Как научиться доказывать теоремы по геометрии


Как доказывать теоремы?

Как доказывать теоремы?

Процедура доказательства теоремы только кажется сложной. Достаточно уметь логически мыслить, иметь необходимые знания по данной научной дисциплине, и доказать теорему для вас не составит труда. Важно выполнять все действия четко в правильной последовательности.

В некоторых науках, к примеру, в алгебре и геометрии, одним из важнейших умений является умение доказывать теоремы. Это связано с тем, что доказанные теоремы впоследствии пригодятся для того, чтобы решать задачи. Нужно не просто выучить алгоритм доказательства, а суметь понять ее суть. Давайте разберемся, как доказывать теоремы.

Доказательство теорем

Для начала следует сделать чертеж, он должен быть четким и аккуратным. После этого нужно отметить на нем заданные условия. В графе «Дано» нужно записать все величины, которые вам изначально известны, и то, что нужно доказать. После этого можно заняться доказательством. По сути, это цепочка логически выстроенных мыслей, которые позволяют показать то, что какое-либо утверждение является верным. Доказательство теоремы подразумевает использование других теорем, аксиом, применение действия от противного и т.д.

Итак, доказательством теоремы является определенная последовательность действий, позволяющих получить утверждение, истинность которого нельзя оспорить. Как правило, наиболее трудным во время доказательства является как раз поиск последовательности логических рассуждений. Если же это удастся, то вы сможете доказать то, что от вас требовалось.

Как доказывать теоремы по геометрии без труда

Чтобы упростить себе задачу, можно разбить теорему на части, и доказывать каждую из них по отдельности, что в итоге приведет вас к результату. В некоторых случаях эффективно использовать метод «доказательства от противного». Тогда нужно начинать со слов «предположим обратное». Следует объяснить, почему в данном случае то или иное заключение невозможно. Заканчивать нужно словами «значит, первоначальное утверждение является верным. Теорема доказана».

Еще больше полезной информации по геометрии можно найти в разделе Геометрия.

Угловые свойства, постулаты и теоремы

Для изучения геометрии логически важно понимать ключевые математические свойства и уметь применять полезные постулаты и теоремы. Постулат - это утверждение, истинность которого не была доказана, но считается верной на основании для математических рассуждений. С другой стороны, теоремы являются утверждениями, которые были доказаны с использованием других теорем или утверждений.Пока некоторые постулаты и теоремы были введены в предыдущих разделах, другие новы в нашем изучении геометрии. Мы применим эти свойства, постулаты и теоремы, которые помогают проводить наши математические доказательства очень логичным и разумным образом.

Прежде чем мы начнем, мы должны ввести понятие конгруэнтности. Углы конгруэнтные если их меры в градусах равны. Примечание : «конгруэнтно» не означает «равный». Хотя они кажутся очень похожими, конгруэнтные углы не обязательно должны указывать в том же направлении. Единственный способ получить равные углы - сложить два угла. равной меры друг над другом.

Недвижимость

Мы будем использовать следующие свойства, чтобы помочь нам рассуждать через несколько геометрических доказательства.

Рефлексивное свойство

Количество равно самому себе.

Симметричное свойство

Если A = B , то B = A .

Переходное свойство

Если A = B и B = C , то A = C .

Дополнительное свойство равенства

Если A = B , то A + C = B + C .

Угловые постулаты

Постулат сложения углов

Если точка лежит внутри угла, этот угол представляет собой сумму двух меньших углы с ножками, проходящими через данную точку.

Рассмотрим рисунок ниже, на котором точка T находится внутри ? QRS . Согласно этому постулату, мы имеем ? QRS =? QRT +? TRS . Мы действительно применили этот постулат, когда практиковались в поиске дополнений и дополнения углов в предыдущем разделе.

Постулат соответствующих углов

Если трансверсаль пересекает две параллельных прямых, пары соответствующих углы совпадают.

