Как быстро научиться умножать и делить в уме


Как освоить устный счёт школьникам и взрослым

Кроме отличных оценок по математике, умение считать в уме даёт массу преимуществ на протяжении всей жизни. Упражняясь в вычислениях без калькулятора, вы:

  • Держите мозг в тонусе. Для эффективной работы интеллект, как и мускулатура, нуждается в постоянных тренировках. Счёт в уме развивает память, логическое мышление и концентрацию, повышает способность к обучению, помогает быстрее ориентироваться в ситуации и принимать правильные решения.
  • Заботитесь о своём психическом здоровье. Исследования показывают , что при устном счёте задействованы участки мозга, ответственные за депрессию и тревожность. Чем активнее работают эти зоны, тем меньше риск неврозов и чёрной тоски.
  • Страхуетесь от проколов в бытовых ситуациях. Способность быстро посчитать сдачу, размер чаевых, количество калорий или проценты по кредиту защищает вас от незапланированных трат, лишнего веса и мошенников.

Освоить приёмы быстрого счёта можно в любом возрасте. Не беда, если сначала вы будете немного «тормозить». Ежедневно практикуйте основные арифметические операции по 10–15 минут и уже через пару месяцев достигнете заметных результатов.

Как научиться складывать в уме

Суммируем однозначные числа

Начните тренировку с элементарного уровня — сложения однозначных чисел с переходом через десяток. Эту технику осваивают в первом классе, но почему-то часто забывают с возрастом.

  • Предположим, вам нужно сложить 7 и 8.
  • Посчитайте, сколько семёрке не хватает до десяти: 10 − 7 = 3.
  • Разложите восьмёрку на сумму трёх и второй части: 8 = 3 + 5.
  • Добавьте вторую часть к десяти: 10 + 5 = 15.

Тот же приём «опоры на десятку» используйте при суммировании однозначных чисел с двузначными, трёхзначными и так далее. Оттачивайте простейшее сложение, пока не научитесь совершать одну операцию за пару секунд.

Суммируем многозначные числа

Основной принцип — разбить слагаемые числа на разряды (тысячи, сотни, десятки, единицы) и суммировать между собой одинаковые, начиная с самых крупных.

Допустим, вы прибавляете 1 574 к 689.

  • 1 574 раскладывается на четыре разряда: 1 000, 500, 70 и 4. 689 — на три: 600, 80 и 9.
  • Теперь суммируем: тысячи с тысячами (1 000 + 0 = 1 000), сотни с сотнями (500 + 600 = 1 100), десятки с десятками (70 + 80 = 150), единицы с единицами (4 + 9 = 13).
  • Группируем числа так, как нам удобно, и складываем то, что получилось: (1 000 + 1 100) + (150 + 13) = 2 100 + 163 = 2 263.

Основная сложность — удержать в голове все промежуточные результаты. Упражняясь в таком счёте, вы заодно тренируете память.

Как научиться вычитать в уме

Вычитаем однозначные числа

Снова возвращаемся в первый класс и оттачиваем навык вычитания однозначного числа с переходом через десяток.

Предположим, вы хотите отнять 8 от 35.

  • Представьте 35 в виде суммы 30 + 5.
  • Из 5 вычесть 8 нельзя, поэтому раскладываем 8 на сумму 5 + 3.
  • Вычтем 5 из 35 и получим 30. Затем отнимем от 30 оставшуюся тройку: 30 − 3 = 27.

Вычитаем многозначные числа

В отличие от сложения, при вычитании многозначных чисел на разряды нужно разбивать только то, которое вы отнимаете.

Например, вас просят отнять 347 от 932.

  • Число 347 состоит из трёх разрядных частей: 300 + 40 + 7.
  • Сначала вычитаем сотни: 932 − 300 = 632.
  • Переходим к десяткам: 632 − 40. Для удобства 40 можно представить в виде суммы 30 + 10. Сперва вычтем 30 и получим 632 − 30 = 602. Теперь отнимем от 602 оставшиеся 10 и получим 592.
  • Осталось разобраться с единицами, используя всё ту же «опору на десятку». Сперва вычитаем из 592 двойку: 592 − 2 = 590. А затем то, что осталось от семёрки: 7 − 2 = 5. Получаем: 590 − 5 = 585.

