Как научиться понимать геометрию 8 класс


Конспект "Краткий курс геометрии 8 класс"

«Краткий курс геометрии 8 класс»

«Краткий курс геометрии 8 класс» — это краткие теоретические сведения по курсу геометрии за 8 класс (определения, теоремы, основные свойства). Цитаты взяты в учебных целях из пособия «Геометрия: задачи на готовых чертежах для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ (базовый уровень): 8 класс / Э.Н.Бабаян. — Ростов н/Д: Феникс.



Планиметрия

☑  1. Многоугольник

ABCDE — пятиугольник (рис. 11). Точки А, В, С, D, Е — вершины многоугольника; ∠A, ∠B, ∠C, ∠D, ∠E — углы; АВ, ВС, CD и т. д. — стороны; отрезки АС, AD, BE, BD, СЕ — диагонали; Р = АВ + ВС + … + ЕА — периметр многоугольника.
Многоугольник называется выпуклым (см. рис. 11), если он целиком расположен по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины. В противном случае многоугольник называется невыпуклым (рис. 12).

Свойства
1. Сумма внутренних углов произвольного n-угольника равна 180° • (n — 2).
2. Сумма внешних углов выпуклого n-угольника, взятых по одному при каждой вершине, равна 360°.
3. В выпуклом n-угольнике из каждой вершины можно провести (n — 3) диагоналей, которые разбивают n-угольник на (n — 2) треугольников.
4. В выпуклом n-угольнике число диагоналей равно n(n — 3)/2.

☑  2. Правильные многоугольники

Выпуклый многоугольник, у которого равны все углы и стороны, называется правильным.
Свойства
1. Каждый угол правильного n-угольника равен аn = 180°(n — 2)/n
2. Около правильного n-угольника можно описать окружность, и притом только одну.
3. В правильный n-угольник можно вписать окружность, и притом только одну.
4. Окружность, вписанная в правильный n-угольник, касается всех сторон n-угольника в их серединах.
5. Центр окружности, описанной около правильного n-угольника, совпадает с центром окружности, вписанной в тот же n-угольник.
6. Длина стороны правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса R, равна а = 2R sin(180°/n).
7. Длина стороны правильного n-угольника, описанного около окружности радиуса r, равна а = 2r tg(180°/n).

☑ 3. Четырехугольник

☑ 4. Параллелограмм

Признаки параллелограмма (рис. 48)

  1. Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны (АВ = DC, АВ || CD), то такой четырехугольник — параллелограмм.
  2. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны (АВ = DC, AD = DC), то такой четырехугольник — параллелограмм.
  3. Если в четырехугольнике противоположные углы попарно равны (∠A = ∠C; ∠B = ∠D), то такой четырехугольник — параллелограмм.
  4. Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и в точке пересечения делятся пополам, то такой четырехугольник — параллелограмм.
☑ 5. Трапеция

Равнобедренная трапеция

Прямоугольная трапеция

☑ 6. Прямоугольник

☑ 7. Ромб

☑ 8. Квадрат
☑ 9. Теорема Чевы

☑ 10. Теорема Менедая

☑ 11. Теорема синусов

☑ 12. Теорема косинусов

☑ 13. Площадь треугольника

☑ 14. Площадь многоугольников

☑ 15. Равносторонний (правильный) треугольник

☑ 16. Подобные треугольники

☑ 17. Признаки подобия треугольников
 
☑ 18. Окружность

Окружностью называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от одной ее точки (центра) (рис. 37).
Отрезок, соединяющий центр окружности с точкой на окружности, называется радиусом. Обозначение: г или R.
На рисунке ОС = ОЕ = OD = R.
Часть окружности (например, CmD) называется дугой.
Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой, а хорда, проходящая через центр, — диаметром.
АВ, ВС, CD и СЕ — хорды окружности. СЕ — наибольшая из хорд — диаметр.
Обозначение: d или D. D = 2R.
Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом.
Часть круга, ограниченная дугой (CmD) и стягивающей ее хордой (CD), называется сегментом.
Часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой, называется сектором.
Угол, образованный двумя радиусами, называется центральным (∠COD на рис. 37).
Угол, у которого вершина лежит на окружности, а стороны являются хордами, называется вписанным (например, ∠ABC).

☑  19. Свойства касательных к окружности

Угол, образованный двумя касательными (СА и СВ), исходящими из одной точки, называется описанным (∠ACB на рис. 38).
1. Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.
2. Две касательные, проведенные к окружности из одной точки, равны, и центр окружности лежит на биссектрисе угла между ними.

