Как научиться доказывать равенство треугольников


как доказать равенство углов, 3 признака равенства, подобие треугольников

Геометрия как отдельный предмет начинается у школьников в 7 классе. До этого времени они касаются геометрических задач достаточно лёгкой формы и в основном того, что можно рассмотреть на наглядных примерах: площади комнаты, земельного участка, длины и высоты стен в помещениях, периметра плоских предметов и прочее. В нача ле изучения непосредственно геометрии появляются первые сложности, такие, например, как понятие прямой, так как потрогать руками эту прямую нет возможности. Что касается треугольников -это самый простой вид многоугольников, содержащий всего три угла и три стороны.

...

Вконтакте

Facebook

Twitter

Google+

Мой мир

Тема треугольников одна из основных важных и больших тем школьной программы в геометрии 7−9 классов. Усвоив её хорошо, возможно решать очень сложные задачи. При этом можно изначально рассматривать совершенно другую геометрическую фигуру, а затем разделить её для удобства на подходящие треугольные части.

Как доказать, что треугольники равны

Для работы над доказательством равенства ∆ ABC и ∆A1B1C1 нужно хорошо усвоить признаки равенства фигур и уметь ими пользоваться. Перед изучением признаков необходимо научиться определять равенство сторон и углов простейших многоугольников.

Чтобы доказать, что углы треугольников равны, помогут следующие варианты:

  1. ∠ α = ∠ β исходя из построения фигур.
  2. Дано в условии задания.
  3. При двух параллельных прямых и наличии секущей могут образоваться как внутренние накрест лежащие, так и соответственные ∠ α = ∠ β.
  4. Прибавляя (вычитая) к (из) ∠ α = ∠ β равные углы.
  5. Всегда сходны вертикальные ∠ α и ∠ β
  6. Общий ∠ α, одновременно принадлежащий ∆ MNK и ∆ MNH .
  7. Биссектриса делит ∠ α на два равнозначных.
  8. Смежный с 90° — угол, равный исходному.
  9. Смежные равным углам равны.
  10. Высота образует два смежных 90° .
  11. В равнобедренном ∆ MNK при основании ∠ α = ∠ β.
  12. В равных ∆ MNK и ∆ SDH соответствующие ∠ α = ∠ β.
  13. Доказанное ранее равенство ∆ MNK и ∆ SDH .

Это интересно: Как найти периметр треугольника.

3 признака равенства треугольников

Доказательство равенства ∆ ABC и ∆A1B1C1 очень удобно производить, опираясь на основные признаки тождественности этих простейших многоугольников. Существует три таких признака. Они являются очень важными при решении многих геометрических задач. Стоит рассмотреть каждый.

  • I признак. Две стороны и угол между ними ∆ ABC соответственно = двум сторонам и углу ∆ A1B1C1 , следовательно, треугольники равны.
  • II признак. Сторона и два прилежащих к ней угла ∆ ABC соответственно = стороне и двум углам ∆ A1B1C1 , => треугольники равны.
  • III признак. Если все стороны ∆ ABC соответственно = сторонам ∆ A1B1C1 , то имеющиеся треугольники равны.

Перечисленные выше признаки являются теоремами и доказываются методом наложения одной фигуры на другую, соединения вершин соответственных углов и начала лучей. Доказательства равенства треугольников в 7 классе описаны в очень доступной форме, но сложны в изучении школьниками на практике, так как содержат большое количество элементов, обозначенных заглавными латинскими буквами. Это не совсем привычно для многих учеников на момент начала изучения предмета. Подростки путаются в названиях сторон, лучей, углов.

Доказательство подобия треугольников

Чуть позже появляется ещё одна важная тема «Подобие треугольников». Само определение «подобие» в геометрии означает схожесть формы при различии размеров. Для примера можно взять два квадрата, первый со стороной 4 см, а второй 10 см. Эти виды четырёхугольников будут похожи и, одновременно, иметь отличие, поскольку второй будет больше, причём каждая сторона увеличена в одинаковое количество раз.

В рассмотрении темы подобия также приводятся 3 признака:

  • Первый — о двух соответственно равных углах двух рассматриваемых треугольных фигур.
  • Второй — об угле и образующих его сторонах ∆ MNK , которые равны соответственным элементам ∆ SDH .
  • Третий — указывает на пропорциональность всех соответственных сторон двух нужных фигур.