Как научиться умножать в уме

Лайфхакер уже писал о том, как быстро освоить таблицу умножения.

Добавим, что наибольшие трудности и у детей, и у взрослых вызывает умножение 7 на 8. Есть простое правило, которое поможет вам никогда не ошибаться в этом вопросе. Просто запомните: «пять, шесть, семь, восемь» — 56 = 7 × 8.

А теперь перейдём к более сложным случаям.

Умножаем однозначные числа на многозначные

По сути, здесь всё элементарно. Разбиваем многозначное число на разряды, перемножаем каждый на однозначное число и суммируем результаты.

Разберём на конкретном примере: 759 × 8.

  • Разбиваем 759 на разрядные части: 700, 50 и 9.
  • Умножаем каждый разряд по отдельности: 700 × 8 = 5 600, 50 × 8 = 400, 9 × 8 = 72.
  • Складываем результаты, разбивая их на разряды: 5 600 + 400 + 72 = 5 000 + (600 + 400) + 72 = 5 000 + 1 000 + 72 = 6 000 + 72 = 6 072.

Умножаем двузначные числа

Тут уже рука сама тянется к калькулятору или хотя бы к бумаге и ручке, чтобы воспользоваться старым добрым умножением в столбик. Хотя ничего сверхсложного в этой операции нет. Просто нужно немного потренировать краткосрочную память.

Попробуем умножить 47 на 32, разбив процесс на несколько шагов.

  • 47 × 32 — это то же, что и 47 × (30 + 2) или 47 × 30 + 47 × 2.
  • Сначала умножим 47 на 30. Проще некуда: 47 × 3 = 40 × 3 + 7 × 3 = 120 + 21 = 141. Приписываем справа нолик и получаем: 1 410.
  • Поехали дальше: 47 × 2 = 40 × 2 + 7 × 2 = 80 + 14 = 94.
  • Осталось сложить результаты: 1 410 + 94 = 1 500 + 4 = 1 504.

Этот принцип можно применять и к числам с большим количеством разрядов, но удержать в уме столько операций не каждому под силу.

Упрощаем умножение

Кроме общих правил, есть несколько лайфхаков, облегчающих умножение на определённые однозначные числа.

Умножение на 4

Можно умножить многозначное число на 2, а потом снова на 2.

Пример: 146 × 4 = (146 × 2) × 2 = (200 + 80 + 12) × 2 = 292 × 2 = 400 + 180 + 4 = 584.

Умножение на 5

Умножьте исходное число на 10, а потом разделите на 2.

Пример: 489 × 5 = 4 890 / 2 = 2 445.

Умножение на 9

Умножьте на 10, а затем отнимите от результата исходное число.

Пример: 573 × 9 = 5 730 − 573 = 5 730 − (500 + 70 + 3) = 5 230 − (30 + 40) − 3 = 5 200 − 40 − 3 = 5 160 − 3 = 5 157.

Умножение на 11

Приём сводится к следующему: впереди и сзади подставляем первую и последнюю цифры исходного числа. А между ними последовательно суммируем все цифры.

При умножении на двузначное число всё выглядит крайне просто.

Пример: 36 × 11 = 3(3+6)6 = 396.

Если сумма переходит через десяток, в центре остаётся разряд единиц, а к первой цифре добавляем один.

Пример: 37 × 11 = 3(3+7)7 = 3(10)7 = 407.

Чуть сложнее с умножением на более крупные числа.

Пример: 543 × 11 = 5(5+4)(4+3)3 = 5 973.

Как научиться делить в уме

Это операция, обратная умножению, поэтому и успех во многом зависит от знания всё той же школьной таблицы. Остальное — дело практики.

Делим на однозначное число

Для этого разбиваем исходное многозначное число на удобные части, которые точно будут делиться на наше однозначное.

