в знаменателе, который был проблемой, сокращается, и вы сможете найти предел:

  1. Умножить верхнюю и нижнюю часть дроби на сопряжение.

    Сопряжение числителя

    .

    Умножая, вы получаете такую ​​установку:

    FOIL числитель, чтобы получить

    , который упрощается до x - 13 (два средних термина отменяют, и вы объединяете аналогичные термины из FOIL).

  2. Коэффициенты отмены.

    Отмена дает следующее выражение:

    Условия ( x -13) отменяются, оставляя вам такой результат:

  3. Рассчитайте пределы.

    Когда вы вставляете 13 в функцию, вы получаете 1/6, что является пределом.

Найдите предел, найдя наименьший общий знаменатель

Когда вам дается сложная рациональная функция, вы используете четвертый и последний алгебраический метод нахождения пределов. Техника подключения не работает, потому что вы получаете 0 в одном из знаменателей. Эта функция не поддается факторизации, и у вас нет квадратных корней, которые нужно было бы рационализировать. Следовательно, вы знаете, что нужно переходить к последней технике.С помощью этого метода вы объединяете функции, находя наименьший общий знаменатель (ЖКД). Условия отменяются, после чего вы можете узнать лимит.

Например, чтобы найти предел, выполните следующие действия:

  1. Найдите ЖК-дисплей дробей вверху.

  2. Распределите числители сверху.

  3. Сложите или вычтите числители, а затем отмените условия.

    Вычитание из числителей дает

    , который затем упрощается до

  4. Используйте правила дробей для дальнейшего упрощения.

  5. Подставьте предельное значение в эту функцию и упростите.

    Вы хотите найти предел, поскольку x приближается к 0, поэтому предел здесь –1/36.

Об авторе книги

Мэри Джейн Стерлинг занимается алгеброй, бизнес-расчетом, геометрией и конечной математикой в ​​Университете Брэдли в Пеории, штат Иллинойс, более 30 лет. Она является автором нескольких книг для чайников, в том числе Учебное пособие по алгебре для чайников, Алгебра II для чайников, и Учебное пособие по алгебре II для чайников.

.

Как быстро вычислить проценты

Как вычислить проценты может быть проще, чем вы можете себе представить. Прочтите несколько простых трюков.

Давние поклонники математики, возможно, помнят наш первый набег на мир процентов еще в 12-м и 13-м эпизодах подкаста. В этих шоу мы узнали, что такое проценты, как они соотносятся с дробями, как использовать проценты, чтобы легко рассчитывать чаевые в ресторанах, и как использовать проценты, чтобы легко рассчитывать продажные цены при покупках.

Если вы не знаете, как выполнять какие-либо из этих удобных вычислений, или если вам просто нужно освежить общее процентное соотношение, я настоятельно рекомендую взглянуть на эти более ранние шоу и быстро освоиться. Зачем? Потому что, как только вы догоните, вы будете готовы сделать шаг вперед и узнать, как стать настоящей машиной для вычисления процентов. Именно в это мы и превратим вас сегодня.

См. Также: 3 часто задаваемых вопроса о процентах

Купить сейчас

Как партнер Amazon и книжный магазин.org, QDT зарабатывает на соответствующих покупках.

Резюме

: что такое проценты?

Чтобы убедиться, что мы все на одной странице, давайте начнем с того, что на минутку напомним несколько ключевых фактов о процентах. Начнем с самого главного вопроса: что такое проценты? Возможно, наиболее проясняющим моментом является то, что слово «процент» на самом деле представляет собой сложенную вместе фразу «процент». А поскольку «цент» здесь означает 100 (как в «столетии»), мы видим, что слово «процент» означает просто «на 100».Другими словами, 10% означает «10 на 100», что совпадает с дробью 10/100 или 1/10.

Это оказалось отличной новостью, поскольку позволяет легко вычислить множество процентов. В частности, легко вычислить 10% от любого числа, поскольку это всего лишь 1/10 от числа. Почему это так полезно? Потому что это означает, что вы можете быстро вычислить 10% числа, просто переместив десятичную запятую на 1 позицию влево.

А как насчет вычисления примерно 36% от 25? А может 250% из 20? В этих случаях наш трюк с использованием мощности 10% не помогает - так что же мы можем сделать?

Как быстро рассчитать проценты

Уловка, которая часто помогает быстро вычислить эти типы процентов, заключается в использовании того факта, что x процентов от y совпадает с y процентов от x.А? Я знаю, что это может показаться странным, но на самом деле это довольно просто. Если взять наш предыдущий пример, это правило гласит, что 36% от 25 равно 25% от 36. Как это нам помогает? Итак, поскольку 25% - это то же самое, что и дробь 1/4, мы видим, что 25% от 36 должно быть 36/4 или 9. Таким образом, 25% от 36 равно 9, и 36% от 25 также должны быть 9.

Прелесть этого трюка в том, что каждый раз, когда вы решаете одну проблему, вы фактически решаете две! И это особенно полезно, когда одну из проблем решить намного проще, чем другую, как это было здесь.

Полезно уделить минуту, чтобы понять, почему этот, казалось бы, волшебный трюк работает. Как я упоминал ранее, 36% эквивалентно дроби 36/100. Поскольку мы можем записать дробь 1/100 как десятичное число 0,01, мы видим, что дробь 36/100 также может быть записана 0,01 x 36. Это означает, что 36% от 25 должны быть равны (0,01 x 36) x 25. А теперь самое интересное: ассоциативное свойство умножения говорит нам, что мы можем умножать несколько чисел в любом порядке. Это означает, что (0.01 x 36) x 25 = (0,01 x 25) x 36. Но 0,01 x 25 - это то же самое, что и 25%, что означает, что это равно 25% от 36. Таким образом, 36% от 25 равны 25% от 36. Это не волшебство, это математика! Довольно круто, правда?

Страниц

.

Смотрите также