Как научиться понимать геометрию


Как научиться понимать геометрию?

#1

Зубрежка и заучивание аксиом, теорем и доказательств без понимания изучаемого, по своей сути, абсолютно бесполезное занятие. Долговременного заучивания не бывает, а без понимания изучаемого очень легко через непродолжительное время, забыв вызубренное, остаться вообще у «разбитого корыта». Чтобы этого не случилось, Вам понадобится прочитать и сделать для себя выводы из следующего:

#2

Наибольшие трудности в изучении геометрии возникают у людей гуманитарного склада ума. В силу неумения абстрагироваться, они не могут проникнуть в самую суть изучаемого вопроса, отвлекаясь на частности. Но стоит отметить, что систематическое углубленное вдумчивое изучение геометрии вполне дисциплинирует ум, что, конечно, не взрастит из таких гениев, но на необходимом уровне знаний поддерживать их будет.

#3

Если вы что-то не поняли, начните эту тему изучать заново. В точных науках, если что-то изначально не понято, это может привести к дальнейшему полному непониманию предмета. Если вообще ничего не понятно – это говорит, что вы что-то упустили с самого начала. Поэтому это нужно начинать изучать заново прямо сейчас. Чем раньше разберетесь, тем легче будет жить в дальнейшем. Разбирайтесь до полного понимания вопроса. Если сами не можете дойти до полного понимания темы, обратитесь к учителю. Не затягивайте.

#4

Разбираясь как научиться понимать геометрию, вы заметите, что методы доказательства и решений, на самом деле, почти всегда одинаковы. Просто изначально нужно попытаться понять, как идет ход раскрытия теории, чтобы потом применять его в дальнейшем. Можно отметить, что методов доказательств всего два: логический и от противного. Если наглядно не срабатывает один, то в дело всегда идет второй. Если такие методы не срабатывают, то ни в коем случае не нужно запускать непонятое. Дальше непонимание может только нарастать подобно снежному кому, катящемуся с горы.

#5

Изучение сложных вопросов всегда разбивайте на более простые этапы, а уже из нескольких выясненных частностей всегда можно составить единое целое. В геометрии нет никаких особых привилегированных путей для понимания, существует только один общий путь – регулярные занятия. Важным аспектом того как понимать геометрию, является как можно более наглядное представление любого решения. Всегда старайтесь старательно изображать геометрические фигуры, это приводит к большему развитию пространственного мышления.

#6

Если вы хотя бы только начали подозревать, что не можете чего-то понять, сразу же обращайтесь к преподавателю. Если такой возможности нет, то необходимо нанять репетитора. Сейчас это не составляет особого труда, поскольку этим занимается, в качестве подработки, очень много талантливых математиков. Существуют даже сайты удаленной работы, где общение с репетиторами проводится, благодаря почтовым программам или в прямом общении, при помощи всевозможных мессенджеров или голосового аудио-видео общения. Всегда помните, что геометрия не такая уж непосильная наука. Просто необходимо делать правильные выводы из предыдущих тем для понимания последующих.

Как изучать геометрию | Как выучить

Геометрия - это область математики, которая занимается окружающими нас формами. Геометрия имеет дело с природой этих форм, а также с тем, что они говорят нам о мире. Эти формы относятся ко всему сущему, от биологии до дизайна зданий и других искусственных объектов. Изучение геометрии поможет вам приобрести важные навыки решения проблем и поможет вам в других областях математики, поскольку она связана с различными другими математическими темами.

Щелкните здесь, чтобы приобрести книгу

Изучая геометрию, вашим первым шагом будет научиться понимать ее основы. Вам следует сосредоточиться на областях ниже.

Основные разделы геометрии

• Линии и сегменты линий Эта область охватывает прямые и сегменты, а также пересекающиеся и совпадающие линии. В этой теме также рассматриваются точки и лучи.

• Конгруэнтность Это одна из фундаментальных областей геометрии. Это относится к тому факту, что если вы можете повернуть одну фигуру, чтобы сделать ее идентичной другой, то эти две фигуры будут считаться конгруэнтными.

• Углы Здесь вы узнаете об углах и о том, как они соотносятся друг с другом. Вы также научитесь определять прямой, острый и тупой углы.