Попробуем разделить 2 436 на 7.

  • Выделим из 2 436 наибольшую часть, которая нацело разделится на 7. В нашем случае это 2 100. Получаем (2 100 + 336) / 7.
  • Продолжаем в том же духе, только теперь с числом 336. Очевидно, что на 7 разделится 280. А в остатке будет 56.
  • Теперь делим каждую часть на 7: (2 100 + 280 + 56) / 7 = 300 + 40 + 8 = 348.

Делим на двузначное число

Это уже высший пилотаж, но мы всё равно попытаемся.
Предположим, вам надо поделить 1 128 на 24.

  • Прикидываем, сколько раз 24 может поместиться в 1 128. Очевидно, что 1 128 примерно в два раза меньше, чем 24 × 100 (2 400). Поэтому для «пристрелки» возьмём множитель 50: 24 × 50 = 1 200.
  • До 1 200 нашему делимому 1 128 не хватает 72. Сколько раз 24 поместится в 72? Правильно, 3. А значит, 1 128 = 24 × 50 − 24 × 3 = 24 × (50 − 3) = 24 × 47. Стало быть, 1128 / 24 = 47.

Мы взяли не самый трудный пример, но пользуясь методом «пристрелки» и дроблением на удобные части, вы научитесь совершать и более сложные операции.

Что поможет освоить устный счёт

Для упражнений придётся ежедневно придумывать новые и новые примеры, только если вы сами этого хотите. В противном случае воспользуйтесь другими доступными способами.

Настольные игры

Играя в те, где необходимо постоянно вычислять в уме, вы не просто учитесь быстро считать. А совмещаете полезное с приятным времяпрепровождением в кругу семьи или друзей.

Карточные забавы вроде «Уно» и всевозможные варианты математического домино позволяют школьникам играючи освоить простое сложение, вычитание, умножение и деление. Более сложные экономические стратегии а-ля «Монополия» развивают финансовое чутьё и оттачивают сложные навыки счёта.

Что купить
  • «Уно»;
  • «7 на 9»;
  • «7 на 9 multi»;
  • «Трафик Джем»;
  • «Хекмек»;
  • «Математическое домино»;
  • «Умножариум»;
  • «Код фараона»;
  • «Суперфермер»;
  • «Монополия».

Мобильные приложения

С ними вы сможете довести устный счёт до автоматизма. Большинство из них предлагают решить примеры на сложение, вычитание, умножение и деление по программе младших классов. Но вы удивитесь, насколько это непросто. Особенно если задачи нужно щёлкать на время, без ручки и бумаги.

Математика: устный счёт, таблица умножения

Охватывает задания на устный счёт, которые соответствуют 1–6 классам школьной программы, включая и задачи на проценты. Позволяет тренировать скорость и качество счёта, а также настраивать сложность. Например, от простой таблицы умножения можно перейти к умножению и делению двузначных и трёхзначных чисел.

Цена: Бесплатно

Математика в уме

Ещё один простой и понятный тренажёр устного счёта с подробной статистикой и настраиваемой сложностью.

Цена: Бесплатно

1 001 задача для счёта в уме

В приложении используются примеры из пособия по математике «1 001 задача для умственного счёта», которое ещё в XIX веке составил учёный и педагог Сергей Рачинский.

Разработчик: Dwerty

Цена: Бесплатно

Цена: Бесплатно

Математические хитрости

Приложение позволяет легко и ненавязчиво освоить основные математические приёмы, которые облегчают и ускоряют устный счёт. Каждый приём можно отработать в тренировочном режиме. А потом поиграть на скорость вычислений с собой или соперником.

Цена: Бесплатно

Цена: Бесплатно

Quick Brain

Цель игры — правильно решить как можно больше математических примеров за определённый промежуток времени. Тренирует знание таблицы умножения, сложение и вычитание. А ещё содержит популярный математический пазл «2 048».

Цена: Бесплатно

Веб-сервисы

Регулярно заниматься интеллектуальной зарядкой с числами можно и на математических онлайн-тренажёрах. Выбирайте необходимый вам тип действия и уровень сложности — и вперёд, к новым интеллектуальным вершинам. Вот лишь несколько вариантов.

