Как научиться доказывать задачи по геометрии


Как решать задачи по геометрии. Часть 1

Геометрическая логика при решении задач

Геометрия… Страшное слово для бесчисленного множества учеников. Они знают свойства фигур и выучили определения и теоремы, но задачи по геометрии все равно остаются какой-то китайской грамотой.

Это про тебя? Тогда ты попал туда, куда нужно!

Проблема подавляющего большинства учеников в том, что они не умеют обдумывать задачу по геометрии. Их этому не научили (ну, или они не захотели научиться, когда была возможность). Именно в этой статье, я объясню саму технологию обдумывания и, в конечном счете, нахождения решения ПРАКТИЧЕСКИ ЛЮБОЙ задачи по геометрии.

Сразу оговорюсь - без знания теории в геометрии никак . В смысле, вообще никак, от слова «совсем». Чтоб тебе было полегче при чтении этой статьи, я буду внутри решений задач в скобках курсивом указывать используемые свойства и теоремы. Но помни: если вдруг в знании теории у тебя пробел – закрытие его за тобой! Бери учебник и читай. Причем главные вещи – заучивай (или понимай). Знать теорию – обязательно!

Ладно, к делу.

Ты играл когда-нибудь в квесты? Неважно в реальной жизни или в компьютере. Во всех квестах принцип один – у тебя есть что-то (вещи, знания, навыки) и есть цель (раскрыть какую-нибудь тайну, найти некий предмет, «спасти принцессу» и т.д.). При этом путь к цели – неизвестен. И зачем нужны эти самые имеющиеся у тебя «вещи, знания, навыки» – тоже непонятно. Что делать? Как достичь цели?

Известно как: использовать то, что есть, и искать, куда это применить, чтоб продвинуться к цели. То есть, делать шаги от своего текущего местонахождения – к цели. При этом понятно, что некоторые шаги будут вести нас не туда, куда надо, а совсем даже в тупик. А иногда мы будем находить вещи или информацию, вроде бы напрямую к цели не ведущие, но как выяснится в дальнейшем – необходимую.

Более того, порой можно логически двигаться и наоборот – от цели к твоей текущей позиции. Например, если нужно «спасти принцессу из замка», то понятно, что, скорее всего, надо будет как-то попасть в замок. А для этого надо оказаться на острове, где этот замок стоит. Как попасть? Может быть на лодке. Или найти телепорт. Или использовать магию. Но на остров – надо. Начинаем искать пути на остров. Это уже логические шаги от цели к текущей позиции.

К чему весь этот разговор? Решение задачи по геометрии это точно такой же «квест», только математический . Вдумайся: у нас всегда есть некоторые исходные данные и есть то, что нужно найти (или доказать – разницы на самом деле практически нет). И наша задача – построить логическую цепочку от исходных данных к цели. Строительным материалом при этом у нас будут данные (исходные и полученные при рассуждениях), а также теоремы и свойства.

Ладно, давай уже конкретный пример разберем.

Задача. В треугольнике \(ABC\) из точки \(B\) проведена высота \(BH\). Найти длину отрезка \(AH\), если известно, что сторона \(AC\; =\; 14\) см и угол \(A\) равен углу \(C\).

Так. С чего начинается решение геометрической задачи? Ну, а с чего начинается решение квеста? Правильно, осматриваемся по сторонам, изучаем, что у нас есть и куда нас жизнь закинула.

В геометрии это означает:

  1. построить чертежа выделить из условия задачи исходные данные, то есть, выяснить, что нам дано.
  2. выделить из условия задачи исходные данные, то есть, выяснить, что нам дано.

Хорошо. Значит, текущая ситуация у нас такова:


Давайте потихоньку развеивать туман. Нам известно, что углы \(А\) и \(С\) равны, а это значит, что треугольник \(АВС\) – равнобедренный с основанием АС (теория – «признак равнобедренного треугольника: равенство углов при одной из сторон. Она и является основанием»). Это новая информация, новые данные, изначально неизвестные. Делаем шаг.


Отлично. Теперь смотрим, что у нас есть еще? Еще у нас есть информация, что \(BH\) – высота. А раз треугольник \(ABC\) – равнобедренный, то значит \(BH\) еще и медиана (теорема о высоте в равнобедренном треугольнике: высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника является медианой и биссектрисой). То есть, мы, используя новые, полученные на предыдущем шаге данные, а также исходные данные и знание теории, делаем еще один шаг и опять получаем новую информацию.


