Как научиться делить и умножать


Как объяснить ребенку умножение и деление?


Екатерина Ушахина

Можно заставить ребенка просто решать скучные примеры (и ему будет совсем неинтересно), а можно предложить ему решить забавные текстовые задачки в тетради Kumon или сразиться в межпланетном рыцарском турнире на звание лучшего знатока дробей. Второй подход определенно занимательнее: ребенку гораздо больше понравится учить математику в игре.

Ребятам постарше также по душе будут игровые моменты в обучении. Ведь гораздо веселее изучать математику через яркое домино, чем читать длинные главы в учебнике.

Подготовили для вас несколько советов и подборку книг, которые помогут разложить умножение и деление по полочкам.

Умножаем

Что такое умножение? При умножении второе число показывает, сколько раз нужно сложить первое число с самим собой. На рисунке в каждой шеренге стоят 13 человек, а всего шеренг 9. Чтобы подсчитать общее количество людей, нужно число 13 сложить само с собой 9 раз. Это и будет произведением чисел 13 на 9.

Не имеет значения, в каком порядке перемножаются числа: ответ будет одинаковым. Ниже показаны два способа, как можно вычислить произведение.

Умножение на 10, 100, 1000 Для того чтобы умножить целое число на 10, 100, 1000 и т. д., нужно просто дописать справа от этого числа один нуль (0), два нуля (00), три нуля (000) и т. д.

Приемы умножения. Некоторые числа легко умножать, зная особые приемы. В таблице показаны приемы быстрого умножения на 2, 5, 6, 9, 12 и 20.

Делим

Деление позволяет найти, сколько раз одно число содержится в другом. Процесс деления можно представить, например, так: если 10 монет раздать 2 людям, то каждый получит по 5 монет. Или так: 10 монет, разложенные в стопки по 2 монеты, дадут 5 стопок.

Как выполняется деление? Деление одного числа (делимого) на другое (делитель) показывает, сколько делителей содержится в делимом. Например, при делении 10 на 2 мы находим, сколько чисел 2 содержится в числе 10. Результат деления называется частным.

Деление как распределение. Распределение чего-либо — это, по сути, операция деления. Так, если поровну распределить четыре конфеты между двумя людьми, у каждого из них будет по две конфеты.

Как деление связано с умножением? Деление — это операция, обратная умножению. Если вы знаете результат деления, то можете записать соответствующее произведение, и наоборот.

Если 10 (делимое) поделить на 2 (делитель), то получится 5 (частное). Умножая частное (5) на делитель (2), мы получаем значение исходного делимого (10).

Другой подход к делению. Деление также показывает, сколько раз в делимом встречаются группы, равные делителю. Ответом будет то же самое частное. Получилось ровно 10 групп по 3 мяча (без остатка), поэтому 30 : 3 = 10. В этом примере 30 футбольных мячей делятся на группы по 3 мяча.

Книги и тетради, которые помогут закрепить навыки

Арифметикум


Домино, с которым ребенок научится хорошо складывать, вычитать, умножать и делить числа до 100. Игрок должен разместить карточку так, чтобы на оказавшихся рядом клеточках был написан пример и правильный ответ или два примера, в результате решения которых получится одно число.

Вокруг любой клеточки можно расположить сразу несколько карточек: по одной у каждой свободной стороны. Проверить вычисления игроки могут по цветным узорам: если узоры совпадают, ход сделан правильно.

Умножариум


Веселая игра поможет освоить математику

Это домино создано специально для легкого и увлекательного изучения таблицы умножения детьми: вместо традиционных точек на каждой карточке нанесены математические примеры и цифры. Совмещая клетку с примером (например, 5×8) и результат умножения (40), ребенок сразу видит, правильно ли он посчитал пример, благодаря цветовому паттерну, который должен совпасть на двух клетках.

Kumon спешит на помощь

У нас есть множество тетрадей разных уровней сложности, которые помогут выучить таблицу умножения на зубок.