Нужно знать! Что такое горизонталь?

Как же доказать, что треугольники подобны? Достаточно воспользоваться одним из выше перечисленных признаков и грамотно описать весь процесс доказательства задания. Тема подобия ∆ MNK и ∆ SDH проще воспринимается школьниками исходя из того, что к моменту её изучения ученики уже свободно пользуются обозначениями элементов в геометрических построениях, не путаются в огромном количестве названий и умеют читать чертежи.

Завершая прохождение обширной темы треугольных геометрических фигур, учащиеся уже в совершенстве должны знать, как доказать равенство ∆ MNK = ∆ SDH по двум сторонам, установить равны два треугольника или нет. Учитывая, что многоугольник, имеющий ровно три угла — это одна из важнейших геометрических фигур, к усвоению материала следует подойти серьёзно, уделяя особое внимание даже мелким фактам теории.

.

треугольников - равносторонние, равнобедренные и чешуйчатые

Треугольник имеет три стороны и три угла

Три угла всегда складываются в 180 °

Равносторонний, равнобедренный и чешуйчатый

Треугольникам даны три специальных имени, которые показывают, сколько сторон (или углов) равны.

Может быть 3 , 2 или нет равных сторон / углов:

Равносторонний треугольник

Три равных стороны
Три равных угла, всегда 60 °

Равнобедренный треугольник

Две равные стороны
Два равных угла

Скаленовый треугольник

Нет равные стороны
Нет равные углы


Как запомнить? По алфавиту идут 3, 2, нет:

  • Равносторонний : "равный" - боковой (боковой означает сторона), поэтому все стороны имеют равные стороны
  • Равнобедренный : означает «равноногие», а у нас две ноги , верно? Также i SOS celes имеет два одинаковых "S ides", соединенных стороной " O dd".
  • Скален : означает «неровный» или «нечетный», поэтому нет равных сторон.

Какой угол?

Треугольники также могут иметь имена, которые сообщают вам, какой тип угла находится внутри :

Острый треугольник

Все углы меньше 90 °

Прямой треугольник

Имеет прямой угол (90 °)

Тупой треугольник

Имеет угол более 90 °


Объединение имен

Иногда у треугольника будет два имени, например:

Правый равнобедренный треугольник

Имеет прямой угол (90 °), а также два равных угла.

Вы можете угадать, каковы равные углы?

Поиграй с ним...

Попробуйте перетащить точки и составить разные треугольники:

Вы также можете поиграть с Интерактивным треугольником.

Уголки

Три внутренних угла всегда составляют 180 °

Периметр

Периметр - это расстояние по краю треугольника: просто сложите три стороны:

Площадь

Площадь составляет , половина базовой, умноженная на высоту .

  • "b" - расстояние по основанию
  • "h" - высота (измеренная под прямым углом к ​​основанию)

Площадь = ½ × b × h

Формула работает для всех треугольников.

Примечание: более простой способ записать формулу - bh / 2

Пример: Какова площадь этого треугольника?

(Примечание: 12 - это высота , а не длина левой стороны)

Высота = h = 12

База = b = 20

Площадь = ½ × b × h = ½ × 20 × 12 = 120

Основание может быть с любой стороны. Убедитесь, что "высота" измеряется под прямым углом к ​​"основанию". :

(Примечание: вы также можете рассчитать площадь по длинам всех трех сторон, используя формулу Герона.)

Почему область «половина bh»?

Представьте, что вы "удвоили" треугольник (перевернули его вокруг одного из верхних краев), чтобы получить квадратную форму (параллелограмм), которую можно изменить на простой прямоугольник:

ЗАТЕМ вся площадь составляет bh , что соответствует обоим треугольникам, поэтому только один будет ½ × bh .

.

Как определить, конгруэнтны ли треугольники

Два треугольника равны, если они имеют:

  • точно такие же три стороны и
  • точно такие же три угла.

Но нам не обязательно знать все три стороны и все три угла ... обычно достаточно трех из шести .

Существует пять способов определить, совпадают ли два треугольника: SSS , SAS , ASA , AAS и HL .