Converse также верно : Если трансверсаль пересекает две прямые и соответствующие если углы совпадают, то прямые параллельны.

На рисунке выше показаны четыре пары соответствующих углов.

Постулат параллели

Для данной линии и точки не на этой линии существует уникальная линия, проходящая через точка параллельна данной линии.

Постулат параллельности - это то, что отличает евклидову геометрию от неевклидовой геометрии.

Есть бесконечное количество линий, которые проходят через точку E , но только красная линия проходит параллельно линии CD . Любая другая линия до E будет в итоге пересечь линию CD .

Угловые теоремы

Теорема

об альтернативных внешних углах

Если трансверсаль пересекает две параллельных прямых, то альтернативная внешняя углы совпадают.

Converse также верно : Если трансверсаль пересекает две прямые и альтернативную внешние углы равны, тогда прямые параллельны.

Альтернативные внешние углы имеют одинаковые градусы, потому что линии параллельно друг другу.

Теорема

об альтернативных внутренних углах

Если трансверсаль пересекает две параллельных прямых, то альтернативный внутренний углы совпадают.

Converse также верно : Если трансверсаль пересекает две прямые и альтернативную внутренние углы совпадают, тогда прямые параллельны.

Альтернативные внутренние углы имеют одинаковые градусы, потому что линии параллельно друг другу.

Теорема о конгруэнтных дополнениях

Если два угла являются дополнениями одного и того же угла (или равных углов), то два угла конгруэнтны.

Теорема о конгруэнтных дополнениях

Если два угла являются дополнениями одного и того же угла (или равных углов), то два угла конгруэнтны.

Теорема о прямых углах

Все прямые углы совпадают.

Теорема

об односторонних внутренних углах

Если трансверсаль пересекает две параллельные линии , то внутренние углы с той же стороны поперечины дополнительные.

Converse также верно : Если трансверсаль пересекает две линии и внутреннюю часть углы на одной стороне трансверсали являются дополнительными, тогда линии параллельно.

Сумма градусов внутренних углов одной и той же стороны составляет 180 °.

Теорема

о вертикальных углах

Если два угла - это вертикальные углы, то они имеют равные меры.

Вертикальные углы имеют одинаковые градусы. Есть две пары вертикальных углов.

Упражнения

(1) Дано: м? DGH = 131

Найдите: m? GHK

Во-первых, мы должны полагаться на информацию, которую нам дают, чтобы начать наше доказательство.В этом В упражнении отметим, что размер ? DGH равен 131 ° .

Из представленной иллюстрации мы также видим, что строки DJ и EK параллельны друг другу. Следовательно, мы можем использовать некоторые угловые теоремы выше, чтобы найти меру ? GHK .

Мы понимаем, что существует связь между ? DGH и ? EHI : это соответствующие углы.Таким образом, мы можем использовать постулат соответствующих углов чтобы определить, что ? DGH ?? EHI .

Напротив ? EHI находится ? GHK . Поскольку они вертикальных углов, мы можем использовать теорему о вертикальных углах , чтобы увидеть, что ? EHI ?? GHK .

Теперь, по транзитивности , мы имеем ? DGH ?? GHK .

Конгруэнтные углы имеют равные градусы, поэтому размер ? DGH равен размеру ? GHK .

Наконец, мы используем замену , чтобы сделать вывод, что мера ? GHK это 131 ° . Этот аргумент организован в виде доказательства в две колонки ниже.

(2) Дано: m? 1 = m? 3

Prove: м? PTR = m? STQ

Начнем наше доказательство с того, что меры ? 1 и ? 3 равны.

На втором этапе мы используем Reflexive Property , чтобы показать, что ? 2 равен себе.

Хотя предыдущий шаг был тривиальным, он был необходим, потому что он настраивал нас на использование Добавление свойства равенства , показав, что добавление меры ? 2 к двум равным углам сохраняет равенство.