KUMON. Математика. Умножение. Уровень 4

Эта яркая тетрадка научит ребенка умножать многозначные числа в столбик. Шаг за шагом он будет осваивать этот навык, его ждут примеры, которые будут постепенно усложняться, полезные подсказки и, конечно, ключи с ответами в конце тетради для самоконтроля.


Простые задачки научат умножать. Пример из тетради

Kumon. Математика. Деление. Уровень 4

Выполняя задания в этой тетради, ваш ребёнок научится делить многозначные числа в столбик с остатком и без него. Продвигаясь вперёд небольшими последовательными шажками, он обретёт не только математические знания, но и уверенность в своих силах.

Межпланетный рыцарский турнир

Решая примеры из этой книги, ребенок примет участие в настоящем межпланетном состязании! Каждый правильный ответ — ты успешно атаковал противника, каждая ошибка — противник успешно атаковал тебя. Для убедительности в книге есть изображения персонажей, за которых нужно сыграть юному математику, и их соперников, а также фантастические истории про инопланетян. Всех героев можно раскрасить!

Успешных занятий!

Как разделить дроби с помощью инвертирования и умножения

Несколько месяцев назад мы говорили о том, как умножать дроби. Теперь, когда мы привыкли к этому и поговорили о нескольких применениях умножения дробей, например о том, как преобразовать единицы и как оценить, насколько быстро кто-то бежит, следующая логическая вещь, которую нужно сделать, - это также научиться делить дроби. Итак, именно об этом мы и поговорим сегодня.

Как разделить одно целое число на другое

Но прежде чем перейти к дробям, давайте поговорим о том, как разделить одно целое число на другое.Теперь вы можете спросить: разве это не нормальное деление? Это правда, это так. Но моя цель не в том, чтобы говорить о механике выполнения нормального деления, а в том, чтобы рассмотреть, что это на самом деле означает. Итак, что же на самом деле означает такая задача, как 6, разделенная на 2? Ну, это просто еще один способ задать вопрос: «Сколько раз 2 переходит в 6?» И, конечно, ответ - 3. Вы можете думать об этом так: представьте, что у вас есть 6 яблок, которые вы затем разделите на группы по 2 яблока. Это означает, что перед вами 3 группы по 2 яблока, поэтому 6 разделенных на 2 (или 6 разделенных на группы по 2) равняются 3.Да, я знаю, что это чрезвычайно простой пример, но простой пример поможет нам при переходе к более сложным темам.

Хорошо, прежде чем двигаться дальше, я хочу напомнить вам кое-что, о чем мы говорили в статье о том, как соотносятся дроби и деление, что будет действительно важно для понимания сегодняшней темы. Что это? Идея заключается в том, что деление числа на 2 - это то же самое, что умножение его на дробь 1/2. Итак, задача деления 6 на 2 эквивалентна задаче умножения 6 на 1/2.Это означает, что довольно интересно, что задачу деления целых чисел можно превратить в задачу умножения дробей. И это очень пригодится через несколько минут.

Как разделить дробь на целое

Теперь давайте поднимемся на одну ступень по лестнице сложности. Вместо деления целого числа на другое целое число, давайте разделим дробь на целое число. Возьмем, к примеру, задачу 1/2, разделенную на 3. Что это на самом деле означает? Он спрашивает: «Сколько раз 3 умещается в 1/2?» Мы сразу же знаем, что ответ должен быть числом меньше 1, поскольку 3 не укладывается в 1/2 любое целое количество раз.Но он уложится в 1/2 некоторое дробное количество раз. Какая фракция? Что ж, давайте вернемся к использованию отношения между дробями и делением, которое говорит нам, что задача 1/2, деленная на 3, эквивалентна задаче 1/2 умноженной на 1/3, что равно 1/6. А это значит, что мы снова превратили проблему деления в проблему умножения дробей.