А что мы знаем про медиану? Она делит противоположную сторону на две равные части (определение медианы: отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны). Но тогда получается, что точка \(H\) делит сторону \(AC\) пополам. То есть \(AH = HC\).

Стоп. Так у нас же есть длина стороны \(AC\)! И если мы знаем, что точка \(H\) делит сторону \(AC\) пополам, значит, \(AH\) равен половине \(AC\)! Таким образом, получаем, что \(AH = AC/2 = 14/2=7\) см.


Готово. Ответ получен.

Естественно, такие конструкции с «пятном тумана» рисовать каждый раз не нужно, эта схема показывает логическую цепочку решения у нас в голове. А записывается примерно так:

Как решать практические задачи геометрии

Как решать практические задачи геометрии

Цели

o Определить некоторые важные этапы процесса решения практических задач геометрии

o Применять методы решения геометрических задач в практических ситуациях

У

Geometry есть множество реальных приложений в повседневных ситуациях. В этой статье мы научимся применять геометрические принципы и методы для решения задач.Ключом к решению практических задач геометрии является перевод реальной ситуации в цифры, измерения и другую информацию, необходимую для концептуального представления ситуации. Например, вы уже знаете, как рассчитать площадь составной фигуры; Если бы вас попросили определить, сколько места доступно в определенном здании с составной формой, вам просто нужно было бы применить те же принципы, которые вы использовали бы для вычисления площади составной фигуры. Конечно, могут потребоваться некоторые измерения здания, но применяются те же методы решения проблем.

Нам следует представить базовый подход к решению практических задач геометрии. Этот подход аналогичен подходу к решению почти задачи со словом, но немного больше ориентирован на характеристики геометрических задач, в частности.

1. Определите, что вам нужно вычислить для решения проблемы. В некоторых случаях может потребоваться длина; в других случаях - измерение площади или угла. Если на протяжении всего процесса вы будете осознавать, что вам нужно определить, вы можете сэкономить значительное количество времени.

2. Нарисуйте диаграмму. Иногда могут быть полезны линейка, циркуль, транспортир или комбинация этих инструментов. Однако даже если вы используете только грубый набросок, визуальное представление проблемы может помочь вам организовать свои мысли и отслеживать важную информацию, такую ​​как соотношение отрезков линии и углов, а также их размеры.

3. Запишите все соответствующие измерения. Если вы, например, вычисляете площадь, вам может потребоваться измерить определенную длину (в качестве альтернативы, они могут быть предоставлены вам).В любом случае запишите их и отметьте каким-либо образом на диаграмме.

4. Обратите внимание на единицы. Использование квадратных метров для измерения длины или угла может быть досадной ошибкой! Внимательно отслеживайте, какие единицы вы используете во время выполнения задачи. Если единицы не указаны, просто используйте, например, общий термин «единицы» вместо дюймов или метров.

5. Разделите цифру, если необходимо, на небольшие части. Если ваша диаграмма является составной фигурой, ее можно разделить на небольшие части, с которыми вы сможете справиться.

6. Определите все подходящие геометрические отношения. Этот шаг может значительно упростить проблему. Возможно, вы можете показать два совпадающих или похожих треугольника, или, возможно, вы сможете определить конгруэнтные сегменты или углы. Используйте этот шаг, чтобы заполнить как можно больше недостающей информации на диаграмме.

7. Посчитайте. На этом этапе вам необходимо применить полученные знания для анализа цифры и других данных для решения проблемы. Вам может потребоваться, например, применить теорему Пифагора, или вам может потребоваться вычислить периметр фигуры.Какими бы ни были детали проблемы, вам нужно будет применить свои навыки в геометрии соответствующим образом.

8. Проверьте свои результаты. Взгляните на свой ответ в контексте диаграммы - имеет ли ваш ответ смысл? Результат в миллионы квадратных метров для площади фигуры с размерами в пределах нескольких метров должен сказать вам, что вы допустили ошибку в какой-то момент своего анализа.