Затем с помощью постулата сложения углов мы видим, что ? PTR является сумма ? 1 и ? 2 , тогда как ? STQ является Сумма ? 3 и ? 2 .

В конечном итоге, через замену ясно, что меры ? PTR и ? STQ равны. Доказательство этого упражнения из двух столбцов показано. ниже.

(3) Дано: м? DCJ = 71 , м? GFJ = 46

Доказательство: м? AJH = 117

Нам дается размер ? DCJ и ? GFJ , чтобы начать упражнение.Также обратите внимание, что три горизонтальные линии на рисунке параллельны друг другу. Диаграмма также показывает нам, что последние шаги нашего Для доказательства может потребоваться сложить два угла, составляющих ? AJH .

Мы обнаруживаем, что существует связь между ? DCJ и ? AJI : это альтернативные внутренние углы. Таким образом, мы можем использовать Alternate Internal Angles. Теорема утверждает, что они конгруэнтны друг другу.

По определению сравнения их углы имеют одинаковую величину, поэтому они равны.

Теперь мы заменяем мерой ? DCJ на 71 . поскольку нам дали это количество. Это говорит нам, что ? AJI также 71 ° .

Поскольку ? GFJ и ? HJI также являются альтернативными внутренними углами, мы утверждаем, что они совпадают по теореме об альтернативных внутренних углах .

Определение конгруэнтных углов еще раз доказывает, что углы равны меры. Поскольку мы знали размер ? GFJ , мы просто заменяем чтобы показать, что 46 является мерой в градусах ? HJI .

Как предсказывалось выше, мы можем использовать постулат сложения углов , чтобы получить сумму из ? AJI и ? HJI , поскольку они составляют ? AJH .В конечном итоге мы видим, что сумма этих двух углов дает нам 117 ° . Доказательство из двух столбцов для этого упражнения показано ниже.

(4) Дано: m? 1 = 4x + 9 , m? 2 = 7 (x + 4)

Найти: м? 3

В этом упражнении нам не даются конкретные градусные меры для показанных углов.Скорее, мы должны использовать некоторую алгебру чтобы помочь нам определить размер ? 3 . Как всегда, начнем с информация приведенная в задаче. В этом случае нам даны уравнения для мер из ? 1 и ? 2 . Также отметим, что существует две пары параллельных линий на схеме.

По теореме о внутренних углах одинаковой стороны , мы знаем, что сумма ? 1 и ? 2 равно 180 , поскольку они являются дополнительными.

После замены этих углов на данные нам меры и упрощения, имеем 11x + 37 = 180 . Чтобы найти x , мы сначала вычтите обе части уравнения на 37 , а затем разделите обе стороны на 11 .

После того, как мы определили, что значение x равно 13 , мы снова подключаем его к уравнению для измерения из ? 2 с намерением в конечном итоге использовать соответствующих углов Постулат .Подключение 13 к x дает нам меру 119 для ? 2 .

В итоге делаем вывод, что ? 3 также должна иметь эту степень, поскольку ? 2 и ? 3 совпадают с . Доказательство из двух столбцов, показывающее этот аргумент, показано ниже.

.

Стратегии доказательства в геометрии - манекены

  1. Образование
  2. Математика
  3. Геометрия
  4. Стратегии доказательства в геометрии

Марк Райан

Часть геометрии для чайников Шпаргалка

Геометрия по двум столбцам Доказательства обеспечивают прочную основу для работы с теоремами. Практика этих стратегий поможет вам легко написать доказательства геометрии в кратчайшие сроки:

  • Составьте план игры. Попытайтесь выяснить, как перейти от данности к заключению доказательства с помощью простого английского аргумента, основанного на здравом смысле, прежде чем беспокоиться о том, как написать формальное доказательство из двух столбцов.

