Как научиться интегрировать


Решение интегралов. Рассказываем, как решать интегралы.

Интегралы и их решение многих пугает. Давайте избавимся от страхов и узнаем, что это такое и как решать интегралы!
Интеграл – расширенное математическое понятие суммы. Решение интегралов или их нахождение называется интегрированием. Пользуясь интегралом можно найти такие величины, как площадь, объем, массу и другое.
Решение интегралов (интегрирование) есть операция обратная диференциированию.
Чтобы лучше представлять, что есть интеграл, представим его в следующей форме. Представьте. У нас есть тело, но пока не можем описать его, мы только знаем какие у него элементарные частицы и как они расположены. Для того, чтобы собрать тело в единое целое необходимо проинтегрировать его элементарные частички – слить части в единую систему.
В геометрическом виде для функции y=f(x), интеграл представляет собой площадь фигуры ограниченной кривой, осью х, и 2-мя вертикальными линиями х=а и х=b .



Так вот площадь закрашенной области, есть интеграл от функции в пределах от a до b.
Не верится? Проверим на любой функции. Возьмем простейшую у=3. Ограничим функцию значениями а=1 и b=2. Построим:

Итак ограниченная фигура прямоугольник. Площадь прямоугольника равна произведению длины на ширину. В наше случае длина 3, ширина 1, площадь 3*1=3.
Попробуем решить тоже самое не прибегая к построению, используя интегрирование:

Как видите ответ получился тот же. Решение интегралов – это собирание во едино каких-либо элементарных частей. В случае с площадью суммируются полоски бесконечно малой ширины. Интегралы могут быть определенными и неопределенными.
Решить определенный интеграл значит найти значение функции в заданных границах. Решение неопределенного интеграла сводиться к нахождению первообразной.

F(x) – первообразная. Дифференцируя первообразую, мы получим исходное подинтегральное выражение. Чтобы проверить правильно ли мы решили интеграл, мы дифференциируем полученный ответ и сравниваем с исходным выражением.
Основные функции и первообразные для них приведены в таблице:

Таблица первообразных для решения интегралов


Основные приемы решения интегралов:
Решить интеграл, значит проинтегрировать функцию по переменной. Если интеграл имеет табличный вид, то можно сказать, что вопрос, как решить интеграл, решен. Если же нет, то основной задачей при решении интеграла становиться сведение его к табличному виду.
Сначала следует запомнить основные свойства интегралов:

Знание только этих основ позволит решать простые интегралы. Но следует понимать, что большинство интегралов сложные и для их решения необходимо прибегнуть к использованию дополнительных приемов. Ниже мы рассмотрим основные приемы решения интегралов. Данные приемы охватывают большую часть заданий по теме нахождения интегралов.
Также мы рассмотрим несколько базовых примеров решения интегралов на базе этих приемов. Важно понимать, что за 5 минут прочтения статьи решать все сложные интегралы вы не научитесь, но правильно сформированный каркас понимания, позволит сэкономить часы времени на обучение и выработку навыков по решению интегралов.

Основные приемы решения интегралов

1. Замена переменной.

Для выполнения данного приема потребуется хороший навык нахождения производных.

2. Интегрирование по частям. Пользуются следующей формулой.

Применения этой формулы позволяет казалось бы нерешаемые интегралы привести к решению.

3. Интегрирование дробно-рациональных функций.
- разложить дробь на простейшие
- выделить полный квадрат.
- создать в числителе дифференциал знаменателя.

4. Интегрирование дробно-иррациональных функций.
- выделить под корнем полный квадрат
- создать в числителе дифференциал подкоренного выважения.
5. Интегрирование тригонометрических функций.
При интегрировании выражений вида
применяет формулы разложения для произведения.
Для выражений
m-нечетное, n –любое, создаем d(cosx). Используем тождество sin2+cos2=1
m,n – четные, sin2x=(1-cos2x)/2 и cos2x=(1+cos2x)/2
Для выражений вида:
- Применяем свойство tg2x=1/cos2x - 1

С базовыми приемами на этой всё. Теперь выведем своего рода алгоритм:
Алгоритм обучения решению интегралов :
1. Разобраться в сути интегралов. Необходимо понять базовую сущность интеграла и его решения. Интеграл по сути есть сумма элементарных частей объекта интегрирования. Если речь идет об интегрирование функции, то интеграл есть площадь фигуры между графиком функции, осью х и границами интегрирования. Если интеграл неопределенный, то есть границы интегрирования не указаны, то решение сводиться к нахождению первобразной. Если интеграл определенный, то необходимо подставить значения границ в найденную функцию.
2. Отработать использование таблицы первообразных и основным свойства интегралов. Необходимо научиться пользоваться таблицей первообразных. По множеству функций первообразные найдены и занесены в таблицу. Если мы имеем интеграл, которые есть в таблице, можно сказать, что он решен.
3. Разобраться в приемах и наработать навыки решения интегралов.Если интеграла не табличного вида, то его решение сводиться к приведению его к виду одного из табличных интегралов. Для этого мы используем основные свойства и приемы решения. В случае, если на каких то этапах применения приемов у вас возникают трудности и непонимания, то вы более подробно разбираетесь именно по этому приему, смотрите примеры подобного плана, спрашиваете у преподавателя.
Дополнительно после решения интеграла на первых этапах рекомендуется сверять решение. Для этого мы дифференциируем полученное выражение и сравниваем с исходным интегралом.
Отработаем основные моменты на нескольких примерах:

Примеры решения интегралов

Пример 1:
Решить интеграл:

Интеграл неопределенный. Находим первообразную.
Для этого интеграл суммы разложим на сумму интегралов.

Каждый из интегралов табличного вида. Смотрим первообразные по таблице.
Решение интеграла:

Проверим решение(найдем производную):

Пример 2. Решаем интеграл

Интеграл неопределенный. Находим первообразную.
Сравниваем с таблицей. В таблице нет.
Разложить, пользуясь свойствами, нельзя.
Смотрим приемы. Наиболее подходит замена переменной.
Заменяем х+5 на t5. t5 = x+5 . Получаем.

Но dx нужно тоже заменить на t. x= t5 - 5, dx = (t5 - 5)’ = 5t4. Подставляем:

Интеграл из таблицы. Считаем:

Подставляем в ответ вместо t ,

Решение интеграла:

Пример 3. Решение интеграла:

Для решения в этом случае необходимо выделить полный квадрат. Выделяем:

В данном случае коэфециент ? перед интегралом получился в результате замены dx на ?*d(2x+1). Если вы найдете производные x’ = 1 и ?*(2x+1)’= 1, то поймете почему так.
В результате мы привели интеграл к табличному виду.
Находим первообразную.

В итоге получаем:

Для закрепления темы интегралов рекомендуем также посмотреть видео.

В нем мы на примере физики показываем практическое применение интегрирования, а также решаем еще несколько задач.

Надеюсь вопрос, как решать интегралы для вас прояснился. Мы дорабатываем статью по мере поступления предложений. Поэтому если у вас появились какие то предложения или вопросы по теме решения интегралов, пишите в комментариях.

Рекламная заметка: Для особо пытливых умов советуем Видео-лекции по математическому программированию. Программирование одна из дочек математики!


Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:

Введение в интеграцию

Интеграция - это способ добавления фрагментов для поиска целого.

Integration можно использовать для поиска областей, объемов, центральных точек и многих полезных вещей. Но проще всего начать с поиска области под кривой функции следующим образом:


Какова площадь под y = f (x) ?

Ломтики

Мы можем вычислить функцию в нескольких точках, и сложить срезы шириной Δx вот так (но ответ будет не очень точным):

Мы можем сделать Δx намного меньше, а сложить много маленьких кусочков (ответ становится все лучше):

И когда срезы приближаются к нулю по ширине , ответ приближается к истинному ответу .

Теперь мы запишем dx , чтобы обозначить, что ширина срезов Δx приближается к нулю.

Это очень много!

Но складывать их не нужно, есть «ярлык». Потому что ...

... нахождение интеграла - это , обратный нахождения производной.

(Так что вам действительно следует знать о производных финансовых инструментах, прежде чем читать больше!)

Как здесь:

Пример: Что такое интеграл от 2x?

Мы знаем, что производная x 2 равна 2x...

... так что интеграл от 2x равен x 2

Вы увидите другие примеры позже.

Обозначение

Символ «Интеграл» - стильная буква «S»
(для «Сумма» - идея суммирования срезов):

После символа интеграла мы помещаем функцию, интеграл от которой мы хотим найти (называемую интегралом),

, а затем закончите с dx , чтобы обозначить, что срезы идут в направлении x (и приближаются к нулю по ширине).

А вот как пишем ответ:

плюс C

Мы написали ответ как x 2 , но почему + C?

Это «Константа интеграции». Это из-за всех функций, производная которых равна 2x :

Производная x 2 +4 равна 2x , а производная x 2 +99 также равна 2x и так далее! Потому что производная константы равна нулю.

Итак, когда мы меняем операцию (чтобы найти интеграл), мы знаем только 2x , но там могла быть константа любого значения.

Итак, мы завершаем идею, просто написав + C в конце.

Кран и резервуар

Интеграция похожа на наполнение бака из-под крана.

Вход (до интегрирования) - расход от крана.

Объединение потока (складывание всех маленьких кусочков воды) дает нам объема воды в резервуаре.

