Как научиться быстро делить и умножать


Как освоить устный счёт школьникам и взрослым

Кроме отличных оценок по математике, умение считать в уме даёт массу преимуществ на протяжении всей жизни. Упражняясь в вычислениях без калькулятора, вы:

  • Держите мозг в тонусе. Для эффективной работы интеллект, как и мускулатура, нуждается в постоянных тренировках. Счёт в уме развивает память, логическое мышление и концентрацию, повышает способность к обучению, помогает быстрее ориентироваться в ситуации и принимать правильные решения.
  • Заботитесь о своём психическом здоровье. Исследования показывают , что при устном счёте задействованы участки мозга, ответственные за депрессию и тревожность. Чем активнее работают эти зоны, тем меньше риск неврозов и чёрной тоски.
  • Страхуетесь от проколов в бытовых ситуациях. Способность быстро посчитать сдачу, размер чаевых, количество калорий или проценты по кредиту защищает вас от незапланированных трат, лишнего веса и мошенников.

Освоить приёмы быстрого счёта можно в любом возрасте. Не беда, если сначала вы будете немного «тормозить». Ежедневно практикуйте основные арифметические операции по 10–15 минут и уже через пару месяцев достигнете заметных результатов.

Как научиться складывать в уме

Суммируем однозначные числа

Начните тренировку с элементарного уровня — сложения однозначных чисел с переходом через десяток. Эту технику осваивают в первом классе, но почему-то часто забывают с возрастом.

  • Предположим, вам нужно сложить 7 и 8.
  • Посчитайте, сколько семёрке не хватает до десяти: 10 − 7 = 3.
  • Разложите восьмёрку на сумму трёх и второй части: 8 = 3 + 5.
  • Добавьте вторую часть к десяти: 10 + 5 = 15.

Тот же приём «опоры на десятку» используйте при суммировании однозначных чисел с двузначными, трёхзначными и так далее. Оттачивайте простейшее сложение, пока не научитесь совершать одну операцию за пару секунд.

Суммируем многозначные числа

Основной принцип — разбить слагаемые числа на разряды (тысячи, сотни, десятки, единицы) и суммировать между собой одинаковые, начиная с самых крупных.

Допустим, вы прибавляете 1 574 к 689.

  • 1 574 раскладывается на четыре разряда: 1 000, 500, 70 и 4. 689 — на три: 600, 80 и 9.
  • Теперь суммируем: тысячи с тысячами (1 000 + 0 = 1 000), сотни с сотнями (500 + 600 = 1 100), десятки с десятками (70 + 80 = 150), единицы с единицами (4 + 9 = 13).
  • Группируем числа так, как нам удобно, и складываем то, что получилось: (1 000 + 1 100) + (150 + 13) = 2 100 + 163 = 2 263.

Основная сложность — удержать в голове все промежуточные результаты. Упражняясь в таком счёте, вы заодно тренируете память.

Как научиться вычитать в уме

Вычитаем однозначные числа

Снова возвращаемся в первый класс и оттачиваем навык вычитания однозначного числа с переходом через десяток.

Предположим, вы хотите отнять 8 от 35.

  • Представьте 35 в виде суммы 30 + 5.
  • Из 5 вычесть 8 нельзя, поэтому раскладываем 8 на сумму 5 + 3.
  • Вычтем 5 из 35 и получим 30. Затем отнимем от 30 оставшуюся тройку: 30 − 3 = 27.

Вычитаем многозначные числа

В отличие от сложения, при вычитании многозначных чисел на разряды нужно разбивать только то, которое вы отнимаете.

Например, вас просят отнять 347 от 932.

  • Число 347 состоит из трёх разрядных частей: 300 + 40 + 7.
  • Сначала вычитаем сотни: 932 − 300 = 632.
  • Переходим к десяткам: 632 − 40. Для удобства 40 можно представить в виде суммы 30 + 10. Сперва вычтем 30 и получим 632 − 30 = 602. Теперь отнимем от 602 оставшиеся 10 и получим 592.
  • Осталось разобраться с единицами, используя всё ту же «опору на десятку». Сперва вычитаем из 592 двойку: 592 − 2 = 590. А затем то, что осталось от семёрки: 7 − 2 = 5. Получаем: 590 − 5 = 585.