Не каждый шаг описанного выше подхода потребуется для решения каждой проблемы.Вы должны руководствоваться здравым смыслом при определении того, что необходимо для решения проблемы удовлетворительным и эффективным образом. Кроме того, вы не всегда можете думать о том, чтобы использовать точную последовательность шагов, описанных выше; План - это просто способ описать систематический подход к решению проблем. Оставшаяся часть этой статьи дает вам возможность проверить свои навыки геометрии с помощью нескольких практических задач. Очевидно, что эти проблемы не требуют, чтобы вы выходили на улицу и измеряли длину или углы, но имейте в виду, что проблемы, с которыми вы сталкиваетесь в повседневной жизни, могут потребовать этого!

Практическая задача : План дома показан ниже.Определите площадь, занимаемую домом.

Решение : Давайте сначала разделим схему дома на два прямоугольника и трапецию, так как мы можем вычислить площадь каждой из этих фигур. Используя свойства каждой фигуры, мы также можем ввести некоторую неизвестную информацию.

Теперь площадь большего прямоугольника равна произведению 40 футов и 20 футов, или 800 квадратных футов.Площадь меньшего прямоугольника составляет 25 футов на 6 футов, или 150 квадратных футов. Площадь трапеции следующая:

Высота ( h ) составляет 6 футов, а два основания ( b 1 и b 2 ) - 8 и 11 футов.

Сложение всех трех областей дает нам общую площадь дома 1007 квадратных футов.

Практическая задача : Путешественник поднимается на крутой холм.Уклон холма между двумя деревьями постоянный, а основание одного дерева на 100 метров выше другого. Если расстояние между деревьями по горизонтали составляет 400 метров, как далеко путешественник должен пройти, чтобы добраться от одного дерева к другому?

Решение : Поскольку эту проблему трудно себе представить, диаграмма чрезвычайно полезна. Обратите внимание, что основания деревьев различаются по высоте на 100 метров - это наше вертикальное расстояние для прогулки. Горизонтальное расстояние 400 метров.

Обратите внимание, что мы показали прямой угол, потому что горизонтальный и вертикальный сегменты перпендикулярны. Теперь мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы вычислить расстояние d , которое должен пройти турист.

Таким образом, турист должен пройти около 412 метров. Обратите внимание, что, хотя турист делает значительное (100 метров) изменение высоты во время этой прогулки, разница между фактическим расстоянием, которое он проходит, и горизонтальным расстоянием невелика - всего около 12 метров.

Практическая задача : У домовладельца есть прямоугольный огороженный двор, и он хочет положить мульчу в свои треугольные сады, как показано ниже. Внутренняя граница каждого сада всегда переходит в забор под одним углом. Если мешок мульчи покрывает около 50 квадратных футов, сколько мешков мульчи должен купить домовладелец, чтобы укрыть свой сад?

Решение : В задаче говорится, что внутренняя граница каждого сада встречается с забором во всех случаях под одинаковым углом; таким образом, мы можем сделать вывод (как показано ниже), что все треугольники равнобедренные (и что треугольники с одинаковой длиной стороны совпадают по условию ASA).Таким образом, мы можем пометить каждую сторону неизвестной переменной x или y .

Напомним, что огороженная территория прямоугольная; таким образом, угол в каждом углу составляет 90 °. Затем мы можем найти x и y , используя теорему Пифагора. Однако сначала обратите внимание, что x и y - это высота и оснований соответствующих треугольников.

Поскольку сады состоят из двух треугольников каждой формы, общая площадь сада представляет собой просто сумму x 2 и y 2 .(Если вы не следуете этому пункту, просто используйте в каждом случае формулу площади треугольника - вы получите тот же результат.)

Таким образом, домовладельцу нужно шесть мешков мульчи (всего 300 квадратных футов), чтобы покрыть свой сад. (Конечно, мы предполагаем, что он должен купить целое число мешков.)

.

Как изучать геометрию | Как выучить

Геометрия - это область математики, которая занимается окружающими нас формами. Геометрия имеет дело с природой этих форм, а также с тем, что они говорят нам о мире. Эти формы относятся ко всему сущему, от биологии до дизайна зданий и других искусственных объектов. Изучение геометрии поможет вам приобрести важные навыки решения проблем и поможет вам в других областях математики, поскольку она связана с различными другими математическими темами.