Простой пример: постоянный расход

Интеграция

: при расходе 1 объем резервуара увеличивается на x

Производная: если объем резервуара увеличивается на x , то расход равен 1

Это показывает, что интегралы и производные противоположны!

Теперь для увеличения расхода

Представьте, что поток начинается с 0 и постепенно увеличивается (возможно, двигатель медленно открывает кран).

По мере увеличения расхода бак наполняется все быстрее и быстрее.

Интеграция: при расходе 2x объем резервуара увеличивается на x 2

Производная: если объем резервуара увеличивается на x 2 , то расход должен быть 2x

Пример: с расходом в литрах в минуту и ​​баком, начинающимся с 0

Через 3 минуты ( x = 3 ):

  • расход достиг 2x = 2 × 3 = 6 литров / мин,
  • и объем достиг x 2 = 3 2 = 9 литров

И через 4 минуты ( x = 4 ):

  • расход достиг 2x = 2 × 4 = 8 литров / мин,
  • и объем достиг x 2 = 4 2 = 16 литров

Мы можем сделать и обратное:

Представьте, что вы не знаете скорость потока.
Вы знаете только, что объем увеличивается на x 2 .

Мы можем пойти в обратном направлении (используя производную, которая дает нам наклон) и найти, что скорость потока равна 2x .

Пример:

  • Через 1 минуту объем увеличивается на 2 литра / минуту (наклон объема равен 2)
  • Через 2 минуты объем увеличивается со скоростью 4 литра / минуту (наклон объема равен 4)
  • Через 3 минуты объем увеличивается со скоростью 6 л / мин (наклон 6)
  • и т. Д.

Итак, интеграл и производная - это противоположности.

Мы можем записать это так:

Интеграл расхода 2x сообщает нам объем воды:

∫2x dx = x 2 + C

И наклон увеличения объема x 2 + C возвращает нам скорость потока:

(x 2 + C) = 2x

И, эй, мы даже получили хорошее объяснение этого значения "C"... может быть, в баке уже есть вода!

  • Поток по-прежнему увеличивает объем на ту же величину
  • И увеличение объема может вернуть нам скорость потока.

Которая учит нас всегда добавлять «+ C».

Прочие функции

Итак, мы уже поиграли с y = 2x , так как же нам интегрировать другие функции?

Если нам посчастливится найти функцию на стороне производной result , тогда (зная, что производные и интегралы противоположны), мы получим ответ.Но не забудьте добавить C.

Пример: что такое ∫cos (x) dx?

Из таблицы Rules of Derivatives мы видим, что производная sin (x) равна cos (x), поэтому:

∫cos (x) dx = sin (x) + C

Но многое из этого "обращения" уже сделано (см. Правила интеграции).

Пример: Что такое ∫x 3 dx?

В правилах интеграции есть «Правило власти», которое гласит:

∫x n dx = x n + 1 n + 1 + C

Мы можем использовать это правило с n = 3:

∫x 3 dx = x 4 4 + C

Знание того, как использовать эти правила, является ключом к успешной интеграции.

Итак, познакомьтесь с этими правилами и получите много практики .

Изучите правила интеграции и практикуйтесь! Практика! Практика!
(для начала вам нужно задать несколько вопросов)

Определенные и неопределенные интегралы

До сих пор мы выполняли неопределенных интегралов .

Определенный интеграл имеет фактические значения для вычисления между ними (они помещаются внизу и вверху буквы "S"):

Неопределенный Интегральный Определено Интегральное

Чтобы узнать больше, прочтите «Определенные интегралы».

,

Как интегрировать углубленное изучение в дизайн курса

Адам Ходжес, доктор философии, старший специалист по преподаванию и обучению

Фундаментальной задачей при разработке курса является повышение успеваемости учащихся по результатам обучения. Ключом к этому в онлайн-обучении является максимальное использование принципов усвоения знаний, заложенных в платформу Coursera.

Традиционная модель образования вращается вокруг фиксированных временных рамок с переменными достижениями.Возьмем, к примеру, университетский курс продолжительностью в семестр, продолжительность которого составляет 15 недель. В течение этого семестра преподаватели проводят уроки, а студенты стремятся усвоить изучаемый материал. Некоторые студенты лучше других усваивают этот материал в течение этих 15 недель. Об этом свидетельствуют экзамены, на которых оценивается их успеваемость, и оценки, которые выставляются в конце семестра. Эти оценки предназначены для обозначения уровня мастерства, достигнутого учащимися за этот фиксированный период времени.Другими словами, в традиционной модели обучения время фиксировано, а достижения - переменны.

В известной статье 1984 года в журнале Educational Researcher педагог-психолог Бенджамин Блум сформулировал проблему, которую он назвал «2 сигмой»: как методы группового обучения могут позволить учащимся достичь того же уровня достижений, который может быть достигнут хорошим индивидуалом или маленьким учеником. условия группового обучения?