Как разделить целое число на дробь

Хорошо, давайте перевернем проблему деления дроби на целое с ног на голову и вместо этого поговорим о делении целого числа на дробь.Как насчет задачи 2, разделенной на 1/4? Что это на самом деле значит? Что ж, здесь все становится немного сложнее. Задача 2, разделенная на 1/4, заключается в том, чтобы спросить, сколько раз 1/4 превратится в 2. Вы можете думать об этом так: представьте, что у вас есть два апельсина, которые вы разделите на четвертинки. Тогда возникает вопрос: сколько из этих четвертных клиньев уместятся в 2 апельсина? Конечно, ответ должен быть 8, потому что у каждого апельсина 4 четвертинки, и есть 2 апельсина, поэтому 4 умножить на 2 равно 8.

Это было неплохо, правда? Но не всегда бывает так просто.Вот что я имею в виду: что, если бы проблема была не в соотношении 2 на 1/4, а в чем-то более сложном, например, 7 разделить на 8/9. Тогда вам придется пытаться вычислить, сколько раз 8/9 переходит в 7 - а это определенно сложнее сделать в своей голове! Должен быть способ получше. Так и есть. Итак, в чем трюк?

Разделение дробей с помощью преобразования и умножения

Быстрый и грязный наконечник для облегчения деления на фракции - не забыть инвертировать и умножать. Вот что это значит.Давайте вернемся к нашей задаче 2, разделенной на 1/4, и представим это как большую дробь с 2 в числителе и дробью 1/4 в знаменателе. Обратная часть «инвертировать и умножить» означает взять знаменатель этой большой дроби, 1/4, и инвертировать ее. Другими словами, переверните его с ног на голову, чтобы его числитель стал знаменателем, и наоборот. Следовательно, величина, обратная 1/4, равна 4/1, или просто 4. Теперь о части умножения «инвертировать и умножить»: все, что вам нужно сделать, это умножить 2 из исходной задачи на обратный знаменатель, 4.Итак, это 2 умножить на 4, что, конечно же, равно 8 - точно так же, как мы рассчитали ранее. Но, в отличие от того, как мы рассчитывали это ранее, теперь у нас есть простой способ решения более сложных задач. Возьмите 7, разделив на 8/9. Все, что нам нужно сделать, это инвертировать 8/9, чтобы получить 9/8, а затем умножить это на 7 (числитель: 7 x 9 = 63; знаменатель: 1 x 8 = 8), чтобы найти ответ 63/8, или 7 и 7/8.

Почему работают инвертирование и умножение

[[AdMiddle] Но почему «перевернуть и умножить» работает? Что ж, это работает по той же причине, по которой мы смогли превратить проблему деления двух целых чисел в задачу умножения дробей еще в начале этой статьи.Другими словами, когда мы превратили 6 деленное на 2 в задачу 6 умножить на 1/2, мы просто инвертировали и умножали. И каждая из причин, о которых мы говорили о том, почему тогда это сработало, по-прежнему актуальна для этих других типов задач - будь то деление целого числа на дробь или даже деление дроби на дробь. Просто не забудьте инвертировать и умножать, и ваша жизнь с дробями станет намного проще. Конечно, не забывайте, почему это работает - всегда полезно понять, как и почему ваши инструменты делают то, что они делают, прежде чем вы начнете пытаться их использовать ... таким образом вы не попытаетесь использовать что-то вроде кувалды для подвешивания картины.

Заключение

Хорошо, на этом все математические вычисления у нас есть на сегодня. Пожалуйста, присылайте свои математические вопросы и комментарии по адресу [email protected] Вы можете получать обновления о подкасте Math Dude «Video Extra!» эпизоды на YouTube и все другие мои размышления о математике, науке и жизни в целом, подписавшись на меня в Twitter. И не забудьте присоединиться к нашему огромному сообществу поклонников математики в социальных сетях, став поклонником Math Dude на Facebook.

До следующего раза, это Джейсон Маршалл с «Быстрые и грязные советы математика, которые помогут упростить математику» .Спасибо за чтение, любители математики!

.