Как научиться умножать в уме

Лайфхакер уже писал о том, как быстро освоить таблицу умножения.

Добавим, что наибольшие трудности и у детей, и у взрослых вызывает умножение 7 на 8. Есть простое правило, которое поможет вам никогда не ошибаться в этом вопросе. Просто запомните: «пять, шесть, семь, восемь» — 56 = 7 × 8.

А теперь перейдём к более сложным случаям.

Умножаем однозначные числа на многозначные

По сути, здесь всё элементарно. Разбиваем многозначное число на разряды, перемножаем каждый на однозначное число и суммируем результаты.

Разберём на конкретном примере: 759 × 8.

  • Разбиваем 759 на разрядные части: 700, 50 и 9.
  • Умножаем каждый разряд по отдельности: 700 × 8 = 5 600, 50 × 8 = 400, 9 × 8 = 72.
  • Складываем результаты, разбивая их на разряды: 5 600 + 400 + 72 = 5 000 + (600 + 400) + 72 = 5 000 + 1 000 + 72 = 6 000 + 72 = 6 072.

Умножаем двузначные числа

Тут уже рука сама тянется к калькулятору или хотя бы к бумаге и ручке, чтобы воспользоваться старым добрым умножением в столбик. Хотя ничего сверхсложного в этой операции нет. Просто нужно немного потренировать краткосрочную память.

Попробуем умножить 47 на 32, разбив процесс на несколько шагов.

  • 47 × 32 — это то же, что и 47 × (30 + 2) или 47 × 30 + 47 × 2.
  • Сначала умножим 47 на 30. Проще некуда: 47 × 3 = 40 × 3 + 7 × 3 = 120 + 21 = 141. Приписываем справа нолик и получаем: 1 410.
  • Поехали дальше: 47 × 2 = 40 × 2 + 7 × 2 = 80 + 14 = 94.
  • Осталось сложить результаты: 1 410 + 94 = 1 500 + 4 = 1 504.

Этот принцип можно применять и к числам с большим количеством разрядов, но удержать в уме столько операций не каждому под силу.

Упрощаем умножение

Кроме общих правил, есть несколько лайфхаков, облегчающих умножение на определённые однозначные числа.

Умножение на 4

Можно умножить многозначное число на 2, а потом снова на 2.

Пример: 146 × 4 = (146 × 2) × 2 = (200 + 80 + 12) × 2 = 292 × 2 = 400 + 180 + 4 = 584.

Умножение на 5

Умножьте исходное число на 10, а потом разделите на 2.

Пример: 489 × 5 = 4 890 / 2 = 2 445.

Умножение на 9

Умножьте на 10, а затем отнимите от результата исходное число.

Пример: 573 × 9 = 5 730 − 573 = 5 730 − (500 + 70 + 3) = 5 230 − (30 + 40) − 3 = 5 200 − 40 − 3 = 5 160 − 3 = 5 157.

Умножение на 11

Приём сводится к следующему: впереди и сзади подставляем первую и последнюю цифры исходного числа. А между ними последовательно суммируем все цифры.

При умножении на двузначное число всё выглядит крайне просто.

Пример: 36 × 11 = 3(3+6)6 = 396.

Если сумма переходит через десяток, в центре остаётся разряд единиц, а к первой цифре добавляем один.

Пример: 37 × 11 = 3(3+7)7 = 3(10)7 = 407.

Чуть сложнее с умножением на более крупные числа.

Пример: 543 × 11 = 5(5+4)(4+3)3 = 5 973.

Как научиться делить в уме

Это операция, обратная умножению, поэтому и успех во многом зависит от знания всё той же школьной таблицы. Остальное — дело практики.

Делим на однозначное число

Для этого разбиваем исходное многозначное число на удобные части, которые точно будут делиться на наше однозначное.

Попробуем разделить 2 436 на 7.

  • Выделим из 2 436 наибольшую часть, которая нацело разделится на 7. В нашем случае это 2 100. Получаем (2 100 + 336) / 7.
  • Продолжаем в том же духе, только теперь с числом 336. Очевидно, что на 7 разделится 280. А в остатке будет 56.
  • Теперь делим каждую часть на 7: (2 100 + 280 + 56) / 7 = 300 + 40 + 8 = 348.