Щелкните здесь, чтобы приобрести книгу

Изучая геометрию, вашим первым шагом будет научиться понимать ее основы. Вам следует сосредоточиться на областях ниже.

Основные разделы геометрии

• Линии и сегменты линий Эта область охватывает прямые и сегменты вместе с пересекающимися и совпадающими линиями. В этой теме также рассматриваются точки и лучи.

• Конгруэнтность Это одна из фундаментальных областей геометрии. Это относится к тому факту, что если вы можете повернуть одну фигуру, чтобы сделать ее идентичной другой, то эти две фигуры будут считаться конгруэнтными.

• Углы Здесь вы узнаете об углах и о том, как они соотносятся друг с другом. Вы также научитесь определять прямой, острый и тупой углы.

• Треугольники и четырехугольники Это поможет вам лучше понять, как треугольники и четырехугольники связаны друг с другом.

• Площадь, объем и периметр К основным областям геометрии относятся формулы для расчета площади, объема и периметра различных форм и твердых тел, включая параллелограммы и треугольники.

• Круги Эта область предназначена для вычисления длины окружности, диаметра и радиуса окружности.

• Четырехугольники Вы научитесь определять и описывать различные типы четырехугольников, включая квадраты, прямоугольники и параллелограммы.

• Рассечения и доказательства Эта тема включает использование свойств фигур для решения геометрических задач и доказательства их решений.

• Теорема Пифагора Теорема Пифагора - одна из основ математики и одно из отличий математики от других

Щелкните здесь, чтобы приобрести книгу

наук.Теорема Пифагора предполагает, что вы начинаете с предположения, а затем делаете выводы из ряда логических шагов. Если вы сделаете правильные предположения и последуете логическим шагам к своему выводу, то ваш результат можно будет считать заслуживающим доверия и его можно будет использовать для подтверждения других результатов. Доказанный результат становится теоремой.

Советы по изучению геометрии

• Работайте над своим геометрическим словарем Вы знаете, что такое луч? Вы знаете, что такое вершина? Это важные концепции геометрии, которые полезны для понимания проблем и поиска их решений.Другие геометрические термины, которые вам следует изучить, включают ромб, трапецию и симметрию.

Правильные инструменты Вам понадобится транспортир, желательно прозрачный. Прозрачные пластиковые транспортиры значительно упрощают считывание и измерение углов. Линейка тоже важна, желательно также четкая. Четкая линейка позволяет удлинить линии, что упрощает их измерение. Убедитесь, что на вашей линейке и транспортире указаны дюймы и сантиметры, поскольку разные уравнения могут иметь разные единицы измерения.Вам понадобится инструмент, который будет полезен обоим. Компас станет вашим следующим наиболее важным инструментом; компасы позволяют делать симметричные изогнутые линии. Хороший карандаш важен для рисования тонких линий. Лучший вариант - карандаш для технического рисования с грифелем 0,05 мм.

Научитесь определять формы и углы Изучите свойства плоских фигур, таких как круги и прямоугольники, а также свойства твердых форм, таких как цилиндры и сферы.

• Научитесь определять треугольники по их углам Например, угол, имеющий один угол в 90 градусов, является прямым.Также следует научиться определять острые и тупые углы.

Научитесь определять треугольники по длинам сторон Равносторонний треугольник имеет стороны одинаковой длины. Чем отличается равнобедренный треугольник? Что такое треугольник Скален? Изучите различия, чтобы классифицировать разные типы треугольников.

• Область понимания Это измерение того, сколько места что-то занимает в двух измерениях. Вы можете сравнить размер своего заднего двора с меньшим или большим задним двором соседа, чтобы понять территорию.Как вы измеряете пространство, которое занимает объект? Один из способов сделать это - использовать единичные квадраты. Определите количество площади; квадрат размером в 1 дюйм - хороший пример. Затем вы можете увидеть, сколько квадратов в 1 дюйм помещается в пространство, которое вы хотите измерить. Если уместится пять квадратов (без перекрытия), то можно сказать, что объект занимает пять квадратных дюймов.