☑  20. Окружность и треугольник

1. Около всякого треугольника можно описать окружность; центром окружности является точка пересечения перпендикуляров, проведенных к сторонам через их середины (рис. 39).
2. Во всякий треугольник можно вписать окружность; центром окружности является точка пересечения биссектрис (рис. 40).

☑ 21. Окружность и четырехугольник

☑ 22. Углы и окружность

☑ 23. Метрические соотношения в окружности

☑ 24. Длина окружности. Площадь круга и его частей

☑ 25. Уравнение окружности


Вы смотрели «Краткий курс геометрии 8 класс» — все определения, теоремы и основные свойства из Геометрии за 8 класс. Выберите дальнейшие действия:

 

Common Core State Standards: математика 8 класс

8.G.1

Экспериментально проверьте свойства вращения, отражения и перемещения:

8.G.1a

Линии преобразуются в линии, а сегменты линий - в сегменты одинаковой длины.

8.G.1b

Углы принимаются к углам той же меры.

8.G.1c

Параллельные линии переходят в параллельные.

8.G.2

Понять конгруэнтность и сходство с помощью физических моделей, прозрачностей или геометрического программного обеспечения.

8.G.3

Опишите эффект расширения, сдвига, поворота и отражения на двумерные фигуры с помощью координат.

5

8.G.4

Поймите, что двумерная фигура похожа на другую, если вторая может быть получена из первой последовательностью вращений, отражений, перемещений и растяжений; Для двух одинаковых двумерных фигур опишите последовательность, демонстрирующую сходство между ними.

8.G.5

Используйте неформальные аргументы, чтобы установить факты о сумме углов и внешнем угле треугольников, об углах, образующихся, когда параллельные прямые пересекаются трансверсалью, и о критерии подобия треугольников угол-угол. Например, расположите три копии одного и того же треугольника так, чтобы сумма трех углов образовывала линию, и дайте аргумент в терминах трансверсалей, почему это так.

.

Grade 8 Curriculum

Ниже приведены необходимые навыки со ссылками на ресурсы, которые помогут в этом навыке. Мы также поощряем много упражнений и книжную работу. Curriculum Home

Важно: это только руководство.
Обратитесь в местный орган управления образованием, чтобы узнать их требования.

8 класс | Числа

☐ Двоичные числа

☐ Что такое шестнадцатеричные числа

☐ Преобразование из десятичного в другое базовое число и наоборот.

☐ Округлите число до необходимого количества десятичных знаков или требуемого количества значащих цифр.

☐ Поймите, что существуют другие системы счисления, такие как римские цифры, и узнайте, как переводить из одной системы в другую.

☐ Поймите, что подразумевается под сурдом, и что если вы не можете упростить число, чтобы удалить квадратный корень (или кубический корень и т. Д.), То это сурд.

☐ Вычислите квадратный корень с помощью «метода предположений».

☐ Ознакомьтесь с различными методами округления и когда их использовать

8 класс | Проценты

☐ Чтение, запись и идентификация процентов меньше 1% и больше 100%

☐ Применить проценты к: * Налог * Простой интерес * Цена продажи * Комиссия * Процентные ставки * Чаевые

☐ Разберитесь, что подразумевается под процентной ошибкой и как ее вычислить.

☐ Поймите, что подразумевается под процентными пунктами и базисными пунктами.

☐ Поймите, что подразумевается под процентным изменением (процентное увеличение или процентное уменьшение) и как его рассчитать.

☐ Разберитесь, что подразумевается под разницей в процентах и ​​как ее рассчитать.

8 класс | Коэффициенты

☐ Знайте, как разделить количество в заданном соотношении, например Доля прибыли компании в соотношении инвестиций партнеров

8 класс | Измерение

☐ Решите уравнения / пропорции для преобразования в эквивалентные измерения в рамках метрической системы измерения.

☐ Знайте метрические единицы измерения скорости (скорости): метры в секунду (мс-1) и километры в час (кмч-1)

☐ Распознавать разницу между выражениями «вес» и «масса» и знать правильную метрическую единицу измерения веса (Ньютон)

☐ Решайте уравнения / пропорции, чтобы преобразовать в эквивалентные измерения из метрической системы измерения в обычную и наоборот.

☐ Решение уравнений / пропорций для преобразования в эквивалентные измерения в рамках стандартной системы измерений США

☐ Знайте стандартные американские единицы скорости (скорости): футы в секунду (кадр / с) и мили в час (миль / час).

☐ Уметь различать выражения «вес» и «масса» и знать правильную стандартную единицу измерения веса в США (фунт-сила)

☐ Знать метрические единицы ускорения и знать, как рассчитать ускорение с учетом начальной скорости, конечной скорости и временного интервала.

.

Как помочь ученикам понять геометрию средней школы?