• Треугольники и четырехугольники Это поможет вам лучше понять, как треугольники и четырехугольники связаны друг с другом.

• Площадь, объем и периметр К основным областям геометрии относятся формулы для расчета площади, объема и периметра различных форм и твердых тел, включая параллелограммы и треугольники.

• Круги Эта область предназначена для вычисления длины окружности, диаметра и радиуса окружности.

• Четырехугольники Вы научитесь определять и описывать различные типы четырехугольников, включая квадраты, прямоугольники и параллелограммы.

• Рассечения и доказательства Эта тема включает использование свойств фигур для решения геометрических задач и доказательства их решений.

• Теорема Пифагора Теорема Пифагора - одна из основ математики и одно из отличий математики от других

Щелкните здесь, чтобы приобрести книгу

наук.Теорема Пифагора предполагает, что вы начинаете с предположения, а затем делаете выводы из ряда логических шагов. Если вы сделаете правильные предположения и последуете логическим шагам к своему выводу, то ваш результат можно будет считать заслуживающим доверия и его можно будет использовать для подтверждения других результатов. Доказанный результат становится теоремой.

Советы по изучению геометрии

• Работайте над своим геометрическим словарем Вы знаете, что такое луч? Вы знаете, что такое вершина? Это важные концепции геометрии, которые полезны для понимания проблем и поиска их решений.Другие геометрические термины, которые вам следует изучить, включают ромб, трапецию и симметрию.

Правильные инструменты Вам понадобится транспортир, желательно прозрачный. Прозрачные пластиковые транспортиры значительно упрощают считывание и измерение углов. Линейка тоже важна, желательно также четкая. Четкая линейка позволяет удлинить линии, что упрощает их измерение. Убедитесь, что на вашей линейке и транспортире указаны дюймы и сантиметры, поскольку разные уравнения могут иметь разные единицы измерения.Вам понадобится инструмент, который будет полезен обоим. Компас станет вашим следующим наиболее важным инструментом; компасы позволяют делать симметричные изогнутые линии. Хороший карандаш важен для рисования тонких линий. Лучший вариант - карандаш для технического рисования с грифелем 0,05 мм.

Научитесь определять формы и углы Изучите свойства плоских фигур, таких как круги и прямоугольники, а также свойства твердых форм, таких как цилиндры и сферы.

• Научитесь определять треугольники по их углам Например, угол, имеющий один угол в 90 градусов, является прямым.Также следует научиться определять острые и тупые углы.

Научитесь определять треугольники по длинам сторон У равностороннего треугольника стороны одинаковой длины. Чем отличается равнобедренный треугольник? Что такое треугольник Скален? Изучите различия, чтобы классифицировать разные типы треугольников.

• Область понимания Это измерение того, сколько места что-то занимает в двух измерениях. Вы можете сравнить размер своего заднего двора с меньшим или большим задним двором соседа, чтобы понять территорию.Как вы измеряете пространство, которое занимает объект? Один из способов сделать это - использовать единичные квадраты. Определите количество площади; квадрат размером в 1 дюйм - хороший пример. Затем вы можете увидеть, сколько квадратов в 1 дюйм помещается в пространство, которое вы хотите измерить. Если уместится пять квадратов (без перекрытия), то можно сказать, что объект занимает пять квадратных дюймов.

Щелкните здесь, чтобы приобрести книгу

Общие сведения о периметре Термин относится к границе фигуры. Когда вы вычисляете периметр в геометрии, вы определяете длину границы фигуры.Это делается путем сложения длин разных сторон. Сумма сторон равна периметру фигуры.

Понимание симметрии Это одна из фундаментальных областей математики. Симметрия может существовать в алгебраических вычислениях и в геометрических конструкциях. Важно, чтобы вы исследовали геометрическую симметрию, создавая рисунки и изучая их свойства.

Понять сходство Хотя значения симметрии и подобия близки в стандартном английском языке, эти слова несут разное значение в геометрии.Вам следует поработать над пониманием определения подобия и того, как оно применяется к треугольникам и тригонометрии треугольников. • Запоминание формул Вы захотите запомнить формулы, но более важно помнить, как прийти к формуле. Например, понимание формулы для определения площади прямоугольника и понимание взаимосвязи между прямоугольниками и треугольниками может помочь вам вычислить площадь треугольника. Изучая основные формулы, вы можете упростить изучение сложной геометрии.