Щелкните здесь, чтобы приобрести книгу

Общие сведения о периметре Термин относится к границе фигуры. Когда вы вычисляете периметр в геометрии, вы определяете длину границы фигуры.Это делается путем сложения длин разных сторон. Сумма сторон равна периметру фигуры.

Понимание симметрии Это одна из фундаментальных областей математики. Симметрия может существовать в алгебраических вычислениях и в геометрических конструкциях. Важно, чтобы вы исследовали геометрическую симметрию, создавая рисунки и изучая их свойства.

Понять сходство Хотя значения симметрии и подобия близки в стандартном английском языке, эти слова несут разное значение в геометрии.Вам следует поработать над пониманием определения подобия и того, как оно применяется к треугольникам и тригонометрии треугольников. • Запоминание формул Вы захотите запомнить формулы, но более важно помнить, как прийти к формуле. Например, понимание формулы для определения площади прямоугольника и понимание взаимосвязи между прямоугольниками и треугольниками может помочь вам рассчитать площадь треугольника. Изучая основные формулы, вы можете упростить изучение сложной геометрии.

Джошуа Л. Дэвис III - учитель математики, репетитор по математике и наставник с 18-летним стажем преподавания в государственной школе и 38-летним стажем репетиторства. Поскольку я постоянно расту, изучая и чувствуя, как мои ученики учатся и обрабатывают информацию, я развил исключительную способность преподавать и объяснять математику понятным для всех способом. Я люблю преподавать математику и общаться с другими людьми. Что мне нравится больше всего, так это то, что я каждый день учусь новым методам обучения у всех своих учеников.

.

Задачи по геометрии GMAT - Magoosh Блог GMAT

Задачи GMAT по геометрии проверяют ваши способности к пространственному мышлению . Можете ли вы взглянуть на схему точек, линий и / или кругов и выделить важные детали, которые приведут к правильному ответу?

Если вы ответили нет , не бойтесь! Прочитав этот пост, изучив фундаментальных геометрических формул и проработав эти практические вопросы по геометрии, у вас будут инструменты, необходимые для успеха в день тестирования!

Содержание

Как использовать геометрические формулы

Очень важно понимать, что геометрические формулы - это полезные инструменты, а НЕ волшебные палочки.Формулы геометрии, безусловно, важны! Но может возникнуть соблазн подумать, что все, что вам нужно сделать, это запомнить кучу формул. Сами по себе формулы не могут гарантировать вам высокий балл в разделе GMAT Quant. Вам также необходимо знать, когда и как применять формулы.

Кроме того, редко бывает, что для решения проблемы требуется только одна формула. Чаще всего вам нужно сложить несколько разных формул, как кусочки пазла. Лучшие специалисты по решению проблем используют целенаправленный подход .Другими словами, начните с того, что вам нужно решить. Затем работайте в обратном направлении, определяя, какая информация будет полезна для достижения этой цели. Кроме того, вы должны помнить данную информацию как из диаграммы, так и из постановки вопроса. Используйте это, чтобы построить мост к своей цели.

В этом посте вы познакомитесь с наиболее важными формулами GMAT Geometry. Цель здесь - просто помочь вам просмотреть - поэтому нажимайте ссылки, чтобы узнать больше о материале.

Затем вы можете проверить свои навыки, ответив на несколько практических вопросов по геометрии.Подробные решения приведены в самом конце.

Готовы? Пошли!

Линии и углы

Прежде всего, знайте свои термины: параллель (то же направление) против перпендикуляра (пересекаются под прямым углом) линий, внутренних углов против внешних углов , дополнительных ( добавление углов до 180 °) по сравнению с дополнительным (добавление углов до 90 °).

Вам следует просмотреть основные геометрические формулы. Например, на этой диаграмме показаны все возможности, в которых линия пересекает две перпендикулярные линии.


Чтобы узнать больше о прямых и углах, ознакомьтесь с нашим сообщением об углах и параллельных линиях в GMAT и нашим видеоуроком Геометрия: линии и углы .

Треугольники

С треугольниками связано множество формул и огромное количество терминологии! В этой статье мы можем только поверхностно коснуться.

Терминология, относящаяся к сторонам

  • Равносторонний - Все три стороны равны.Все углы равны 60 °.
  • Равнобедренный - Две равные стороны и соответствующие равные углы.
  • Scalene - Ни одна из сторон или углов не равны друг другу.