Делим на двузначное число

Это уже высший пилотаж, но мы всё равно попытаемся.
Предположим, вам надо поделить 1 128 на 24.

  • Прикидываем, сколько раз 24 может поместиться в 1 128. Очевидно, что 1 128 примерно в два раза меньше, чем 24 × 100 (2 400). Поэтому для «пристрелки» возьмём множитель 50: 24 × 50 = 1 200.
  • До 1 200 нашему делимому 1 128 не хватает 72. Сколько раз 24 поместится в 72? Правильно, 3. А значит, 1 128 = 24 × 50 − 24 × 3 = 24 × (50 − 3) = 24 × 47. Стало быть, 1128 / 24 = 47.

Мы взяли не самый трудный пример, но пользуясь методом «пристрелки» и дроблением на удобные части, вы научитесь совершать и более сложные операции.

Что поможет освоить устный счёт

Для упражнений придётся ежедневно придумывать новые и новые примеры, только если вы сами этого хотите. В противном случае воспользуйтесь другими доступными способами.

Настольные игры

Играя в те, где необходимо постоянно вычислять в уме, вы не просто учитесь быстро считать. А совмещаете полезное с приятным времяпрепровождением в кругу семьи или друзей.

Карточные забавы вроде «Уно» и всевозможные варианты математического домино позволяют школьникам играючи освоить простое сложение, вычитание, умножение и деление. Более сложные экономические стратегии а-ля «Монополия» развивают финансовое чутьё и оттачивают сложные навыки счёта.

Что купить
  • «Уно»;
  • «7 на 9»;
  • «7 на 9 multi»;
  • «Трафик Джем»;
  • «Хекмек»;
  • «Математическое домино»;
  • «Умножариум»;
  • «Код фараона»;
  • «Суперфермер»;
  • «Монополия».

Мобильные приложения

С ними вы сможете довести устный счёт до автоматизма. Большинство из них предлагают решить примеры на сложение, вычитание, умножение и деление по программе младших классов. Но вы удивитесь, насколько это непросто. Особенно если задачи нужно щёлкать на время, без ручки и бумаги.

Математика: устный счёт, таблица умножения

Охватывает задания на устный счёт, которые соответствуют 1–6 классам школьной программы, включая и задачи на проценты. Позволяет тренировать скорость и качество счёта, а также настраивать сложность. Например, от простой таблицы умножения можно перейти к умножению и делению двузначных и трёхзначных чисел.

Цена: Бесплатно

Математика в уме

Ещё один простой и понятный тренажёр устного счёта с подробной статистикой и настраиваемой сложностью.

Цена: Бесплатно

1 001 задача для счёта в уме

В приложении используются примеры из пособия по математике «1 001 задача для умственного счёта», которое ещё в XIX веке составил учёный и педагог Сергей Рачинский.

Разработчик: Dwerty

Цена: Бесплатно

Цена: Бесплатно

Математические хитрости

Приложение позволяет легко и ненавязчиво освоить основные математические приёмы, которые облегчают и ускоряют устный счёт. Каждый приём можно отработать в тренировочном режиме. А потом поиграть на скорость вычислений с собой или соперником.

Цена: Бесплатно

Цена: Бесплатно

Quick Brain

Цель игры — правильно решить как можно больше математических примеров за определённый промежуток времени. Тренирует знание таблицы умножения, сложение и вычитание. А ещё содержит популярный математический пазл «2 048».

Цена: Бесплатно

Веб-сервисы

Регулярно заниматься интеллектуальной зарядкой с числами можно и на математических онлайн-тренажёрах. Выбирайте необходимый вам тип действия и уровень сложности — и вперёд, к новым интеллектуальным вершинам. Вот лишь несколько вариантов.

  • Математика.Club — тренажёр устного счёта.
  • Школа Аристова — тренажёр устного счёта (охватывает двузначные и трёхзначные числа).
  • «Развивайка» — тренировка устного счёта в пределах ста.
  • 7gy.ru — тренажёр по математике (вычисления в пределах ста).
  • Chisloboy — онлайн-игра на развитие скорости счёта.
  • kid-mama — тренажёры по математике для 0–6 классов.

Читайте также 🧠🎓😤

.