Джошуа Л. Дэвис III - учитель математики, репетитор по математике и наставник с 18-летним опытом преподавания в государственных школах и 38-летним стажем репетиторства. Поскольку я постоянно расту, изучая и чувствуя, как мои ученики учатся и обрабатывают информацию, я развил исключительную способность преподавать и объяснять математику понятным для всех способом. Я люблю преподавать математику и общаться с другими людьми. Что мне нравится больше всего, так это то, что я каждый день учусь новым методам обучения у всех своих учеников.

.

Как изучать математику: геометрия

Большинство из нас начали наши первые элементарные уроки геометрии, когда мы складывали наши первые строительные блоки или научились вставлять треугольник в отверстие в форме треугольника.

К этому моменту вы узнали, что геометрия - это нечто большее. Вот почему мы собрали ниже 11 советов по обучению, которые помогут вам выиграть урок геометрии. Просто думайте об этом как о строительных блоках для успеха геометрии.

1. Схема успеха.

Геометрия - это изучение отношений между точками, линиями, поверхностями, углами и формами. Поэтому, естественно, рисование диаграмм просто необходимо!

Связи, свойства и теоремы будет легче понять, если у вас есть диаграмма! И поверьте нам, не полагайтесь в этом на свои умственные математические способности.

Как говорится, картинка стоит тысячи слов. Только обязательно обратите внимание на пропорции линий и углов. Диаграммы помогают только в том случае, если они точно помечены…

Чтобы начать диаграмму, отметьте все, что вам дано в задаче.Если у вас есть параллельные линии, отметьте их как таковые! Если у вас равнобедренный треугольник, убедитесь, что у вас две равные стороны! Если вы знаете длину ребер или градусы углов, запишите их! Таким образом, когда вы обдумываете свою диаграмму, у вас будет вся необходимая информация.

Вы бы не хотели собирать головоломку из 100 частей, в которой не хватает нескольких частей. Точно так же, как вы не хотите решать геометрическую задачу без всей указанной на диаграмме информации.

2. Знайте свои свойства и теоремы.

Свойства: прямых, параллелограммов и углов.

Теоремы: прямые, треугольники и углы.

Это ваши самые полезные инструменты для рисования диаграмм, установления взаимосвязей и разработки доказательств! Ваша жизнь станет намного проще, если вы сможете вспомнить свойства и теоремы для различных форм, углов и линий.

Мы рекомендуем вам делать карточки со всеми свойствами и теоремами, которые вам необходимо знать. Тогда просматривайте их каждое утро и каждую ночь! Таким образом, вам не придется ждать до вечера перед тестом, чтобы запомнить (и понять ) их.

Добро пожаловать. (Это за то спасибо, что вы нам передадите.)

Если вы хотите получить фору… возможно, вот некоторые из наиболее важных теорем для треугольников:

Совет. Помните, что слово «конгруэнтный» означает, что треугольники имеют одинаковый размер и форму.

Сторона-сторона-сторона (SSS): Если все три стороны двух треугольников совпадают (другими словами, если все три стороны одного треугольника имеют такую ​​же длину, как и три стороны другого треугольника), тогда два треугольника конгруэнтны.

Совет: конгруэнтные линии часто обозначаются короткими линиями, как на рисунках ниже. Сторона с одной линией соответствует стороне с одной линией, сторона с двумя линиями соответствует стороне с двумя линиями и т. Д.

Рисунок 1: Пара треугольников, конгруэнтных по SSS

Сторона-угол-сторона (SAS): Если два треугольника имеют две стороны, совпадающие, и углы между двумя сторонами также совпадают, то два треугольника совпадают.

Совет: конгруэнтные углы отмечаются одинаковым количеством дуг. На рисунке ниже оба конгруэнтных угла имеют одну арку.

Рисунок 2: Пара треугольников, совпадающих по SAS

Угол-сторона-угол (ASA): Если два треугольника имеют конгруэнтную сторону, которая касается двух конгруэнтных углов, тогда треугольники конгруэнтны.