  • Математика.Club — тренажёр устного счёта.
  • Школа Аристова — тренажёр устного счёта (охватывает двузначные и трёхзначные числа).
  • «Развивайка» — тренировка устного счёта в пределах ста.
  • 7gy.ru — тренажёр по математике (вычисления в пределах ста).
  • Chisloboy — онлайн-игра на развитие скорости счёта.
  • kid-mama — тренажёры по математике для 0–6 классов.

Читайте также 🧠🎓😤

,

Как умножать и делить дроби [видео]

Умножение и деление дробей

Многие студенты по-настоящему боятся дробей. Однако, если вы помните, что представляет собой дробь , и несколько математических правил, как работать с ними алгебраически, вы сможете с уверенностью смотреть на дроби. В этом видео мы рассмотрим, как умножать и делить дроби. Давайте начнем.

Мы должны начать с определения того, что такое дробь.Дробь представляет собой отношение «части» к «целому» или части к целому. Значение над линией деления называется числителем , а значение под линией деления - знаменателем .

Для умножения дробей просто умножьте «прямо поперек», то есть «числитель умноженный на числитель», разделенный на «знаменатель умноженный на знаменатель». Давайте посмотрим на пару быстрых примеров:

Здесь мы хотим умножить две трети на две пятых.Как мы сказали ранее, мы собираемся размножаться прямо. Итак, у нас будет 2 умножить на 2, больше, 3 умножить на 5. Что равно четырем на пятнадцать. Итак, наш ответ - четыре пятнадцатых.

А теперь попробуем еще. Мы попробуем четыре седьмых раза три одиннадцатых.

Опять та же концепция. Мы собираемся умножить 4 на 3, разделить на 7 умножить на 11. Получается, что 12 на 77, то есть двенадцать семьдесят седьмых.

Довольно просто, правда? Теперь давайте посмотрим на деление дробей.

Процесс деления на дроби немного отличается. Прежде чем мы углубимся в механику процесса, давайте рассмотрим интуитивно понятный пример деления дроби на два. Результат деления на 2 - это просто разрезание дроби пополам или простое умножение дроби на 1.

Итак, четыре пятых, разделенные на 2, на самом деле то же самое, что сказать четыре пятых на половину. Затем он будет умножен, как мы это делали раньше. Итак, у нас 4 умножить на 1 будет четыре, более 5 умножить на два будет десять.Что затем упрощается до 2 вместо 5.

Другими словами, две пятых - это половина размера четырех пятых.

Точно так же деление дроби на 3 приведет к дроби, которая составляет одну треть размера оригинала:

Две пятых разделить на то же самое, что сказать две пятых, умноженные на одну треть, что дает вам два- fifteenths.

Итак, две пятых - это одна треть размера двух пятых.

Прежде чем обобщать этот процесс, давайте рассмотрим важную терминологию.Рассмотрим соотношение между 2 и половиной. Эти числа называются обратными друг другу, что означает, что числитель одного числа является знаменателем другого, и наоборот. Помните, что «2» можно записать как дробь, написав ее над «1», например: 2 на 1. Следовательно, 2 на 1 и половину являются обратными. То же самое верно для 3 и одной трети, потому что 3 можно записать как 3 на 1. Следовательно, 3 и одна треть являются обратными.

Имея это в виду, какую закономерность вы видите в процессе деления дробей?

Процесс деления дроби такой же, как умножение первой дроби на обратную величину второй. «сокращенная» версия этого многословного объяснения , которая может помочь вам запомнить процесс деления: «Сохранить, изменить, перевернуть»:

Вы «Сохраняете» первую дробь как есть;
Затем вы «меняете» операцию с деления на умножение;
И вы «переверните» (или возьмете обратную величину) вторую дробь.

После выполнения этой корректировки просто следуйте правилам умножения дробей путем умножения числителей и деления на произведение знаменателей.