Как разделить дроби с помощью инвертирования и умножения

Несколько месяцев назад мы говорили о том, как умножать дроби. Теперь, когда мы привыкли к этому и поговорили о нескольких приложениях умножения дробей, например о том, как преобразовать единицы и как оценить, насколько быстро кто-то бежит, следующая логическая вещь, которую нужно сделать, - это также научиться делить дроби. Итак, именно об этом мы и поговорим сегодня.

Как разделить одно целое число на другое

Но прежде чем перейти к дробям, давайте поговорим о том, как разделить одно целое число на другое.Теперь вы можете спросить: разве это не нормальное деление? Это правда, это так. Но моя цель не в том, чтобы говорить о механике выполнения нормального деления, а в том, чтобы рассмотреть, что это на самом деле означает. Итак, что же на самом деле означает такая задача, как 6, разделенная на 2? Ну, это просто еще один способ задать вопрос: «Сколько раз 2 переходит в 6?» И, конечно, ответ - 3. Вы можете думать об этом так: представьте, что у вас есть 6 яблок, которые вы затем разделите на группы по 2 яблока. Это означает, что перед вами 3 группы по 2 яблока, поэтому 6 разделенных на 2 (или 6 разделенных на группы по 2) равняются 3.Да, я знаю, что это чрезвычайно простой пример, но простой пример поможет нам при переходе к более сложным темам.

Хорошо, прежде чем двигаться дальше, я хочу напомнить вам кое-что, о чем мы говорили в статье о том, как связаны дроби и деление, что будет действительно важно для понимания сегодняшней темы. Что это? Идея заключается в том, что деление числа на 2 - это то же самое, что умножение его на дробь 1/2. Итак, задача деления 6 на 2 эквивалентна задаче умножения 6 на 1/2.Это означает, что довольно интересно, что задачу деления целых чисел можно превратить в задачу умножения дробей. И это очень пригодится через несколько минут.

Как разделить дробь на целое

Теперь давайте поднимемся на одну ступень по лестнице сложности. Вместо деления целого числа на другое целое число, давайте разделим дробь на целое число. Возьмем, к примеру, задачу 1/2, разделенную на 3. Что это на самом деле означает? Он спрашивает: «Сколько раз 3 умещается в 1/2?» Мы сразу же знаем, что ответ должен быть числом меньше 1, поскольку 3 не укладывается в 1/2 любое целое количество раз.Но он уложится в 1/2 некоторое дробное количество раз. Какая фракция? Что ж, давайте вернемся к использованию отношения между дробями и делением, которое говорит нам, что задача 1/2, деленная на 3, эквивалентна задаче 1/2 умноженной на 1/3, что равно 1/6. А это значит, что мы снова превратили проблему деления в проблему умножения дробей.

Как разделить целое число на дробь

Хорошо, давайте перевернем проблему деления дроби на целое с ног на голову и вместо этого поговорим о делении целого числа на дробь.Как насчет задачи 2, разделенной на 1/4? Что это на самом деле значит? Что ж, здесь все становится немного сложнее. Задача 2, разделенная на 1/4, спрашивает, сколько раз 1/4 превратится в 2. Вы можете думать об этом так: представьте, что у вас есть два апельсина, которые вы делите на четвертинки. Тогда возникает вопрос: сколько из этих четвертных клиньев уместятся в 2 апельсина? Конечно, ответ должен быть 8, потому что у каждого апельсина 4 четвертинки, и есть 2 апельсина, поэтому 4 умножить на 2 равно 8.

Это было неплохо, правда? Но не всегда бывает так просто.Вот что я имею в виду: что, если бы проблема была не в соотношении 2 на 1/4, а в чем-то более сложном, например, 7 разделить на 8/9. Тогда вам придется пытаться вычислить, сколько раз 8/9 переходит в 7 - а это определенно сложнее сделать в своей голове! Должен быть способ получше. Так и есть. Итак, в чем трюк?