  • Составьте числа для сегментов и углов. На этапе разработки плана игры иногда бывает полезно определить произвольную длину сегментов или меры углов. Выполнение математических расчетов с этими числами (сложение, вычитание, умножение или деление) может помочь вам понять, как работает доказательство.

  • Ищите совпадающие треугольники (и помните о CPCTC). На диаграммах попытайтесь найти всех пар равных треугольников. Доказательство одной или нескольких из этих пар треугольников, совпадающих (с SSS, SAS, ASA, AAS или HLR), вероятно, будет важной частью доказательства. Тогда вы почти наверняка будете использовать CPCTC для линии сразу после того, как докажете, что треугольники совпадают.

  • Попробуйте найти равнобедренные треугольники. Взгляните на контрольную диаграмму и найдите все равнобедренные треугольники.Если вы что-нибудь найдете, вы, скорее всего, воспользуетесь теоремой «если-углы-то-углы» или «если-углы-то-стороны» где-нибудь в доказательстве.

  • Ищите параллельные линии. Ищите параллельные линии на схеме доказательства или в данных. Если вы их найдете, вы, вероятно, воспользуетесь одной или несколькими теоремами о параллельности прямых.

  • Найдите радиусы и нарисуйте больше радиусов. Обратите внимание на каждый радиус круга и отметьте все совпадающие радиусы. Нарисуйте новые радиусы к важным точкам на окружности, но не рисуйте радиус, идущий к точке на окружности, где больше ничего не происходит.

  • Используйте все данные. Авторы книги по геометрии не включают в доказательства несущественные данные, поэтому спросите себя, почему автор предоставил каждое из них. Попробуйте записать каждое из приведенных в столбце утверждение и написать другое утверждение, которое следует из этого, даже если вы не знаете, как это вам поможет.

  • Проверьте логику if-then .

    По каждой причине проверьте, что

    • Все идеи в предложении if появляются в столбце утверждения где-то на над строкой, которую вы повторно проверяете .

    • Единственная идея в предложении , затем также появляется в столбце утверждения в той же строке.

    Вы также можете использовать эту стратегию, чтобы выяснить, какую причину использовать в первую очередь.

  • Обратный ход. Если вы застряли, перейдите к концу доказательства и вернитесь к началу. Посмотрев на заключение доказательства , сделайте предположение о причине этого заключения.Затем используйте логику «если-то», чтобы вычислить предпоследний оператор (и так далее).

  • Думайте как компьютер. В доказательстве из двух столбцов должен быть выражен каждый шаг в логической цепочке, даже если это самая очевидная вещь в мире. Доказательство похоже на общение с компьютером: компьютер не поймет вас, если все мелочи не будут изложены точно.

  • Сделай что-нибудь. Прежде чем отказываться от доказательства, запишите все, что вы понимаете, на бумаге.Примечательно, как часто изложение чего-то на бумагу приводит к возникновению другой идеи, затем другой, а затем еще одной. Прежде чем вы это узнаете, вы закончите доказательство.

Об авторе книги

Марк Райан - основатель и владелец Математического центра в районе Чикаго, где он проводит репетиторство по всем математическим предметам, а также готовит к экзаменам. Марк является автором книги «Исчисление для чайников », «Рабочая тетрадь для манекенов » и «Рабочая тетрадь по геометрии для чайников» .

.

Определения и теоремы о параллельных прямых

  1. Образование
  2. Математика
  3. Геометрия
  4. Определения и теоремы о параллельных прямых

Марк Райан

Параллельные прямые важны при изучении четырехугольников, потому что шесть из семи типов четырехугольники (все, кроме воздушного змея) содержат параллельные линии. Восемь углов, образованных параллельными линиями и трансверсалью, либо совпадают, либо дополняют друг друга.

Посмотрите на приведенный выше рисунок, на котором показаны три линии, напоминающие гигантский знак неравенства.Две горизонтальные линии параллельны, а третья линия, которая их пересекает, называется поперечной . Как видите, три линии образуют восемь углов.