Вот пример использования процесса «сохранить, изменить, перевернуть»:

Допустим, мы хотим разделить три пятых на семь пятых. Мы оставим первую дробь как есть, изменим операцию с деления на умножение и перевернем второе число. Теперь мы просто умножаем наши числители, 3 умножить на 5 будет пятнадцать, больше, на 5 умножить на 7 будет тридцать пять. А затем мы упрощаемся до трех седьмых.

Надеюсь, это видео было полезным! Спасибо за просмотр и удачной учебы!

. ,

Как быстро умножить

В прошлом эпизоде ​​мы говорили о распределительном свойстве. В частности, мы говорили о том, как можно визуализировать, что означает свойство распределения. Сегодня мы продолжим обсуждение свойства распределения, рассмотрев два реальных приложения: первое полезно на кухне, а второе поможет вам выполнить молниеносное умножение в уме.

Версия этой статьи в виде подкаста предоставлена ​​вам Squarepace.ком. Squarespace - это быстрый и простой способ опубликовать качественный веб-сайт или блог. Чтобы получить бесплатную пробную версию и скидку 10% на шесть месяцев с новой учетной записью, перейдите на Squarespace.com и используйте код Math при регистрации новой учетной записи.

Обзор: Что такое распределительная собственность?

Как мы говорили ранее, мы можем резюмировать свойство распределения с помощью формулы:

a x ( b + c + d ) = a x b + a x c + a x d

На словах это означает, что если мы возьмем сумму некоторых чисел (в данном случае b , c и d ), а затем умножим эту сумму на какое-либо другое число (в данном случае a ) , то ответ, который вы получите, будет таким же, как если бы вы сначала индивидуально умножили каждое число в сумме (то есть b , c и d ) на a , а затем добавили все это вверх.Например, в задаче 2 x (3 + 4 + 5) мы можем сначала сложить 3, 4 и 5, чтобы получить 12, а затем умножить это на 2, чтобы получить 24. Или мы можем сначала умножить каждое из 3 , 4 и 5 на 2, чтобы получить

  • 2 х 3 = 6

  • 2 х 4 = 8

  • 2 х 5 = 10

Если мы теперь сложим эти результаты, 6 + 8 + 10 = 24, мы увидим, что получим тот же ответ, что и раньше. Это распределительное свойство. Но что в этом хорошего?

Реальный пример распределительной собственности

Прежде чем мы перейдем к действительно полезному и практическому применению свойства распределения, давайте сначала немного подумаем о том, что оно означает в реальном мире.В частности, давайте подумаем о том, как удвоить рецепт - другими словами, взять рецепт, который, скажем, на 4 порции, и превратить его в рецепт на 8 порций. Допустим, вы готовите торт, который требует трех ингредиентов, которые мы условно назовем b , c и d . Это означает, что готовый рецепт, готовый к отправке в духовку для выпечки, будет иметь вид b + c + d (добавление здесь означает, что вы смешиваете все ингредиенты вместе и хорошо их перемешиваете).

Хорошо, но что, если вам нужно удвоить рецепт. Как это сделать? Что ж, у вас есть 2 варианта. Во-первых, вы можете взять большую миску и смешать в два раза больше каждого ингредиента. Таким образом, ваше последнее тесто, готовое к выпечке, будет выглядеть так: 2 b + 2 c + 2 d . В качестве альтернативы вы можете сделать две отдельные партии рецепта b + c + d , а затем объединить эти 2 готовые партии вместе. В результате получится тесто, которое выглядит как 2 x ( b + c + d ).Но, конечно же, это тесто также будет выглядеть точно так же, как тесто 2 b + 2 c + 2 d , которое использовалось ранее. Это означает, что мы обнаружили, что 2 x ( b + c + d ) = 2 b + 2 c + 2 d - распределительное свойство! И обратите внимание, что если вместо удвоения рецепта мы хотели увеличить его на величину, которую мы называем a , тогда уравнение, о котором мы говорили ранее, a x ( b + c + d ) = a x b + a x c + a x d точно описывает нашу ситуацию с выпечкой!

