Как научиться находить корень уравнения


Найти корень уравнения? Это просто! :: SYL.ru

В математике встречаются разнообразные уравнения. Их всегда нужно решать, то есть искать все числа, которые сделают его верным равенством. Пути поиска решений определяются первоначальным видом уравнения. От него же будет зависеть и количество верных значений переменной, которые обозначаются, как корень уравнения. Это число может варьироваться от нуля до бесконечности.

Что подразумевается под уравнением и его корнем?

Из названия понятно, что оно приравнивает две величины, которые могут быть представлены числовыми или буквенными выражениями. Кроме того, они содержат еще неизвестные величины. Самое простое уравнение имеет только одну.

Видов уравнений большое количество, но понятие корня для них всегда одно и то же. Корень уравнения — это такое значение неизвестного числа, при котором уравнение принимает становится верным равенством. Бывают ситуации, когда таких чисел несколько, тогда неизвестная называется переменной.


Поиск всех возможных корней уравнения является его решением. То есть нужно выполнить ряд математических действий, которые его упрощают. А потом приводят к равенству, в котором содержится только неизвестная и какое-либо число.


В алгебре при решении уравнений можно прийти к такой ситуации, что корней не будет совсем. Тогда говорят о том, что оно неразрешимо. А в ответе такого уравнения нужно записать, что решений нет.


Но иногда бывает и противоположное. То есть в процессе многочисленных преобразований появляются посторонние корни. Они не дадут верного равенства при подстановке. Поэтому числа всегда нужно проверять, чтобы избежать ситуации с лишними корнями в ответе. Иначе уравнение не будет считаться решенным.

О линейном уравнении

Оно всегда может быть преобразовано в запись следующего вида: а * х + в = 0. В нем «а» всегда не равно нулю. Чтобы понять сколько корней имеет уравнение, его потребуется решить в общем виде.


Алгоритм преобразований:

  • перенести в правую часть равенства слагаемое «в», заменив его знак на противоположный;
  • разделить обе части получившегося равенства на коэффициент «а».

Общий вид решения такой:


х = -в/а.


Из него ясно, что ответом будет одно число. То есть всего один корень.

Квадратное уравнение

Его общий вид: а * х2 + в * х + с = 0. Здесь коэффициенты являются любыми числами, кроме первого, «а», которое не может быть равным нулю. Ведь тогда оно автоматически превратится в линейное. Ответ на вопрос, сколько корней имеет уравнение, уже не будет столь однозначным, как это было в предыдущем случае.

Все будет зависеть от значения дискриминанта. Он вычисляется по формуле Д = в2 - 4 а * с. После расчетов «Д» может получиться больше, меньше или равным нулю. В первом случае корней уравнения будет два, во втором ответом будет «корней нет», а третья ситуация даст только одно значение неизвестной.

Формулы, которые используют для нахождения корней квадратного уравнения, и содержащие дискриминант

В общем случае, когда «Д» положительное число, не равное нулю, нужно использовать такую формулу:


х1,2 = (-в ± √Д) / (2 * а).


Здесь всегда получится два ответа. Это связано с тем, что в исходной формуле стоит знак «плюс/минус». Он существенно изменяет значение неизвестной.


При равенстве «Д» нулю корень уравнения — это единственное число. Просто потому что квадратный корень из нуля равен нулю. А значит, прибавлять и вычитать нужно будет ноль. От этого число не изменится. Поэтому формулу корня уравнения можно записать без упоминания "Д":


х = (-в) / (2 * а).


При отрицательном значении дискриминанта извлечь из него квадратный корень не представляется возможным. Поэтому корней у такого уравнения не будет.

Замечание. Это верно для курса школьной программы, в которой не изучаются комплексные числа. Когда они вводятся, то получается, что и в этой ситуации ответов будет два.

Формулы для расчета корней квадратного уравнения, не использующие дискриминант

Речь идет о теореме Виета. Она действительна в случае, когда квадратное уравнение записывается в несколько другом виде:


х2 + в * х + с = 0.


Тогда формула корней квадратного уравнения сводится к тому, чтобы выполнить решение двух линейных:


х1 + х2 = -в
и
х1 * х2 = с.

Оно решается за счет того, что из первого выводится выражение для одного из корней. И это значение нужно подставить во второе. Так будет найден второй корень, а потом первый.


К этому варианту всегда можно прийти от общего вида квадратного уравнения.

Достаточно только разделить все коэффициенты на «а».

Как быть, если нужно узнать наименьшее значение корня?

Решать уравнение и находить все возможные числа, которые подойдут для ответа. А потом выбрать самое малое. Это и будет наименьший корень уравнения.


Чаще всего такие вопросы встречаются в заданиях, которые имеют степень большую, чем 2, или содержат тригонометрические функции. Примером, когда нужно найти наименьший корень, может служить такое равенство:


2 х5 + 2 х4 - 3 х3 - 3 х2 + х + 1 = 0.