Следующие теоремы говорят вам, как различные пары углов соотносятся друг с другом.

Доказательство того, что углы совпадают: Если трансверсаль пересекает две параллельные прямые, то следующие углы совпадают (см. Рисунок выше):

  • Альтернативные внутренние углы: Пара углов 3 и 6 (а также 4 и 5) - это альтернативные внутренние углы .Эти пары углов находятся на противоположных (чередующихся) сторонах поперечной оси и находятся между (внутри) параллельными линиями.

  • Альтернативные внешние углы: Углы 1 и 8 (а также углы 2 и 7) называются альтернативными внешними углами . Они находятся на противоположных сторонах трансверсали и вне параллельных линий.

  • Соответствующие углы: Пара углов 1 и 5 (а также 2 и 6, 3 и 7, 4 и 8) - это соответствующие углы .Углы 1 и 5 соответствуют друг другу, потому что каждый находится в одном и том же положении (верхний левый угол) в своей группе из четырех углов.

Также обратите внимание, что углы 1 и 4, 2 и 3, 5 и 8, а также 6 и 7 расположены напротив друг друга, образуя вертикальные углы, которые также совпадают.

Доказательство того, что углы являются дополнительными: Если трансверсаль пересекает две параллельные прямые, то следующие углы являются дополнительными (см. Рисунок выше):

  • Внутренние углы на одной стороне: Углы 3 и 5 (а также 4 и 6) находятся на одной стороне поперечной линии и находятся внутри параллельных линий, поэтому они называются (готовы к удару?) Односторонние внутренние углы .

  • Односторонние внешние углы: Углы 1 и 7 (а также 2 и 8) называются Односторонние внешние углы - они находятся на одной стороне поперечной, и они находятся вне параллельных линий.

Вы можете резюмировать приведенные выше определения и теоремы следующей простой и лаконичной идеей. Когда у вас есть две параллельные линии, пересекаемые поперечником, вы получаете четыре острых угла и четыре тупых угла (кроме случаев, когда вы получаете восемь прямых углов).Все острые углы равны, все тупые углы равны, и каждый острый угол является дополнительным к каждому тупому углу. Короче говоря, любые два из восьми углов равны конгруэнтному или дополнительному .

Доказательство параллельности прямых: Все эти теоремы работают в обратном порядке. Вы можете использовать следующие теоремы, чтобы доказать, что прямые параллельны. То есть две прямые параллельны, если они пересечены таким образом, что

  • Два соответствующих угла конгруэнтны.

  • Два альтернативных внутренних угла совпадают.

  • Два альтернативных внешних угла совпадают.

  • Два одинаковых внутренних угла являются дополнительными.

  • Два односторонних наружных угла являются дополнительными.

.

Как изучать математику: геометрия

Большинство из нас начали наши самые первые элементарные уроки геометрии, когда мы складывали наши первые строительные блоки или научились вставлять треугольник в отверстие в форме треугольника.

К этому моменту вы узнали, что геометрия - это нечто большее. Вот почему мы собрали ниже 11 советов по обучению, которые помогут вам выиграть урок геометрии. Просто думайте об этом как о строительных блоках для успеха геометрии.

1. Схема успеха.

Геометрия - это изучение отношений между точками, линиями, поверхностями, углами и формами. Поэтому, естественно, рисование диаграмм просто необходимо!

Связи, свойства и теоремы будет легче понять, если у вас есть диаграмма! И поверьте нам, не полагайтесь в этом на свои умственные математические способности.

Как говорится, картинка стоит тысячи слов. Только обязательно обратите внимание на пропорции линий и углов. Диаграммы помогают только в том случае, если они точно помечены…

Чтобы начать диаграмму, отметьте все, что вам дано в задаче.Если у вас есть параллельные линии, отметьте их как таковые! Если у вас равнобедренный треугольник, убедитесь, что у вас две равные стороны! Если вы знаете длину ребер или градусы углов, запишите их! Таким образом, когда вы обдумываете свою диаграмму, у вас будет вся необходимая информация.