Вы здесь: Главная → Статьи → Помощь по геометрии в старших классах

Если вы прочитали первую часть этой статьи, то уже заметили, что лучшие меры по оказанию помощи учащимся в изучении геометрии в старших классах принимаются еще до старшей школы. Нам необходимо улучшить преподавание геометрии в начальной и средней школе, чтобы уровень Ван Хиле учащихся был доведен как минимум до уровня абстрактного / относительного. Некоторые моменты, которые следует учитывать:

  • Нам нужно включить больше обоснований, неформальных доказательств и вопросов «почему» в преподавание математики в начальной и средней школе.
  • В общем, учащимся нужно думать, рассуждать, анализировать и использовать свой мозг в различных школьных предметах (не только по математике).

В данной статье мы сосредоточимся только на первом пункте.


Понимание концепций геометрии / Уровни Ван Хиле

Можно ожидать, что дети до первого класса находятся на первом уровне ван Хиле - визуальном. Это означает, что дети узнают геометрические фигуры по внешнему виду, а не по их свойствам.На этом уровне дети в основном изучают названия фигур, таких как квадрат, треугольник, прямоугольник и круг.

В начальной школе (2–5 классы) дети должны исследовать геометрические фигуры и играть с ними, чтобы достичь второго уровня Ван Хиле (описательного / аналитического). Именно тогда они могут определять свойства фигур и распознавать их по их свойствам, а не полагаться на внешний вид .

Например, учащиеся должны понять, что прямоугольник имеет четыре прямых угла, и даже если он повернут на своем «углу», он все равно остается прямоугольником.Дети должны узнать о параллельных линиях и понять, что делает фигуру параллелограммом. Студенты должны разделять фигуры на разные формы (например, делить квадрат на два прямоугольника), комбинировать формы для образования новых и, конечно, давать имена новым формам.

Рисование также помогает . Научите студентов пользоваться линейкой, циркулем и протектором и дайте им много практики, чтобы рисовать квадраты, прямоугольники, параллелограммы и круги с помощью соответствующих инструментов и с максимальной точностью.Например, попросите учащихся нарисовать равнобедренный треугольник с верхним углом 40 ° или ромб со сторонами 4 дюйма и одним углом 66 °. Я часто использую это в своей книге Math Mammoth Geometry 1.

Если все пойдет хорошо, в средней школе (6-8 классы) учащиеся перейдут на третий уровень Ван Хиле (абстрактный / относительный), где они смогут понимать и формировать абстрактные определения, различать необходимые и достаточные условия для концепции, и понять отношения между различными формами .Таким образом, ученики будут подготовлены к формальным доказательствам и дедуктивным рассуждениям в геометрии средней школы.

Эксперименты показали, что это действительно возможно при правильном обучении. Ключ состоит в том, чтобы подчеркнуть геометрические концепции и предоставить учащимся множество практических занятий, таких как рисование фигур и работа с манипуляторами, вместо простого запоминания формул и определений, вычисления площадей, периметров и т. Д. См. Ниже некоторые примеры действий, которые помогут детям и молодежи развивать геометрическое мышление.


Как помочь студентам усвоить единую геометрическую концепцию

  • Покажите учащимся как правильные, так и неправильные примеры геометрической концепции. Покажите концепцию разными способами или представлениями (например, повернутым, отраженным, перекошенным). Попросите учащихся различать правильные и неправильные примеры . Это поможет избежать неправильных представлений.
  • Попросите учащихся сами нарисовать правильные и неправильные примеры . Например, детей 4-го класса можно попросить нарисовать параллельные и непараллельные линии.В 5-м классе попросите учащихся нарисовать параллелограммы и четырехугольники, которые равны , а не параллелограммам.
  • В связи с предыдущим пунктом попросите учащихся дать определение концепции . Это заставляет их задуматься о том, какие свойства в определении необходимы, а какие нет.
  • Позвольте ученикам экспериментировать, исследовать и играть с геометрическими идеями и фигурами. Используйте манипуляторы, рисунки, приложения или программное обеспечение (подробнее о них ниже).
  • Попросите учащихся составить свой собственный блокнот по геометрии, заполненный примерами, непримерами, определениями и другими примечаниями и рисунками.

Компьютеры и интерактивная геометрия

Компьютер или планшет действительно полезны в обучении геометрии, потому что он позволяет динамических и интерактивных манипуляций с фигурами . Учащийся может перемещать, вращать, отражать или растягивать фигуру, а также наблюдать, какие свойства остаются неизменными.