Как складывать, вычитать, умножать и делить дроби

Как складывать, вычитать, умножать и делить дроби

Прежде чем вы сможете перейти к более сложным понятиям алгебры и геометрии, вам необходимо сначала освоить все математические функции, относящиеся к дробям. В этой статье мы рассмотрим, как складывать, вычитать, умножать и делить две дроби, а также дробь и целое число. Мы также представим сложные дроби и способы их упрощения.Прежде чем продолжить, убедитесь, что вы полностью понимаете четыре основных математических операции: сложение, вычитание, умножение и деление.

Ключевые термины

o Общий знаменатель

o Взаимное

o Сложная фракция

Цели

o Узнайте, как складывать, вычитать, умножать и делить дроби

o Уметь интерпретировать дроби, содержащие отрицательные числа

o Распознавать и упрощать сложные дроби

Теперь, когда мы разработали прочную основу в отношении того, что такое дроби, а также некоторых различных типов дробей, мы можем перейти к применению основных арифметических операций (сложение, вычитание, умножение и деление) к дробям.

Сложение и вычитание

В случаях, когда используются простые числа, сложение и вычитание дробей достаточно просто. Например, сложение одной трети и одной трети, очевидно, дает нам две трети. Точно так же три пятых минус две пятых - одна пятая. Первый случай проиллюстрирован ниже.

А как насчет таких случаев, как половина плюс треть?

Обратите внимание, что сложение (вычитание) дробей с одинаковым знаменателем очень просто - мы просто складываем (вычитаем) числители и делим на тот же знаменатель.Мы уже должны знать, что можем записывать эквивалентные дроби с разными числителями и знаменателями. Таким образом, если мы просто преобразуем одну или обе дроби, которые мы складываем или вычитаем, в эквивалентные дроби с тем же знаменателем, тогда мы можем сложить дроби простым способом, описанным выше. Тогда при необходимости мы можем свести результат к минимуму.

Задача сложения и вычитания дробей - найти общий знаменатель . Самый простой подход к нахождению общего знаменателя - просто умножить два существующих знаменателя и затем преобразовать числители соответствующим образом, чтобы получить эквивалентные дроби. Хотя этот подход концептуально прост, он может быть математически трудным, когда знаменатели большие. Тем не менее, давайте попробуем этот подход в целях иллюстрации. Рассмотрим дополнение, упомянутое выше.

Общий знаменатель - 6 (или 23), потому что мы можем умножить числитель и знаменатель на 3, чтобы получить, и мы можем умножить числитель и знаменатель на 2, чтобы получить.В этом случае простое добавление.

Практическая задача: Рассчитайте результат в каждом случае.

а. б. c.

Решение: В каждом случае найдите общий знаменатель и преобразуйте члены в эквивалентные дроби с этим знаменателем. Для каждого случая приводится один возможный общий знаменатель. Сумма (разность) дробей - это сумма (разность) числителей над общим знаменателем.Если возможно, сократите результат до самых низких значений.

а. Общий знаменатель: 21

г. Общий знаменатель: 8

г. Общий знаменатель: 45

Умножение и деление

Умножение и деление дробей в некотором смысле проще, чем их сложение и вычитание.Допустим, мы хотим умножить на. Интуитивно ответ довольно очевиден: половина половины - это четверть (или одна четверть). Например, если у вас есть 50 центов (половина доллара) и вы хотите умножить их на половину, то в итоге вы получите 25 центов (четверть доллара).

Чтобы умножить две дроби, просто умножьте числители и умножьте знаменатели, чтобы получить произведение. В некоторых случаях товар уже будет по самым низким ценам; в других случаях вам, возможно, придется сократить его до самых низких значений.Например, произведение и выглядит следующим образом:

При умножении дроби на целое число обратите внимание, что любое целое число - это просто дробь с целым числом в числителе и 1 в знаменателе. Например,

Практическая задача : Рассчитайте следующие произведения.

Решение : В каждом случае произведение является произведением числителей на произведение знаменателей.Если один из множителей является целым числом, рассматривайте его как дробь, имеющую целое число в качестве числителя и 1 в качестве знаменателя. Если возможно, уменьшите количество продуктов до минимальных.