Чтобы найти каждое значение, которое можно назвать "корень уравнения", это равенство нужно преобразовать. Первое действие: сгруппировать его члены попарно: первый со вторым и так далее. Потом из каждой пары вынести общий множитель.


В каждой скобке останется (х + 1). Общим множителем в первой из пар будет 2 х4, во второй 3 х2. Теперь снова нужно выполнить вынесение общего множителя, которым будет являться одинаковая скобка.


После множителя (х + 1) будет стоять (2 х4 - 3 х2 + 1). Произведение двух множителей равняется нулю, только если один из них принимает значение, равное нулю.

Первая скобка равна нулю при х = -1. Это будет одним из корней уравнения.


Другие будут получены из уравнения, образованного второй скобкой, приравненной к нулю. Оно биквадратное. Для его решения нужно ввести обозначение: х2 = у. Тогда уравнение существенно преобразится и примет привычный вид квадратного уравнения.

Его дискриминант равен Д = 1. Он больше нуля, значит корней будет два. Первый корень оказывается равным 1, второй будет 0,5. Но это значения для «у».


Нужно вернуться к введенному обозначению. х1,2 = ± 1, х3,4 = ± √0,5. Все корни уравнения: -1; 1; -√0,5; √0,5. Наименьший из них — -1. Это ответ.

В качестве заключения

Напоминание: все уравнения нужно проверять на то, подходит ли корень. Может быть, он посторонний? Стоит выполнить проверку предложенного примера.


Если подставить в изначально данное уравнение вместо "х" единицу, то получается, что 0 = 0. Этот корень верный.


Если х = -1, то получается такой же результат. Корень тоже подходящий.


Аналогично, при значениях "х" равных -√0,5 и √0,5 опять выходит верное равенство. Все корни подходят.

Этот пример не дал посторонних корней. Такое бывает не всегда. Вполне могло оказаться, что самое маленькое значение не подходило бы при проверке. Тогда пришлось бы выбирать из оставшихся.

Вывод: надо помнить о проверке и внимательно подходить к решению.

C программа для поиска всех корней квадратного уравнения

Изучите программирование на C, учебники по структурам данных, упражнения, примеры, программы, советы, подсказки и уловки в Интернете.

Перейти к содержанию
  • Home
  • Основы программирования
  • Учебник по программированию на C
  • Упражнения на C
    • Упражнения на языке C
    • Упражнения для побитового оператора
    • Упражнения с условным оператором
    • Упражнения с условным оператором
    • Упражнения
    • Switch
    • Образцы звезд
    • Образцы чисел
    • Упражнения с функциями
    • Упражнения с массивами
    • Упражнения со строками
    • Упражнения с указателями
    • Упражнения по работе с файлами
  • Структуры данных
  • статей для поиска:
Поиск статей ,2 + 5x +6 $$. Как вы видите, сумма корней действительно равна $$ \ color {Red} {\ frac {-b} {a}} $$, а произведение корней составляет $$ \ color {Red} {\ frac { c} {a}} $$.

Picture of sum and product of roots formula
Пример 2

Пример ниже показывает, как эта формула применяется к квадратному уравнению x 2 - 2x - 8. Опять же, обе формулы - для суммы и произведения сводятся к -b / a и c / a соответственно.

Picture of sum and product of roots formula

Практика Задачи

Проблема 1

Не решая, найти сумму и произведение корней уравнения: 2x 2 -3x -2 = 0

Покажи ответ

Определите коэффициенты:
a = 2
b = -3
c = -2

Теперь подставьте эти значения в формулы

Сумма корней

$$ \ color {Красный} {\ frac {-b} {a}} = \ frac {- (- 3)} {2} = \ frac {3} {2} $$

Продукт корней

$$ \ color {Красный} {\ frac {c} {a}} = \ frac {-2} {2} = -1 $$

Проблема 2

Не решая, найдите сумму и произведение корней следующего уравнения: -9x 2 -8x = 15

Покажи ответ

Сначала вычтите 15 с обеих сторон, чтобы уравнение имело вид 0 = ax 2 + bx + c переписать уравнение: -9x 2 -8x - 15 = 0

Определите коэффициенты:
a = -9
b = -8
c = -15

Теперь подставьте эти значения в формулы

Сумма корней

$$ \ color {Красный} {\ frac {-b} {a}} = \ frac {- (- 8)} {- 9} = \ frac {-8} {9} $$

Продукт корней

$$ \ color {Красный} {\ frac {c} {a}} = \ frac {-15} {9} = \ frac {-5} {3} $$

Проблема 3

Запишите квадратное уравнение с учетом следующих корней: 4 и 2

Покажи ответ

Есть несколько способов решить эту проблему. Вы можете создать два бинома (x-4) и (x-2) и умножить их.

Однако, поскольку эта страница посвящена использованию наших формул, давайте воспользуемся ими, чтобы ответить на это уравнение.