Вы бы не хотели собирать головоломку из 100 частей, в которой не хватает нескольких частей. Точно так же, как вы не хотите решать геометрическую задачу без всей указанной на диаграмме информации.

2. Знайте свои свойства и теоремы.

Свойства: прямых, параллелограммов и углов.

Теоремы: прямые, треугольники и углы.

Это ваши самые полезные инструменты для рисования диаграмм, установления взаимосвязей и разработки доказательств! Ваша жизнь станет намного проще, если вы сможете вспомнить свойства и теоремы для различных форм, углов и линий.

Мы рекомендуем вам делать карточки со всеми свойствами и теоремами, которые вам необходимо знать. Тогда просматривайте их каждое утро и каждую ночь! Таким образом, вам не придется ждать до вечера перед тестом, чтобы запомнить (и понять ) их.

Добро пожаловать. (Это за то спасибо, что вы нам передадите.)

Если вы хотите получить фору… возможно, вот некоторые из наиболее важных теорем для треугольников:

Совет. Помните, что слово «конгруэнтный» означает, что треугольники имеют одинаковый размер и форму.

Сторона-сторона-сторона (SSS): Если все три стороны двух треугольников совпадают (другими словами, если все три стороны одного треугольника имеют такую ​​же длину, как и три стороны другого треугольника), тогда два треугольника конгруэнтны.

Совет: конгруэнтные линии часто обозначаются короткими линиями, как на рисунках ниже. Сторона с одной линией конгруэнтна стороне с одной линией, сторона с двумя линиями соответствует стороне с двумя линиями и т. Д.

Рисунок 1: Пара треугольников, конгруэнтных по SSS

Боковой угол-сторона (SAS): Если у двух треугольников две стороны совпадают, и углы между двумя сторонами также совпадают, то два треугольника совпадают.

Совет: конгруэнтные углы отмечаются одинаковым количеством дуг. На рисунке ниже оба конгруэнтных угла имеют одну арку.

Рисунок 2: Пара треугольников, совпадающих по SAS

Угол-сторона-угол (ASA): Если два треугольника имеют конгруэнтную сторону, которая касается двух конгруэнтных углов, тогда треугольники конгруэнтны.

Рисунок 3: Пара треугольников, совпадающих по ASA

Hypotenuse-Leg (HL): Это специальная теорема треугольника, которая может быть использована для прямоугольных треугольников только .В нем говорится, что если у вас есть два прямоугольных треугольника, и вы знаете, что их гипотенузы совпадают, и одна пара их сторон также конгруэнтна, то треугольники конгруэнтны.

Подсказка: вы знаете, что у вас есть прямоугольный треугольник, если есть угол с прямоугольником в правом углу, как на рисунке ниже. Помните, что гипотенуза - это сторона прямоугольного треугольника, противоположная прямому углу.

Рисунок 4: Пара треугольников, конгруэнтных по HL

Угол-угол-угол (AAA): Треугольники с тремя равными углами похожи на , но не обязательно совпадают.

Совет. Помните, что «похожий» означает ту же форму, но не обязательно одинаковый размер.


Рисунок 5: Пример аналогичных треугольников по AAA

3. Понять постулаты Евклида.

Евклида часто называют «отцом геометрии». Геометрия была разработана на основе его пяти постулатов. Например, если свойства - это цементный фундамент, а теоремы - это кирпичи, то пять постулатов Евклида составляют основу, на которую заливают цемент и кладут кирпичи.Без них не было бы башни геометрии.

Изюминка?

Знать и понимать их. Они помогут вам понять многие концепции, которые вы встретите на протяжении всего предмета!