а. б.

г.

Теперь рассмотрим случай деления. Допустим, мы хотим разделить на. Интуитивно ответ - 2 - например, 25 центов (четверть доллара) могут дважды превратиться в 50 центов (полдоллара).

Обратите внимание, что если бы мы перевернули второй множитель так, чтобы числитель стал знаменателем, а знаменатель стал числителем, а также изменили бы операцию с деления на умножение, мы бы получили тот же результат.

Фактически, это удобный способ деления дробей. Деление на дробь аналогично умножению на , обратное этой дроби. Обратное - это просто "перевернутая" дробь. Таким образом, например, обратная величина is (или).

Как и в случае с умножением дробей, помните, что целое число также можно записать в виде дроби. Таким образом, например, 6 является обратной величиной. Поэтому мы можем делить дроби на целые числа, а также на другие дроби.Кроме того, обратите внимание, что произведение дроби на обратную величину всегда равно 1. Рассмотрим пример ниже.

В свете того, как мы определили деление и умножение, мы можем предоставить более строгое обоснование нашего метода вычисления эквивалентных дробей. Обратите внимание, что число 1 можно записать как любое другое число, разделенное само на себя. Например,


Таким образом, процесс поиска эквивалентных дробей - это не что иное, как умножение заданной дроби на 1! Рассмотрим пример ниже.

Практическая задача : Рассчитайте следующие частные.

а. б. c.

Решение : В каждом случае умножьте дивиденд на обратную величину делителя. Если возможно, уменьшите количество продуктов до минимальных.

а.

б.

c.

Дроби и отрицательные числа

Поскольку дроби - это не что иное, как представление деления, у нас уже есть инструменты, необходимые для понимания роли отрицательных чисел в дробях.Напомним, что произведение (или частное) двух отрицательных или двух положительных чисел является положительным, а произведение (или частное) одного отрицательного числа и одного положительного числа отрицательно. Итак, рассмотрим пример дроби; рассмотрим каждый возможный случай.

В первом случае (числитель и знаменатель имеют одинаковый знак) результат - положительное число. Во втором случае (числитель и знаменатель имеют противоположные знаки) результат - отрицательное число.Таким образом, иногда мы можем просто поставить отрицательный знак во втором случае рядом с целой дробью, а не рядом с числителем или знаменателем. Тем не менее, обратите внимание, что все три представления равны, и в некоторых ситуациях одно может быть более полезным, чем другое.

Сложные фракции


Напомним, что дробь - это просто способ выражения деления двух чисел (где числитель - это делимое, а знаменатель - это делитель).Поскольку мы можем делить дроби, мы также можем выразить это деление как «дробь дробей» или комплексную дробь . Ниже приведен пример сложной дроби. Обратите внимание, что для ясности дроби в числителе и знаменателе комплексной дроби показаны «наклонно» - это изменение, однако, не подразумевает какой-либо математической разницы.

Такие дроби можно и часто нужно упрощать. Для этого мы можем воспользоваться одним из нескольких подходов.Напомним, что мы можем найти эквивалентную дробь, умножив числитель и знаменатель на одно и то же число. Таким образом, один из подходов - умножить числитель и знаменатель комплексной дроби на произведение знаменателей простых дробей, как показано ниже.

В качестве альтернативы, мы можем умножить числитель и знаменатель комплексной дроби на обратную величину ее знаменателя. Поскольку знаменатель становится равным 1, результатом является просто значение числителя.

Другой способ взглянуть на этот последний подход состоит в том, что мы просто выполняем деление:

В зависимости от конкретной ситуации один подход может быть проще другого; однако все они одинаково приемлемы.

Практическая задача : Упростите следующие сложные дроби.

а. б.c.

Решение : Один из возможных подходов к упрощению этих сложных дробей - это умножение дроби в числителе на величину, обратную дроби в знаменателе. Если возможно, сократите результат до самых низких значений. В случае части c обратите внимание, что 5 является обратной величиной и что частное (или произведение) положительного числа, деленного (умноженного) на отрицательное число, является отрицательным числом.