Сумма корней = 4 + 2 = 6
Произведение корней = 4 * 2 = 8

Мы можем использовать наши формулы, чтобы составить следующие два уравнения

Сумма корней

$$ \ frac {-b} {a} = 6 = \ frac {6} {1} $$

Продукт корней

$$ \ frac {c} {a} = 8 = \ frac {8} {1} $$

Теперь мы знаем значения всех трех коэффициентов:
a = 1
b = -6
c = 8

Итак, наше окончательное квадратное уравнение y = 1x 2 - 6x + 8

Вы можете дважды проверить свою работу, помешав биномам (x -4) (x-2) получить то же уравнение

Проблема 4

Если один корень приведенного ниже уравнения равен 3, каков другой корень? х 2 -5x + к = 0

Покажи ответ .

BioMath: квадратичные функции

В этом разделе мы узнаем, как найти корень (корень) квадратного уравнения. Корни также называются перехватами x или нулями. Квадратичная функция графически представлена ​​параболой с вершиной, расположенной в начале координат, ниже оси x или выше оси x . Следовательно, квадратичная функция может иметь один, два или нулевой корень.

Когда нас просят решить квадратное уравнение, нас действительно просят найти корни.Мы уже видели, что завершение квадрата - полезный метод решения квадратных уравнений. Этот метод можно использовать для вывода квадратной формулы, которая используется для решения квадратных уравнений. Фактически, корни функции

f ( x ) = ax 2 + bx + c

даются по квадратичной формуле. Корни функции - это перехваты x . По определению, координата y точек, лежащих на оси x , равна нулю.Поэтому, чтобы найти корни квадратичной функции, мы полагаем f ( x ) = 0 и решаем уравнение

ax 2 + bx + c = 0.

Мы можем сделать это, заполнив квадрат как,

Решая x и упрощая, получаем

Таким образом, корни квадратичной функции имеют вид,

Эта формула называется квадратной формулой , и ее вывод включен, чтобы вы могли видеть, откуда она взялась.Мы называем термин b 2 −4 ac дискриминантом . Дискриминант важен, потому что он говорит вам, сколько корней имеет квадратичная функция. В частности, если

1. b 2 −4 ac <0 Настоящих корней нет.

2. b 2 −4 ac = 0 Существует один действительный корень.

3. b 2 −4 ac > 0 Есть два действительных корня.

Рассмотрим каждый случай индивидуально.

Случай 1: Нет настоящих корней

Если дискриминант квадратичной функции меньше нуля, эта функция не имеет действительных корней, а парабола, которую она представляет, не пересекает ось x . Поскольку квадратная формула требует извлечения квадратного корня из дискриминанта, отрицательный дискриминант создает проблему, потому что квадратный корень из отрицательного числа не определяется по действительной прямой.Пример квадратичной функции без действительных корней дается формулой

f ( x ) = x 2 - 3 x + 4.

Обратите внимание, что дискриминант f ( x ) отрицательный,

b 2 −4 ac = (−3) 2 - 4 · 1 · 4 = 9 - 16 = −7.

Эта функция графически представлена ​​открывающейся вверх параболой, вершина которой находится выше оси x.Таким образом, график никогда не может пересекать ось x и не имеет корней, как показано ниже,

Случай 2: Один настоящий корень

Если дискриминант квадратичной функции равен нулю, эта функция имеет ровно один действительный корень и пересекает ось x в одной точке. Чтобы увидеть это, мы устанавливаем b 2 −4 ac = 0 в формуле корней квадратного уравнения, чтобы получить

Обратите внимание, что это координата x вершины параболы.Таким образом, парабола имеет ровно один действительный корень, когда вершина параболы лежит прямо на оси x . Простейший пример квадратичной функции, имеющей только один действительный корень, -

y = x 2 ,

, где действительный корень равен x = 0.

Другой пример квадратичной функции с одним действительным корнем:

f ( x ) = −4 x 2 + 12 x - 9.

Обратите внимание, что дискриминант f ( x ) равен нулю,

b 2 −4 ac = (12) 2 - 4 · −4 · −9 = 144 - 144 = 0.

Эта функция графически представлена ​​параболой, которая открывается вниз и имеет вершину (3/2, 0), лежащую на оси x . Таким образом, график пересекает ось x ровно в одной точке (т.е. имеет один корень), как показано ниже,

Случай 3: два настоящих корня

Если дискриминант квадратичной функции больше нуля, эта функция имеет два действительных корня ( x -перехвата).Извлечение квадратного корня из положительного действительного числа хорошо определено, и два корня равны,

Пример квадратичной функции с двумя действительными корнями:,

f ( x ) = 2 x 2 - 11 x + 5.

Обратите внимание, что дискриминант f ( x ) больше нуля,

b 2 - 4 ac = (−11) 2 - 4 · 2 · 5 = 121 - 40 = 81.

Эта функция графически представлена ​​открывающейся вверх параболой, вершина которой лежит ниже оси x . Таким образом, график должен пересекать ось x в двух местах (т.е. иметь два корня), как показано ниже,

*****

В следующем разделе мы будем использовать квадратную формулу для решения квадратных уравнений.

Решение квадратных уравнений

,

Смотрите также