Как быстро умножить с распределительной собственностью

Хорошо, теперь мы готовы к нашему второму реальному применению свойства распределения… и оно хорошее.Как звучит способность выполнять сверхбыстрое умножение в вашей голове? Довольно сложно устоять, правда? Что ж, давайте посмотрим, как это работает, на простом примере. Как насчет 8 x 47. Теперь эту задачу умножения нетрудно решить старомодным способом, то есть сначала умножив 7 из 47 на 8, поместив 6 из результата 56 в столбец единиц и перенеся 5 в столбце десятков; затем умножение 4 из 47 на 8, чтобы получить 32… плюс 5 из предыдущего, получается 37… но, конечно, это в столбце десятков, так что на самом деле это 370.Добавьте это к исходным 6, и мы получим в общей сложности 376… верно? По правде говоря, это не так уж сложно, но определенно немного громоздко.

Но свойство распределения можно использовать, чтобы превратить одну большую, сложную и медленную задачу умножения в несколько маленьких, простых и быстрых задач умножения. И это оказывается довольно хорошим компромиссом. Как это работает? Что ж, давайте вернемся к проблеме, которую мы только что рассмотрели: 8 x 47. Но давайте вместо этого запишем число 47 как 40 + 7. Почему мы выбрали это? Что ж, быстрый и грязный совет заключается в том, что когда вы разбиваете числа таким образом, чтобы сложить, вы хотите сделать как можно больше чисел кратными 10 - другими словами, чтобы они оканчивались нулем.Использование такого числа, кратного 10, сделает умножение самым простым, поскольку очень легко умножить число на 10, 100 и так далее. Итак, вместо задачи 8 x 47 у нас есть задача 8 x (40 + 7). И, согласно распределительному свойству, это просто равно 8 x 40 плюс 8 x 7 - обе задачи довольно легко решить в уме: 8 x 40 = 320 и 8 x 7 = 56. Таким образом, общая сумма равна 320 + 56 = 376. Нет беспорядочного переноса чисел или отслеживания посторонних цифр.Все красиво и аккуратно.

[[AdMiddle] И, конечно, работает и для более сложных задач. Как насчет задачи 7 х 437? В этом случае нам нужно разбить число 437 на 400 + 30 + 7. Видите, как мы смогли составить 2 из 3 чисел, 400 и 30, кратные 10? Теперь, если мы умножим эту сумму чисел на 7, то вместо одной большой и несколько сложной задачи 7 x 437 мы получим три более простые задачи (7 x 400) + (7 x 30) + (7 x 7). Итак, 7 x 400 = 2800, 7 x 30 = 210 и 7 x 7 = 49.Сложите их все вместе, и вы получите 2800 + 210 это 3010, а затем 3010 + 49 дает в целом 3059. Может потребоваться небольшая практика, прежде чем вы сможете сделать это все в уме, но с небольшим усилием вы » Я буду выполнять молниеносное умножение в кратчайшие сроки.

Веб-бонус: умножьте и два двузначных числа!

Следующая сетка из 4 прямоугольников дает вам новый способ представить проблему умножения двух двузначных чисел. Просто разделите каждое число на 2 простые умножаемые части, затем выполните 4 простых задачи умножения и, наконец, сложите результат.Общая площадь должна равняться сумме 4 меньших площадей. Видите ли, математика действительно существует, чтобы протянуть руку помощи и облегчить вашу жизнь!

Хорошо, на этом все математические вычисления у нас есть на сегодня. Вопросы и комментарии по математике отправляйте по адресу. Вы можете получать обновления о подкасте Math Dude «Video Extra!» эпизоды на YouTube и все другие мои размышления о математике, науке и жизни в целом, подписавшись на меня в Twitter. И не забудьте присоединиться к нашему огромному сообществу поклонников математики в социальных сетях, став поклонником Math Dude на Facebook.

До следующего раза, это Джейсон Маршалл с Быстрые и грязные советы математика, которые помогут упростить математику . Спасибо за чтение, любители математики!

.

Смотрите также