Блум назвал это проблемой «2 сигм», потому что исследования (Anania 1982, 1983; Burke 1984) показали, что «средний ученик, проходящий репетиторство, был примерно на два стандартных отклонения [сигма] выше среднего» уровня успеваемости учеников в обычном класс.Принятие стратегии усвоения знаний в обычном групповом классе повысило успеваемость учащихся на одно стандартное отклонение, или сигму. Блум призвал педагогов «найти методы группового обучения столь же эффективные, как индивидуальные занятия».

Работа

Блума подчеркивает важность переосмысления традиционной образовательной модели, в которой время фиксировано, а достижения - переменны. Подход к овладению мастерством меняет эти переменные так, что мастерство является константой, а время - переменной. Некоторым ученикам нужно больше времени, чем другим, чтобы достичь мастерства.

Но главное не в том, чтобы просто дать учащимся больше времени для обучения. Обучение также должно быть структурировано таким образом, чтобы облегчить овладение знаниями, с использованием формирующих тестов с процедурами коррекции обратной связи. Когда все сделано хорошо, такой подход к обучению онлайн может примерно соответствовать типу руководства, связанного с репетиторством.

Coursera создан для углубленного изучения, позволяя инструкторам использовать практику и обратную связь в процессе обучения.

Один из способов превратить пассивный просмотр видеолекций в активное обучение - встроить в эти видеоролики проверку знаний.Как предполагают Брэйм и Перес (2017), вопросы в видео (IVQ) улучшают удержание и помогают учащимся применять стратегии самооценки, важные для мастерства.

Другой способ - включить в каждый урок развивающие практические контрольные задания или упражнения. Coursera рекомендует как минимум один практический вопрос для каждого учебного предмета курса. Они могут быть встроены в видеолекции как IVQ (требуется вход в систему), выполнять практические тесты в конце каждого урока или их сочетание.Идея состоит в том, чтобы каждую неделю курса чередовать практику с инструкциями. Это поддерживает активное участие учащихся в тестировании и построении своих ментальных моделей, демонстрирующих усвоение материала.

Эффективность формирующих оценок практики во многом зависит от того, насколько хорошо они обеспечивают немедленную, действенную обратную связь с учащимися. Именно здесь онлайн-технологии выделяются, позволяя вам адаптировать вашу обратную связь в зависимости от того, как учащиеся отвечают на вопрос, имитируя тип индивидуальной обратной связи во время учебных занятий.

Coursera позволяет оставлять отзывы о тестах на уровне опций. Предположим, например, что в вашем тесте используется формат множественного выбора с пятью вариантами на выбор. Вы можете обозначить один из этих вариантов как правильный ответ, а остальные четыре как неправильные. Хорошо составленный вопрос должен включать в себя отвлекающие факторы, основанные на потенциальных заблуждениях учащихся. Для каждого из этих неправильных вариантов вы можете предоставить подробную обратную связь, чтобы объяснить учащемуся, почему ответ неправильный, и подкрепить ключевые идеи, относящиеся к цели обучения.Интеграция этого типа практики с обратной связью в путь обучения предотвращает неправильные представления и поддерживает учащихся в их стремлении к мастерству.

Отзывы также важны при итоговых оценках в конце каждой недели курса. В то время как практические оценки представляют собой невысокие формирующие возможности, которые обеспечивают обратную связь, объясняющую, почему ответ правильный или неправильный, учащиеся демонстрируют мастерство в достижении целей обучения, проходя еженедельное оценивание.Поскольку уровень мастерства является константой, а время - переменной, учащимся разрешается несколько попыток сдать оцениваемые тесты. Как и следовало ожидать, обратная связь по оценочным оценкам неоценима, как и по практическим оценкам. Однако тип обратной связи немного отличается.

При выставлении оценок учащиеся могут пересдавать тест или упражнение более одного раза. Таким образом, ваш отзыв должен указывать учащимся на соответствующие учебные предметы, которые они должны просмотреть и изучить, прежде чем вернуться для повторной сдачи экзамена.Этот тип обратной связи поддерживает учащегося, не раскрывая правильный ответ на оцениваемой оценке, которую ему, возможно, придется сдать повторно.

Мастерство обучения основано на соответствующей практике с действенной обратной связью. Хорошо продуманный курс будет включать как формирующие (практические), так и итоговые (оцениваемые) оценки с подробной обратной связью, которая поддерживает учащихся в их работе, демонстрируя мастерство четко определенных целей обучения. Coursera была создана для облегчения усвоения знаний, позволяя создавать эффективные интерактивные обучающие программы, которые помогают решить проблему «двух сигм» Блума.

34 ,

13 способов беспрепятственно интегрировать изучение языка в повседневную жизнь

  • Дом