Разделение дробей с помощью преобразования и умножения

Быстрый и грязный наконечник для облегчения деления на фракции - не забыть инвертировать и умножать. Вот что это значит.Давайте вернемся к нашей задаче 2, разделенной на 1/4, и представим это как большую дробь с 2 в числителе и дробью 1/4 в знаменателе. Обратная часть «инвертировать и умножить» означает взять знаменатель этой большой дроби, 1/4, и инвертировать ее. Другими словами, переверните его с ног на голову, чтобы его числитель стал знаменателем, и наоборот. Следовательно, величина, обратная 1/4, равна 4/1, или просто 4. Теперь о части умножения «инвертировать и умножить»: все, что вам нужно сделать, это умножить 2 из исходной задачи на обратный знаменатель, 4.Итак, это 2 умножить на 4, что, конечно же, равно 8 - точно так же, как мы рассчитали ранее. Но, в отличие от того, как мы рассчитывали это ранее, теперь у нас есть простой способ решения более сложных задач. Возьмите 7, разделив на 8/9. Все, что нам нужно сделать, это инвертировать 8/9, чтобы получить 9/8, а затем умножить это на 7 (числитель: 7 x 9 = 63; знаменатель: 1 x 8 = 8), чтобы найти ответ 63/8, или 7 и 7/8.

Почему работают инвертирование и умножение

[[AdMiddle] Но почему «перевернуть и умножить» работает? Что ж, это работает по той же причине, по которой мы смогли превратить проблему деления двух целых чисел в задачу умножения дробей еще в начале этой статьи.Другими словами, когда мы превратили 6 деленное на 2 в задачу 6 умножить на 1/2, мы просто инвертировали и умножали. И каждая из причин, о которых мы говорили о том, почему тогда это сработало, все еще актуальна для этих других типов задач - будь то деление целого числа на дробь или даже деление дроби на дробь. Просто не забудьте инвертировать и умножать, и ваша жизнь с дробями станет намного проще. Конечно, не забывайте, почему это работает - всегда полезно понять, как и почему ваши инструменты делают то, что они делают, прежде чем вы начнете пытаться их использовать ... таким образом вы не попытаетесь использовать что-то вроде кувалды для подвешивания картины.

Заключение

Хорошо, на этом все математические вычисления у нас есть на сегодня. Пожалуйста, присылайте свои математические вопросы и комментарии по адресу [email protected] Вы можете получать обновления о подкасте Math Dude «Video Extra!» эпизоды на YouTube и все другие мои размышления о математике, науке и жизни в целом, подписавшись на меня в Twitter. И не забудьте присоединиться к нашему огромному сообществу поклонников математики в социальных сетях, став поклонником Math Dude на Facebook.

До следующего раза, это Джейсон Маршалл с «Быстрые и грязные советы математика, которые помогут упростить математику» .Спасибо за чтение, любители математики!

.

Как умножать и делить в научной записи

  1. Образование
  2. Наука
  3. Химия
  4. Как умножать и делить в научной записи

Крис Хрен, Питер Дж. Микулецки

Чтобы упростить работу с экстремальными числами химики обращаются к научному представлению, которое представляет собой особый вид экспоненциального представления. Основное преимущество представления чисел в экспоненциальном представлении состоит в том, что оно упрощает общие арифметические операции, такие как умножение и деление.

Умножение в экспоненциальном представлении

Чтобы умножить два числа, записанных в экспоненциальном представлении, вы вычисляете коэффициенты и показатели отдельно . Вот пример:

Чтобы решить эту проблему, просто выполните следующие действия:

  1. Умножьте коэффициенты.
  2. Сложить показатели степеней 10.
  3. Соедините новый коэффициент с новой степенью 10, чтобы получить ответ.

Деление в экспоненциальной системе

Чтобы разделить два числа, записанных в экспоненциальной системе счисления, вы также отдельно вычисляете коэффициенты и показатели, но теперь это включает деление и вычитание.Вот пример:

Чтобы решить эту проблему, выполните следующие действия:

  1. Разделите коэффициенты.

  2. Вычтите показатель степени в знаменателе из показателя степени в числителе.
    Помните, что знаменатель - это нижнее число, а числитель - это верхнее число.

  3. Присоедините новый коэффициент к новой степени 10.

Хорошо, время для нескольких практических вопросов.