Например, предположим, вы изучаете равнобедренные треугольники в 4-м классе.Вы можете просто использовать текстовый редактор. Например, в MS Word есть панель инструментов для рисования, которая имеет автофигуру для равнобедренного треугольника (у нее также есть одна для прямоугольного треугольника и параллелограмма). Попросите детей нарисовать несколько равнобедренных треугольников и перетащить их, чтобы они становились больше и меньше. Попросите их также повернуть их. Спросите: «Что изменится? Что не изменится? Что останется прежним? Можете ли вы нарисовать эту фигуру на бумаге?»

Существуют также программы и приложения динамической геометрии, специально разработанные для обучения геометрии в интерактивном и исследовательском стиле.Такие программы использовались в исследовательских экспериментах и ​​в школах с хорошими результатами. После того, как вы увидите, что можно сделать с помощью программного обеспечения для динамической геометрии, очень легко влюбиться в него - идея просто gr

.

Понимание геометрии

Понимание геометрии является частью серии Mathematical Reasoning , которую я выбрал для включения в число моих лучших. Понимание геометрии достаточно значительно отличается от остальной серии, чтобы заслужить отдельное рассмотрение.

Серия Mathematical Reasoning (от preK до шестого класса), наряду с некоторыми другими программами элементарной математики, такими как Singapore Math / Primary Mathematics , к концу шестого класса достаточно продвинуты.Вместо того, чтобы подталкивать учеников к алгебре, выбранный здесь вариант - предложить серьезную геометрию ученикам, которые могут учиться в седьмом-девятом классах.

Понимание геометрии можно использовать в младших классах средней школы в качестве одногодичного курса или в течение двух лет, если он дополняется другими видами математики. Его можно использовать как курс средней школы, но он не настолько углублен, как большинство курсов средней школы, и не включает тригонометрию. Тем не менее, в нем преподаются все другие ключевые темы курса геометрии в средней школе, включая доказательства - достаточное покрытие для получения кредита в средней школе.Ключ ответа находится сзади.

Автор признает, что студентам может потребоваться «больше упражнений по каждой теме». Инструктаж подробный, но значительно меньше практических задач, нет проблем с повторением, нет викторин или тестов. Вы можете бесплатно создавать дополнительные рабочие листы на таких сайтах, как http://www.math-aids.com/Geometry/, но эти рабочие листы и большинство из них, которые я смог найти в Интернете бесплатно, подходят только до восьмого класса. Они не дают практики для всех концепций, изложенных в этой книге.Такие книги, как рабочая тетрадь Geometry Practice от Mark Twain Media, могут быть более полезными в качестве дополнений. Ограниченное количество практических задач и отсутствие инструментов оценки - единственные негативные моменты, которые я вижу в этом курсе.

Перед тем, как приступить к работе с Понимание геометрии , учащиеся должны хорошо разбираться в алгебре, чтобы понимать, как писать и работать с алгебраическими уравнениями для прямых. Это основанный на математике подход к геометрии, который используется в других курсах геометрии старшей школы (и в отличие от Key to Geometry , который преподает концепции без математических вычислений.) Студенты используют символический язык и уравнения. Если студенты были должным образом подготовлены к предыдущим курсам, таким как курсы серии Mathematical Reasoning , у них не должно возникнуть проблем. Придя из некоторых других программ, учащимся, возможно, потребуется пройти программу уровня седьмого или восьмого класса, прежде чем приступить к Понимание геометрии . Примеры страниц можно просмотреть на веб-сайте издателя, чтобы вы могли судить, готов ли студент к курсу. (щелкните здесь)

Понимание геометрии иногда использует индуктивные методы, когда учащиеся «открывают» математические концепции через исследования, но также используются прямые инструкции.Студентам предлагается несколько стандартных задач, таких как определение объема цилиндра. Однако во многих задачах учащихся просят объяснить свои рассуждения или описать стратегию решения проблемы. На протяжении всего курса подчеркивается критическое мышление. Кроме того, студенты учатся строить геометрические фигуры с помощью циркуля и линейки - эта стратегия, на мой взгляд, особенно полезна для понимания некоторых концепций геометрии.

Как и остальная часть серии Mathematical Reasoning , этот рабочий текст напечатан в полноцветном виде с множеством иллюстраций.Крупный шрифт и ограниченное количество информации на странице делают этот курс гораздо более управляемым и не пугающим, чем большинство курсов по геометрии.

Я бы порекомендовал его учащимся младших классов, которые хотят научиться геометрии в старших классах и которые позже будут заниматься более интенсивной геометрией. Я также рекомендую его для старшеклассников, которым нужен менее сложный вариант, или для тех, кто может даже использовать его вместе с другим курсом. Это может быть особенно хорошим выбором в качестве дополнения для тех, кто использует классическую серию Saxon по математике в средней школе и хочет изучить больше геометрии в более раннем возрасте.

.

Смотрите также