Терминология, относящаяся к углам

  • Острый - Все три угла меньше 90 °
  • Правый - Один угол равен 90 ° (справа)
  • Тупой - Один угол больше 90 °

Сумма углов = 180 ° (для любого треугольника)

Теорема Пифагора: \ (a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 \), где \ (a, b \) - катетов, а \ (c \) - гипотенуза прямоугольного треугольника.(Но также постарайтесь запомнить наиболее распространенные троек Пифагора : 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17 и 7-24-25.)

Площадь: \ (A = \ frac {1} {2} bh \), где \ (b \) - основание, а \ (h \) - высота.

Площадь равностороннего треугольника со стороной \ (s \): \ (A = \ frac {3} {2} \ cdot \ sqrt {3} \ cdot s \)


Подробнее см. просматривая наши видеоуроки, Треугольников - Часть I и Прямоугольников .

И еще больше ресурсов можно найти здесь:

Четырехугольники и другие многоугольники

Основная формула площади для прямоугольников и параллелограммов: \ (A = bh \) (базовое умножение на высоту).Это все, что вам действительно нужно для геометрии GMAT, потому что более сложные формы обычно можно разбить.

Полезно знать следующие формулы углов:

Сумма внутренних углов \ (n \) -стороннего многоугольника = \ (180 (n - 2) \) градусов.

Если многоугольник правильный (все стороны и углы равны), то любой угол имеет размер \ (\ frac {180 (n - 2)} {n} \) градусов.


Для дополнительного обзора ознакомьтесь с этим видеоуроком о Regular Polygons .2 \)

Окружность: \ (A = 2 \ pi r \)

Большинство задач, связанных с кругами, можно решить, не полагаясь на множество причудливых геометрических формул. Вам просто нужно использовать свой математический здравый смысл. Нужно знать площадь сектора? Просто узнайте, какую часть всего круга он представляет!

Дополнительные ресурсы можно найти здесь:

Твердые тела

Обычно в любом заданном тесте GMAT есть только пара вопросов о твердой геометрии.Поэтому мы не будем здесь углубляться в эту тему, но вы можете просмотреть следующие ссылки, чтобы узнать больше.

GMAT Geometry Practice (Вопросы по решению проблем)

Задача 1

Нажмите здесь, чтобы получить ответ


E.

Все три возможны. (На самом деле, если подумать, количество точек пересечения могло быть любым из 0, 1, 2, 3, 4, 5, или 6!)

Задача 2

Щелкните вот ответ


Б.2 = 36 \ пи \).

Задача 3

Нажмите здесь, чтобы получить ответ


C.

Чтобы найти площадь, нам нужно знать основание и высоту. STV треугольника равнобедренный, поэтому мы знаем, что SV = 16 - это основание, но не знаем высоту.

Высота будет представлена ​​отрезком перпендикулярной линии от вершины T, делит пополам основание SV, в точке, которую мы назовем W.

Таким образом, SW = 8. Теперь посмотрим на прямоугольный треугольник STW: у него есть ножка. = 8 и гипотенуза = 17.Это избавит вас от огромного количества вычислений, если вы уже запомнили тройку Пифагора 8-15-17. Таким образом, TW = 15, и это высота. Это позволяет вам найти область: \ (\ frac {1} {2} \) \ (b \) \ (h \) \ (= \ frac {1} {2} \) \ ((16) \) \ ((15) \) \ (= 120 \)

Задача 4

Щелкните здесь, чтобы получить ответ


Используйте формулу для угла правильного многоугольника (с \ (n = 5 \)):

\ (\ frac {180 (5 - 2)} {5} = 108 \) градусов.

Теперь посмотрим на равнобедренный треугольник ABC с углом 108 ° в точке B.Два других угла равны: назовите каждый \ (x \).

Зная, что сумма углов в треугольнике равна 180, мы знаем, что \ (108 + x + x = 180 \), что приводит к \ (x = \) 36 °.

Наконец, ∠BCA = ∠ECD. Учитывая, что ∠BCA = \ (x \) = 36 °, то ∠ECD = 36 °. Это означает, что ∠ACE = 108 ° - 36 ° - 36 ° = 36 °

Задача 5

Щелкните здесь, чтобы получить ответ


B.