Практические вопросы

  1. Умножьте следующее:

  2. В экспоненциальном представлении разделите следующее:

Ответы и пояснения

  1. Правильный ответ:

    Сначала умножьте коэффициенты:

    Затем умножьте степени 10, добавив экспоненты:

    Необработанное вычисление дает

    , которое преобразуется в данный ответ, когда вы выражаете его в экспоненциальной нотации:
  2. Правильный ответ:

    Сначала преобразуйте каждое число в экспоненциальное представление:

    Затем разделите коэффициенты:

    Затем вычтите показатель степени знаменателя из степени числителя, чтобы получить новую степень 10:

    Соединить новый коэффициент с новой степенью:

    Наконец, выражаем благодарность за то, что ответ уже удобно выражен в научных обозначениях.
Об авторе книги

Кристофер Хрен - учитель химии в средней школе, бывший тренер по легкой атлетике и футболу. Питер Дж. Микулецки, доктор философии, преподает биологию и химию в Учебном центре Fusion и Академии Fusion.

.

переменных с показателями - как их умножить и разделить

Как их умножить и разделить

Что такое переменная с экспонентой?

A Переменная - это символ числа, которое мы еще не знаем. Обычно это буква типа x или y.

Показатель степени (например, 2 из x 2 ) указывает, сколько раз использовать переменную при умножении.

Пример: y 2 = yy

( yy означает yy , умноженное на y , потому что в алгебре размещение двух букв рядом друг с другом означает их умножение)

Аналогично z 3 = zzz и x 5 = xxxxx

Показатели 1 и 0

Показатель 1

Когда показатель степени равен 1, у нас есть только сама переменная (например, x 1 = x )

Обычно мы не пишем «1», но иногда полезно помнить, что x - это также x 1

Показатель 0

Когда показатель степени равен 0, мы не умножаем ни на что, и ответ будет просто «1»
(например, y 0 = 1 )

Умножение переменных на экспоненты

Итак, как это умножить:

(y 2 ) (y 3 )

Мы знаем, что y 2 = yy и y 3 = yyy , поэтому давайте выпишем все умножения:

y 2 y 3 = yy yyy

То есть умножение на 5 y, поэтому новый показатель степени должен быть 5:

y 2 y 3 = y 5

Но почему считают «у», когда показатель степени уже говорит нам, сколько?

Показатели степени говорят нам, что есть два "y", умноженные на 3 "y", в сумме получается 5 "y":

y 2 y 3 = y 2 + 3 = y 5

Итак, самый простой способ - это просто сложить экспоненты !

(Примечание: это один из законов экспонент)

Смешанные переменные

Когда у нас есть набор переменных, просто сложите показатели для каждой, как это (нажмите кнопку воспроизведения):

(Помните: переменная без показателя степени действительно имеет показатель степени 1, например: y равно y 1 )

с константами

Часто встречаются константы (числа вроде 3, 2.9, ½ и т. Д.).

Не бойтесь! Просто умножьте константы по отдельности и поместите результат в ответ:

(Примечание: «·» означает умножение, которое мы используем, когда «×» можно спутать с буквой «x»)

Вот более сложный пример с константами и показателями:

Отрицательные экспоненты

Отрицательное деление на экспоненты!

x -1 = 1 x x -2 = 1 x 2 x -3 = 1 x 3 и др...

Ознакомьтесь с этой идеей, она очень важна и полезна!

Разделение

Итак, как нам это сделать? л 3 л 2

Выпишем все умножения: ггг гг

Теперь удалите все совпадающие «y», которые равны
как сверху, так и снизу (потому что y y = 1)

И у нас остается: y

Таким образом, 3 "y" над линией уменьшаются на 2 "y" ниже линии, оставляя только 1 "y":

y 3 y 2 = yyy yy = y 3-2 = y 1 = y

ИЛИ, мы могли бы сделать это так:

y 3 y 2 = y 3 y -2 = y 3-2 = y 1 = y

Итак... просто вычтите показателей переменных, на которые мы делим!

Вот более крупная демонстрация, включающая несколько переменных:

Буквы "z" полностью исключены! (Что имеет смысл, потому что z 2 / z 2 = 1)

Чтобы увидеть, что происходит, запишите все умножения, затем «вычеркните» верхние и нижние переменные:

x 3 y z 2 x y 2 z 2 знак равно ххх у zz х уу zz знак равно x xx y zz x y y zz знак равно х х у знак равно x 2 y

Но еще раз, почему считает переменных, когда экспоненты говорят вам , сколько?

Как только вы почувствуете себя уверенно, вы сможете сделать все довольно быстро «на месте», например:

.

Смотрите также