Рисунок 3: Пара треугольников, совпадающих по ASA

Hypotenuse-Leg (HL): Это специальная теорема треугольника, которая может быть использована для прямоугольных треугольников только .В нем говорится, что если у вас есть два прямоугольных треугольника, и вы знаете, что их гипотенузы совпадают, и одна пара их сторон также конгруэнтна, то треугольники конгруэнтны.

Подсказка: вы знаете, что у вас есть прямоугольный треугольник, если есть угол с прямоугольником в правом углу, как на рисунке ниже. Помните, что гипотенуза - это сторона прямоугольного треугольника, противоположная прямому углу.

Рисунок 4: Пара треугольников, конгруэнтных по HL

Угол-угол-угол (AAA): Треугольники с тремя равными углами похожи на , но не обязательно совпадают.

Совет. Помните, что «похожий» означает ту же форму, но не обязательно одинаковый размер.


Рисунок 5: Пример аналогичных треугольников по AAA

3. Понять постулаты Евклида.

Евклида часто называют «отцом геометрии». Геометрия была разработана на основе его пяти постулатов. Например, если свойства - это цементный фундамент, а теоремы - это кирпичи, то пять постулатов Евклида составляют основу, на которую заливают цемент и кладут кирпичи.Без них не было бы башни геометрии.

Изюминка?

Знать и понимать их. Они помогут вам понять многие концепции, которые вы встретите на протяжении всего предмета!

Для начала вот Святой Грааль геометрии, пять постулатов Евклида и краткое объяснение каждого из них:

  1. Можно провести отрезок прямой, соединяющий любые две точки (две точки определяют линию).
  2. Любой отрезок прямой может быть продолжен в любом направлении до бесконечности по прямой (прямая линия имеет бесконечную меру).
  3. Окружность может быть нарисована вокруг любого линейного сегмента с одним концом линейного сегмента, служащим центральной точкой, и длиной линейного сегмента, служащей радиусом круга (любой линейный сегмент можно вращать, чтобы создать круг и служить в качестве радиус круга).
  4. Все прямые углы совпадают (все они составляют 90 градусов).
  5. Если нарисованы две линии, которые пересекают третью таким образом, что сумма внутренних углов на одной стороне меньше двух прямых углов, то две линии неизбежно должны пересекать друг друга на этой стороне, если они простираются достаточно далеко.Этот постулат известен как «постулат параллельности».

Рисунок 6: Пятый постулат Евклида

4. Изучите язык математики.

Математика - это еще один язык. Существуют различные символы, обозначающие определение, свойство или даже часто используемую фразу (потому что мы, математики, не любим писать слова). Как и любой другой язык, который вы изучаете, знание символов необходимо для понимания.

Мы все были там, поэтому знаем, насколько это может быть ошеломляющим, когда вы впервые видите целую математическую задачу, написанную символами.Но становится легче!

Уметь знать, что означает каждый символ, и научиться сразу их распознавать. Используйте карточки, запишите их сто раз или заведите словарь - любой способ обучения - ваш лучший выбор!

Вот несколько наиболее распространенных символов, которые вы будете использовать в геометрии:

5. Знайте свои углы.

Почему всегда расстраивался тупой треугольник? Потому что это никогда не было правильным.

Все шутки в сторону, знай свой ракурс:

  • тупые углы более 90 °
  • прямых углов ровно 90 °
  • острые углы менее 90 °

Неплохо.Три угла зрения, которые нужно знать и любить, - это не слишком много, чтобы просить. Тем более, что они помогут вам понять свойства, настроить диаграммы и разработать важные отношения между формами, линиями и даже другими углами.

Наряду с этими определениями вы также должны знать свойства углов. Мы говорили об этом раньше, но это так важно. Например, все три угла треугольника должны составлять 180 °. Прямоугольный треугольник особого типа, называемый 45-45-90 треугольником , имеет один угол 90 °, а два других - 45 °.(Вы можете догадаться, откуда оно взялось?) Список продолжается.

Так же, как когда вы делаете селфи, запомните свой ракурс.

6. Знайте свои треугольники.

Говорят, что хорошего бывает тройка… по крайней мере, когда вы занимаетесь геометрией.

В данном случае это относится к разностороннему, равнобедренному и равностороннему - трем типам треугольников. Каждый по-своему особенный.