Поскольку ED параллелен GH, треугольники FED и FHG подобны . Зачем? Вертикальные углы равны: ∠GFH = ∠DFE, и пары чередующихся внутренних углов также равны: ∠G = ∠D и ∠H = ∠E.

Давайте начнем с треугольника FED. Угол ∠E охватывает диаметр, поэтому E = 90 °. Таким образом, треугольник FED прав с гипотенузой FD = 13 и катетом ED = 5. Это означает, что FE = 12 (просто вспомните тройку Пифагора 5-12-13).

Затем, поскольку GH = 15 в три раза больше ED, коэффициент масштабирования равен 3. Увеличьте FE на 3, чтобы получить FH = 36. Наконец, найдите площадь, используя знакомую формулу для треугольников: \ (A = \ frac {1 } {2} (36) (15) = 270 \).

Ниже приведено изображение с указанием длины каждой стороны (данные выделены желтым цветом):

Задача 6

Нажмите здесь, чтобы получить ответ


D.2 = 36 \ пи \).

Шаг # 2: Один сектор («кусок пирога») занимает 60 °, что составляет одну шестую окружности.

Следовательно, площадь сектора равна: \ (\ frac {1} {6} (36 \ pi) = 6 \ pi \).

Шаг № 3: Теперь посмотрим на равносторонний треугольник.

Длина его стороны равна \ (s = 6 \), поэтому, используя формулу быстрого доступа, его площадь равностороннего треугольника равна \ (9 \ sqrt {3} \).

Шаг № 4: Найдите площадь круглого сегмента, который является названием для этого небольшого оставшегося фрагмента, части сектора, которая находится за треугольником.

Площадь сегмента = (Площадь сектора) - (Площадь треугольника) = \ (6 \ pi - 9 \ sqrt {3} \).

Шаг № 5: Теперь обратите внимание, что заштрихованная область на диаграмме - это всего лишь два равносторонних треугольника минус два круглых сегмента.

\ (2 (9 \ sqrt {3}) \) - \ (2 (6 \ pi - 9 \ sqrt {3}) \) \ (= 18 \ sqrt {3} - 12 \ pi + 18 \ sqrt {3} = 36 \ sqrt {3} - 12 \ pi \)

Задача 7

Нажмите здесь, чтобы получить ответ


D.

Поскольку EGC = 70 °, мы знаем, что ∠A = 70 ° (альтернативные внутренние углы).

Далее, поскольку AB = BC, мы видим, что треугольник ABC равнобедренный, что означает, что ∠ACB = 70 °. Сумма трех углов должна составлять 180 °, поэтому мы получаем ∠B = 40 °.

На этом этапе мы достигаем очень сложного хода: и B, и ∠H представляют собой углы, образованные парами параллельных прямых - стороны каждой параллельны соответствующим сторонам других. Это означает, что ∠B = ∠H = 40 °.

Далее, поскольку EF = FH, треугольник AFH также равнобедренный, что означает ∠GEF = 40 °.Опять же, углы треугольника должны составлять в сумме 180 °, так что это говорит нам, что ∠F = 100 °.

Наконец, ∠F и ∠D - это два угла на одной стороне одной и той же прямой между двумя параллельными прямыми (одинаковые боковые внутренние углы). Эти углы должны быть дополнительными, т.е. D = 180 ° - 100 ° = 80 °.

Дополнительная практика GMAT Geoemtry (вопросы о достаточности данных)

Все перечисленные выше 7 задач относятся к категории Problem Solving .Вы также можете попрактиковаться в ответах на несколько вопросов по геометрии GMAT , перейдя по этим ссылкам Magoosh:

Заключение

Геометрия GMAT не требует большого количества сложных формул. Во всяком случае, вам следует больше сосредоточиться на улучшении ваших геометрических стратегий, особенно на том, как использовать диаграммы в ваших интересах.

О чем говорит диаграмма: какие предположения вы можете сделать? Что не следует предполагать? Можете ли вы использовать оценку?

Наши видео-уроки по стратегиям геометрии и оценка помогут вам развить эти навыки!

Если вы дочитали до конца поста, то престижно! Надеюсь, вы сможете применить то, что узнали здесь, для успешной сдачи экзамена GMAT Quantitative!