Для начала вот Святой Грааль геометрии, пять постулатов Евклида и краткое объяснение каждого из них:

  1. Можно провести отрезок прямой, соединяющий любые две точки (две точки определяют линию).
  2. Любой отрезок прямой может быть продолжен в любом направлении до бесконечности по прямой (прямая линия имеет бесконечную меру).
  3. Окружность может быть нарисована вокруг любого линейного сегмента с одним концом линейного сегмента, служащим центральной точкой, и длиной линейного сегмента, служащей радиусом круга (любой линейный сегмент можно вращать, чтобы создать круг и служить в качестве радиус круга).
  4. Все прямые углы совпадают (все они составляют 90 градусов).
  5. Если нарисованы две линии, которые пересекают третью таким образом, что сумма внутренних углов на одной стороне меньше двух прямых углов, то две линии неизбежно должны пересекать друг друга на этой стороне, если они простираются достаточно далеко.Этот постулат известен как «постулат параллельности».

Рисунок 6: Пятый постулат Евклида

4. Изучите язык математики.

Математика - это еще один язык. Существуют различные символы, обозначающие определение, свойство или даже часто используемую фразу (потому что мы, математики, не любим писать слова). Как и любой другой язык, который вы изучаете, знание символов необходимо для понимания.

Мы все были там, поэтому знаем, насколько это может быть ошеломляющим, когда вы впервые видите целую математическую задачу, написанную символами.Но становится легче!

Уметь знать, что означает каждый символ, и научиться сразу их распознавать. Используйте карточки, запишите их сто раз или заведите словарь - любой способ обучения - ваш лучший выбор!

Вот несколько наиболее распространенных символов, которые вы будете использовать в геометрии:

5. Знайте свои углы.

Почему всегда расстраивался тупой треугольник? Потому что это никогда не было правильным.

Все шутки в сторону, знай свой ракурс:

  • тупые углы более 90 °
  • прямых углов ровно 90 °
  • острые углы менее 90 °

Неплохо.Три угла зрения, которые нужно знать и любить, - это не слишком много, чтобы просить. Тем более, что они помогут вам понять свойства, настроить диаграммы и разработать важные отношения между формами, линиями и даже другими углами.

Наряду с этими определениями вы также должны знать свойства углов. Мы говорили об этом раньше, но это так важно. Например, все три угла треугольника должны составлять 180 °. Прямоугольный треугольник особого типа, называемый 45-45-90, треугольник имеет один угол 90 °, а два других - 45 °.(Вы можете догадаться, откуда оно взялось?) Список продолжается.

Так же, как когда вы делаете селфи, запомните свой ракурс.

6. Знайте свои треугольники.

Говорят, что хорошего бывает тройка… по крайней мере, когда вы занимаетесь геометрией.

В данном случае это относится к разностороннему, равнобедренному и равностороннему - трем типам треугольников. Каждый по-своему особенный.

  • Разносторонний треугольник не имеет одинаковых сторон и одинаковых углов.
  • Равнобедренный треугольник имеет (как минимум) две одинаковые стороны и два одинаковых угла.
  • Равносторонний треугольник имеет все три стороны и все три угла идентичны.

Как вы понимаете, у каждого есть свой набор свойств, постулатов и теорем! Вот пара, чтобы согреться:

  • Равносторонний треугольник технически также является равнобедренным треугольником , но не все равнобедренные треугольники равносторонние.

Рисунок 7: Равнобедренный и равносторонний треугольники

  • Самая длинная сторона разностороннего треугольника противоположна наибольшему углу. Точно так же самая короткая сторона разностороннего треугольника противоположна наименьшему углу.

Рисунок 8: Разносторонний треугольник

7. Определите, чего вы хотите и что вам дают.

Это поможет вам составить план атаки! В геометрии вы разработаете доказательства.Так что наличие отправной точки (что вам дано) и конечной точки (того, что вы хотите знать) будет огромным подспорьем в этом процессе.