  • Разносторонний треугольник не имеет одинаковых сторон и одинаковых углов.
  • Равнобедренный треугольник имеет (как минимум) две одинаковые стороны и два одинаковых угла.
  • Равносторонний треугольник имеет все три стороны и все три угла идентичны.

Как вы понимаете, у каждого есть свой набор свойств, постулатов и теорем! Вот пара, чтобы согреться:

  • Равносторонний треугольник технически также является равнобедренным треугольником , но не все равнобедренные треугольники равносторонние.

Рисунок 7: Равнобедренный и равносторонний треугольники

  • Самая длинная сторона разностороннего треугольника противоположна наибольшему углу. Точно так же самая короткая сторона разностороннего треугольника противоположна наименьшему углу.

Рисунок 8: Разносторонний треугольник

7. Определите, чего вы хотите и что вам дают.

Это поможет вам составить план атаки! В геометрии вы разработаете доказательства.Так что наличие отправной точки (что вам дано) и конечной точки (того, что вы хотите знать) будет огромным подспорьем в этом процессе.

Думайте о математических задачах как о Google Maps. У вас есть начальный и конечный пункты назначения. Ваша цель - проложить маршрут между ними. Без информации о начальном пункте назначения, например названия улицы, вы не сможете начать свой маршрут. То же самое и с конечным пунктом назначения.

Иногда самые мелкие детали могут быть ключом к маршруту.Поэтому обязательно прочтите задачу внимательно и запишите всего, , что вам дали, и все, , что хотите.

8. Теперь заполните остальные.

После того, как вы все записали и нарисовали схему, вы можете начать процесс проверки.

Ваш первый шаг - заполнить остальную часть того, что вы можете на диаграмме, будь то использование свойств углов, форм и отрезков линий или использование отношений из теорем.Все, что вы можете назвать , факт , используя имеющуюся у вас информацию:

Написать. Это. Вниз.

Здесь нужно быть осторожным. Убедитесь, что вы используете только предоставленную информацию, а не делаете предположения.

Теперь, имея всю эту информацию, начните свой маршрут. Небольшой совет: на каждом этапе доказательства указывайте причину, по которой оно истинно. Это гарантирует, что вы избегаете предположений.

Не расстраивайтесь, когда начинаете корректуру впервые! Математические доказательства - непростая задача.Если вы застряли, вернитесь на шаг назад и посмотрите, можно ли применить другое свойство или теорему! Это загадка. Вам просто нужно собрать все вместе.

Имея в виду эти советы, давайте теперь рассмотрим некоторые типичные ошибки, которые делают студенты, чтобы вы могли сами следить за ними.

3 распространенных ошибки, совершаемых учащимися-геометрами

1. Аналогично не соответствует .

Это два слова, которые вы часто услышите.Вы же не хотите их запутать!

Две формы похожи на , если они имеют одинаковые соответствующие углы и соответствующие стороны пропорциональны друг другу. Другими словами, они одной формы, но не обязательно одного размера.

Две формы равны конгруэнтным , если они идентичны. Под «идентичными» мы подразумеваем такие же, как они есть. Одинаковый размер, одинаковые углы, одинаковая длина сторон. Все одинаково и по размеру, и по форме.

Как видите, это две разные концепции! Так что обращайтесь с ними как с ними.

2. Не путайте дополнительные и дополнительные углы.

  • Дополнительные углы в сумме составляют 90 градусов.
  • Дополнительные углы в сумме составляют 180 градусов.

Также очень полезно запомнить :

  • Когда линия проходит через пару параллельных линий, она называется поперечной. Здесь синие линии параллельны, а красная - поперечна.

Рисунок 9: Параллельные линии (синий) и поперечный (красный)

  • Вертикальные углы всегда имеют одинаковую величину. Совет. Для вертикальных углов не нужны параллельные линии.

Рисунок 10: Вертикальные углы

  • Альтернативные пары внутренних углов всегда имеют одинаковую длину. Совет: вам нужно указать параллельные линии и трансверсаль для альтернативных пар внутренних углов.

Рис.11: Альтернативные пары внутренних углов

  • Альтернативные пары внешних углов всегда имеют одинаковую длину. Совет: для пар внешних углов необходимо указать параллельные линии и трансверсаль.