Самые популярные ресурсы

.

Как помочь ученикам понять геометрию средней школы?

Вы здесь: Главная → Статьи → Помощь по геометрии в старших классах

Если вы прочитали первую часть этой статьи, то уже заметили, что лучшие меры по оказанию помощи учащимся в изучении геометрии в старших классах принимаются еще до старшей школы. Нам необходимо улучшить преподавание геометрии в начальной и средней школе, чтобы уровень Ван Хиле учащихся был доведен как минимум до уровня абстрактного / относительного. Некоторые моменты, которые следует учитывать:

  • Нам нужно включить больше обоснований, неформальных доказательств и вопросов «почему» в преподавание математики в начальной и средней школе.
  • В общем, учащимся нужно думать, рассуждать, анализировать и использовать свой мозг в различных школьных предметах (не только по математике).

В данной статье мы сосредоточимся только на первом пункте.


Понимание концепций геометрии / Уровни Ван Хиле

Можно ожидать, что дети до первого класса находятся на первом уровне ван Хиле - визуальном. Это означает, что дети узнают геометрические фигуры по внешнему виду, а не по их свойствам.На этом уровне дети в основном изучают названия фигур, таких как квадрат, треугольник, прямоугольник и круг.

В начальной школе (2–5 классы) дети должны исследовать геометрические фигуры и играть с ними, чтобы достичь второго уровня Ван Хиле (описательного / аналитического). Именно тогда они могут определять свойства фигур и распознавать их по их свойствам, а не полагаться на внешний вид .

Например, учащиеся должны понять, что прямоугольник имеет четыре прямых угла, и даже если он повернут на своем «углу», он все равно остается прямоугольником.Дети должны узнать о параллельных линиях и понять, что делает фигуру параллелограммом. Студенты должны разделять фигуры на разные формы (например, делить квадрат на два прямоугольника), комбинировать формы для образования новых и, конечно, давать имена новым формам.

Рисование также помогает . Научите студентов пользоваться линейкой, циркулем и протектором и дайте им много практики, чтобы рисовать квадраты, прямоугольники, параллелограммы и круги с помощью соответствующих инструментов и с максимальной точностью.Например, попросите учащихся нарисовать равнобедренный треугольник с верхним углом 40 ° или ромб со сторонами 4 дюйма и одним углом 66 °. Я часто использую это в своей книге Math Mammoth Geometry 1.

Если все пойдет хорошо, в средней школе (6-8 классы) учащиеся перейдут на третий уровень Ван Хиле (абстрактный / относительный), где они смогут понимать и формировать абстрактные определения, различать необходимые и достаточные условия для концепции, и понять отношения между различными формами .Таким образом, ученики будут подготовлены к формальным доказательствам и дедуктивным рассуждениям в геометрии средней школы.

Эксперименты показали, что это действительно возможно при правильном обучении. Ключ состоит в том, чтобы подчеркнуть геометрические концепции и предоставить учащимся множество практических занятий, таких как рисование фигур и работа с манипуляторами, вместо простого запоминания формул и определений, вычисления площадей, периметров и т. Д. См. Ниже некоторые примеры действий, которые помогут детям и молодежи развивать геометрическое мышление.


Как помочь студентам усвоить единую геометрическую концепцию

  • Покажите учащимся как правильные, так и неправильные примеры геометрической концепции. Покажите концепцию разными способами или представлениями (например, повернутым, отраженным, перекошенным). Попросите учащихся различать правильные и неправильные примеры . Это поможет избежать неправильных представлений.
  • Попросите учащихся сами нарисовать правильные и неправильные примеры . Например, детей 4-го класса можно попросить нарисовать параллельные и непараллельные линии.В 5-м классе попросите учащихся нарисовать параллелограммы и четырехугольники, которые равны , а не параллелограммам.
  • В связи с предыдущим пунктом попросите учащихся дать определение концепции . Это заставляет их задуматься о том, какие свойства в определении необходимы, а какие нет.
  • Позвольте ученикам экспериментировать, исследовать и играть с геометрическими идеями и фигурами. Используйте манипуляторы, рисунки, приложения или программное обеспечение (подробнее о них ниже).
  • Попросите учащихся подготовить свои
.

Смотрите также