1. SSS (сбоку, сбоку, сбоку)

SSS означает «сторона, сторона, сторона» и означает, что у нас есть два треугольника, все три стороны которых равны.

Например:

соответствует:

(Подробнее см. «Решение треугольников SSS»)

Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, треугольники конгруэнтны.

2. SAS (сбоку, угол, сбоку)

SAS означает «сторона, угол, сторона» и означает, что у нас есть два треугольника, у которых мы знаем, что две стороны и прилегающий угол равны.

Например:

равно соответствует:

(Дополнительные сведения см. В разделе «Решение треугольников SAS»)

Если две стороны и внутренний угол одного треугольника равны соответствующим сторонам и углу другого треугольника, треугольники конгруэнтны.

3. ASA (угол, сторона, угол)

ASA означает «угол, сторона, угол» и означает, что у нас есть два треугольника, из которых мы знаем, что два угла и включенная сторона равны.

Например:

равно соответствует:

(Дополнительные сведения см. В разделе «Решение треугольников ASA»)

Если два угла и включенная сторона одного треугольника равны соответствующим углам и стороне другого треугольника, треугольники конгруэнтны.

4. AAS (угол, угол, сторона)

AAS означает «угол, угол, сторона» и означает, что у нас есть два треугольника, где, как мы знаем, два угла и не включенная сторона равны.

Например:

равно соответствует:

(Дополнительные сведения см. В разделе «Решение треугольников AAS»)

Если два угла и сторона без включения одного треугольника равны соответствующим углам и стороне другого треугольника, треугольники совпадают.

5. HL (гипотенуза, ножка)

Это относится только к прямоугольным треугольникам!

или

HL означает « H ypotenuse, L eg» (самая длинная сторона прямоугольного треугольника называется «гипотенузой», две другие стороны называются «катетами»)

Это означает, что у нас есть два прямоугольных треугольника с

  • одинаковая длина гипотенузы и
  • : той же длины для одной из двух других ног .

Не имеет значения, на какой ноге треугольники можно вращать.

Например:

равно соответствует:

(см. Теорему Пифагора, чтобы узнать больше)

Если гипотенуза и один катет одного прямоугольного треугольника равны соответствующей гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, эти два треугольника конгруэнтны.

Внимание! Не используйте "AAA"

AAA означает, что нам даны все три угла треугольника, но нет сторон.

Этой информации недостаточно, чтобы решить, конгруэнтны ли два треугольника!

Поскольку треугольники могут иметь одинаковые углы, но иметь разных размеров :

соответствует , а не :

Не зная хотя бы одной стороны, мы не можем быть уверены, конгруэнтны ли два треугольника.

.

Угол Угол Боковой постулат для доказательства конгруэнтности треугольников ...

Постулат Angle Angle Side (часто сокращенно AAS) утверждает, что если два угла и не включенная сторона одного треугольника конгруэнтны двум углам и невключенной стороне другого треугольника, то эти два треугольника конгруэнтны.

Пример углового бокового упора (AAS)

$$ \ треугольник $$ ABC $$ \ треугольник $$ XYZ

Определить соотношение сторон угла

Определите, какая пара треугольников ниже НЕ иллюстрирует соотношение сторон угла (AAS).

Проблема 1

Определите координаты всех комплексных чисел, представленных на графике ниже.

Покажи ответ Identify Angle Angle Side relationship (AAS)

Практика Доказательства

Проба 1

Докажите, что $$ \ треугольник ABC \ cong \ треугольник DEC $$

Проба 2

Докажите, что $$ \ треугольник ABC \ cong \ треугольник DEF $$

Можете ли вы определить ошибку в приведенном ниже доказательстве AAS?

Что не так с приведенным ниже доказательством?

Покажи ответ Identify Angle Angle Side relationship (AAS)

Ошибка связана со стороной, необходимой для доказательства конгруэнтности двух треугольников постулатом Angle Angle Side

FE и BC являются полными сторонами НЕ в любом треугольнике.Вам нужно будет использовать дополнительное свойство равенства, чтобы добавить сегмент BE

к FE и BE, чтобы иметь возможность указать, что это пара конгруэнтных сторон в двух треугольниках. .

Смотрите также