Рисунок 12: Альтернативные пары внешних углов

Эти факты помогут вам разгадать головоломку на пути к решению.

3. Не думайте, что информация, которую вам не предоставили.

Если это прямо не указано в задаче или как прямой результат теорем / свойств, которые вы можете применить… вы не можете предполагать это!

Вы должны быть очень осторожны с этим. Как упоминалось ранее, запишите именно то, что вам дано и что именно вам нужно. Так вы сможете избежать предположений. Потому что все мы знаем, если предположить…

Итак, теперь вы можете начать свое путешествие в геометрию. Не забывайте тщательно рисовать схемы и проявляйте терпение! Это не просто математика; это искусство.

.

Введение в геометрию | SkillsYouNeed

Когда вы начинаете изучать геометрию, важно знать и понимать некоторые основные концепции.

Эта страница поможет вам понять концепцию размеров в геометрии и понять, работаете ли вы в одном, двух или трех измерениях.

Он также объясняет некоторые основные термины и указывает вам на другие страницы для получения дополнительной информации.

На этой странице представлены точки, линии и плоскости.

На других страницах этой серии рассказывается об углах и формах, включая многоугольники, круги и другие изогнутые формы, а также трехмерные формы.

Что такое геометрия?


Геометрия , н. та часть математики, которая рассматривает свойства точек, линий, поверхностей и твердых тел…


Chambers English Dictionary, издание 1989 г.

Геометрия происходит от греческого слова «измерение земли» и представляет собой визуальное изучение форм, размеров и узоров, а также того, как они сочетаются друг с другом в пространстве.Вы обнаружите, что наши страницы геометрии содержат множество диаграмм, которые помогут вам понять предмет.

Когда вы столкнулись с проблемой, связанной с геометрией, может быть очень полезно нарисовать диаграмму самостоятельно.


Работа в разных размерах

Нет, не континуум пространства-времени! Мы говорим о фигурах в одном, двух и трех измерениях.

То есть объекты, имеющие длину (одно измерение), длину и ширину (два измерения) и длину, ширину и глубину или высоту (три измерения).


очков: особый случай: без размеров

точка - это отдельная точка в пространстве. Он часто представлен точкой на странице, но на самом деле не имеет реального размера или формы.

Вы не можете описать точку с точки зрения длины, ширины или высоты, поэтому она является безразмерной . Однако точка может быть описана координатами. Координаты не определяют ничего о точке, кроме ее положения в пространстве по отношению к контрольной точке с известными координатами.Вы встретите координаты точек во многих приложениях, например, когда вы рисуете графики или читаете карты.

Практически все в геометрии начинается с точки, будь то линия или сложная трехмерная форма.

линий: одно измерение

Линия - это кратчайшее расстояние между двумя точками. Он имеет длину, но не ширину, что делает его одномерным.

Везде, где встречаются или пересекаются две или более прямых, есть точка, и считается, что эти две линии имеют общую точку:



Сегменты и лучи

Есть два типа линий: те, у которых есть определенная начальная и конечная точки, и те, которые продолжаются вечно.

Линии, которые перемещаются между двумя точками, называются отрезками линии . Они начинаются с определенной точки и переходят к другой, конечной точке. Как и следовало ожидать, они нарисованы как линия между двумя точками.

Второй тип линий называется луч , и они продолжаются вечно. Их часто проводят в виде линии, начинающейся от точки со стрелкой на другом конце:



Параллельные и перпендикулярные линии

Есть два типа линий, которые особенно интересны и / или полезны в математике. Параллельные линии никогда не пересекаются и не пересекаются. Они просто идут вечно бок о бок, как железнодорожные пути. Условием показа параллельности линий на диаграмме является добавление «перьев», которые выглядят как наконечники стрелок.

Перпендикулярные линии пересекаются под прямым углом, 90 °:


Плоскости и двумерные формы

Теперь, когда мы разобрались с одним измерением, пора перейти к двум.

Плоскость - это плоская поверхность, также известная как двумерная.Технически он неограничен, что означает, что он продолжается вечно в любом заданном направлении, и поэтому его невозможно нарисовать на странице.