а.

б.

c.

.

Как научить делению в столбик: пошаговый метод

В этой статье я объясню, как обучить делению в столбик в несколько шагов. Вместо того, чтобы показывать студентам сразу весь алгоритм, мы искренне воспринимайте это «шаг за шагом».

До ребенок готов учить деление в столбик, он должен знать:

  • таблицы умножения (по крайней мере неплохо)
  • базовая концепция деления, основанная на таблицах умножения
    (например, 28 ÷ 7 или 56 ÷ 8)
  • базовое деление с остатками (например, 54 ÷ 7 или 23 ÷ 5)

Одна из причин, почему деление в столбик затруднено

Деление в длину - это алгоритм, который повторяет основные шаги
1) Делить; 2) Умножить; 3) Вычесть; 4) Отбросьте следующую цифру.

Из этих шагов №2 и №3 могут стать трудными и запутать учащихся, потому что они, по-видимому, не имеют отношения к разделению - они имеют отношение к нахождению остатка. На самом деле, чтобы указать на это, мне нравится объединять их в один "умножить и вычесть" шаг.

Чтобы избежать путаницы, я рекомендую обучать полному делению в таком мода на то, что дети сначала НЕ подвергаются всем этим шагам. Вместо этого вы можете научить этому в несколько «ступенек»:

  • Шаг 1: Все цифры четные.Здесь студенты отрабатывают только разделительную часть.
  • Шаг 2: Остаток в единицах. Сейчас, студенты практикуют часть "умножить и вычесть" и связать это с поиском остаток.
  • Шаг 3: Остаток в десятках. Ученики теперь используйте весь алгоритм, в том числе «отбрасывание следующей цифры», с использованием 2-значного дивиденды.
  • Шаг 4: Остаток в любом месте ценности. Студенты практикуют весь алгоритм, используя более длинные дивиденды.

Шаг 1. Деление четное по всем цифрам

Мы делим числа, в которых каждая цифра сотен, десятков и единиц делится на делитель без остатка. ЦЕЛЬ на этом первом легком шаге чтобы студенты привыкли к двум вещам:

  1. Чтобы привыкнуть к большому делению «угол», чтобы частное писалось сверху.
  2. Чтобы привыкнуть спрашивать, сколько раз делитель переходит в различные цифры делимого.

Ниже приведены примеры проблем для этого шага. Студенты должны проверить каждый деление на умножение.

На этом этапе ученики также учатся смотреть на первые две цифры делимого, если делитель не «входит» в первую цифру:

.

Как разделить дроби | Помощь с математикой

Существует несколько способов деления дробей. Самый простой и наиболее распространенный способ - «перевернуть и размножить».

Деление дробей - инвертирование и умножение

Чтобы разделить дроби, возьмите обратную величину (инвертируйте дробь) делителя и умножьте делимое.

Это самый быстрый способ деления на фракции. Верхняя и нижняя часть умножаются на одно и то же число, и, поскольку это число является обратной величиной нижней части, нижняя часть становится единицей.При делении чего-либо на единицу значение «ничего» остается неизменным.

Деление дробей - общий знаменатель

Существует более длительный способ деления дробей, и его можно назвать «более правильным» методом. Он предполагает использование эквивалентных дробей, чтобы знаменатели обеих дробей были одинаковыми. Это правильный способ, поскольку, строго говоря, нельзя разделить яблоки на апельсины так же, как нельзя разделить пятые на четверти.

Вы можете объяснить этот правильный метод своему ребенку, если ему интересно.В противном случае для деления дробей лучше всего использовать метод инвертирования и умножения.

Рабочие листы

Рабочие листы выше позволят много попрактиковаться с делением дробей.

Ознакомьтесь с генератором рабочего листа дробей. Он предоставляет неограниченное количество вопросов о делении дробей. Примечание: он также отвечает на вопросы по их сложению, вычитанию и умножению.

.

Смотрите также