Думайте о математических задачах как о Google Maps. У вас есть начальный и конечный пункты назначения. Ваша цель - проложить маршрут между ними. Без информации о начальном пункте назначения, например названия улицы, вы не сможете начать свой маршрут. То же самое и с конечным пунктом назначения.

Иногда самые мелкие детали могут быть ключом к маршруту.Поэтому обязательно прочтите задачу внимательно и запишите всего, , что вам дали, и все, , что хотите.

8. Теперь заполните остальные.

После того, как вы все записали и нарисовали схему, вы можете начать процесс проверки.

Ваш первый шаг - заполнить остальную часть того, что вы можете на диаграмме, будь то использование свойств углов, форм и отрезков линий или использование отношений из теорем.Все, что вы можете назвать , факт , используя имеющуюся у вас информацию:

Написать. Это. Вниз.

Здесь нужно быть осторожным. Убедитесь, что вы используете только предоставленную информацию, а не делаете предположения.

Теперь, имея всю эту информацию, начните свой маршрут. Небольшой совет: на каждом этапе доказательства указывайте причину, по которой оно истинно. Это гарантирует, что вы избегаете предположений.

Не расстраивайтесь, когда начинаете корректуру впервые! Математические доказательства - непростая задача.Если вы застряли, вернитесь на шаг назад и посмотрите, можно ли применить другое свойство или теорему! Это загадка. Вам просто нужно собрать все вместе.

Имея в виду эти советы, давайте теперь рассмотрим некоторые типичные ошибки, которые делают студенты, чтобы вы могли сами следить за ними.

3 распространенных ошибки, совершаемых учащимися-геометрами

1. Аналогично не соответствует .

Это два слова, которые вы часто услышите.Вы же не хотите их запутать!

Две формы похожи на , если они имеют одинаковые соответствующие углы и соответствующие стороны пропорциональны друг другу. Другими словами, они одной формы, но не обязательно одного размера.

Две формы равны конгруэнтным , если они идентичны. Под «идентичными» мы подразумеваем такие же, как они есть. Одинаковый размер, одинаковые углы, одинаковая длина сторон. Все одинаково и по размеру, и по форме.

Как видите, это две разные концепции! Так что обращайтесь с ними как с ними.

2. Не путайте дополнительные и дополнительные углы.

  • Дополнительные углы в сумме составляют 90 градусов.
  • Дополнительные углы в сумме составляют 180 градусов.

Также очень полезно запомнить :

  • Когда линия проходит через пару параллельных линий, она называется поперечной. Здесь синие линии параллельны, а красная - поперечна.

Рисунок 9: Параллельные линии (синий) и поперечный (красный)

  • Вертикальные углы всегда имеют одинаковую величину. Совет. Для вертикальных углов не нужны параллельные линии.

Рисунок 10: Вертикальные углы

  • Альтернативные пары внутренних углов всегда имеют одинаковую длину. Совет: вам нужно указать параллельные линии и трансверсаль для альтернативных пар внутренних углов.

Рис.11: Альтернативные пары внутренних углов

  • Альтернативные пары внешних углов всегда имеют одинаковую длину. Совет: для пар внешних углов необходимо указать параллельные линии и трансверсаль.

Рисунок 12: Альтернативные пары внешних углов

Эти факты помогут вам разгадать головоломку на пути к решению.

3. Не думайте, что информация, которую вам не предоставили.

Если это прямо не указано в задаче или как прямой результат теорем / свойств, которые вы можете применить… вы не можете предполагать это!

Вы должны быть очень осторожны с этим. Как упоминалось ранее, запишите именно то, что вам дано и что именно вам нужно. Так вы сможете избежать предположений. Потому что все мы знаем, если предположить…

Итак, теперь вы можете начать свое путешествие в геометрию. Не забывайте тщательно рисовать схемы и проявляйте терпение! Это не просто математика; это искусство.

.

Смотрите также