Одним из ключевых элементов геометрии является количество измерений, с которыми вы работаете в любой момент времени. Если вы работаете в одной плоскости, то это либо одна (длина), либо две (длина и ширина). При наличии более чем одной плоскости он должен быть трехмерным, потому что высота / глубина также учитываются.

Двумерные фигуры включают многоугольники, такие как квадраты, прямоугольники и треугольники, у которых есть прямые линии и точки в каждом углу.


Больше о полигонах можно узнать на нашей странице Полигоны . Другие двумерные формы включают круги и любую другую форму, которая включает кривую. Вы можете узнать больше об этом на нашей странице Curved Shapes .

Три измерения: многогранники и изогнутые формы

Наконец, есть также трехмерных фигур , таких как кубы, сферы, пирамиды и цилиндры.

Чтобы узнать больше об этом, посетите нашу страницу Трехмерные фигуры .


Знаки, символы и терминология

Форма, показанная здесь, представляет собой неправильный пятиугольник, пятиугольный многоугольник с разными внутренними углами и длинами линий (подробнее об этих формах см. На нашей странице о Многоугольники ).

Градусы ° - это мера вращения, определяющая величину угла между двумя сторонами.

Углы обычно обозначаются в геометрии с использованием сегмента окружности (дуги), если только они не являются прямым углом, когда они «возведены в квадрат».В приведенном здесь примере угловые метки обозначены зеленым цветом. См. Нашу страницу Уголки для получения дополнительной информации.

Отметки (показаны оранжевым цветом) обозначают стороны формы, которые имеют одинаковую длину (стороны формы, совпадающие с или совпадающие). Одиночные линии показывают, что две вертикальные линии имеют одинаковую длину, а двойные линии показывают, что две диагональные линии имеют одинаковую длину. Нижняя горизонтальная линия в этом примере отличается по длине от остальных 4 линий и поэтому не отмечена.Отметки также могут называться « штриховок ».

Вершина - это точка пересечения линий (линии также называются лучами или ребрами). Множественное число вершин - это вершины. В этом примере пять вершин помечены как A, B, C, D и E. Называть вершины буквами - обычное дело в геометрии.

В замкнутой форме, такой как в нашем примере, математическое соглашение гласит, что буквы всегда должны располагаться в порядке по часовой стрелке или против часовой стрелки.Нашу форму можно описать как «ABCDE», но было бы неправильно обозначать вершины так, чтобы форма была, например, «ADBEC». Это может показаться несущественным, но в некоторых сложных ситуациях важно избегать путаницы.

Символ угла ‘’ используется в качестве сокращенного символа в геометрии при описании угла. Выражение ∠ABC является сокращением для описания угла между точками A и C в точке B. Средняя буква в таких выражениях всегда является вершиной угла, который вы описываете - порядок сторон не важен. ∠ABC совпадает с ∠CBA, , и оба описывают вершину B в этом примере.

Если вы хотите записать измеренный угол в точке B в сокращенном виде, вы должны использовать:

m∠ABC = 128 ° (m просто означает «мера»)

или

м∠CBA = 128 °

В нашем примере мы также можем сказать:

м∠EAB = 90 °

м∠BCD = 104 °


Почему эти концепции имеют значение?

Точки, линии и плоскости лежат в основе почти всех других геометрических концепций.Углы образуются между двумя линиями, начинающимися от общей точки. Фигуры, двухмерные или трехмерные, состоят из линий, соединяющих точки. Плоскости важны, потому что двумерные формы имеют только одну плоскость; у трехмерных их два и более.

Другими словами, вам действительно нужно понять идеи на этой странице, прежде чем вы сможете перейти к любой другой области геометрии.

.

Как помочь ученикам понять геометрию средней школы?

Вы здесь: Главная → Статьи → Помощь по геометрии в старших классах

Если вы прочитали первую часть этой статьи, то уже заметили, что лучшие меры по оказанию помощи учащимся в изучении геометрии в старших классах принимаются еще до старшей школы. Нам необходимо улучшить преподавание геометрии в начальной и средней школе, чтобы уровень Ван Хиле учащихся был доведен как минимум до уровня абстрактного / относительного. Некоторые моменты, которые следует учитывать:

  • Нам нужно включить больше обоснований, неформальных доказательств и вопросов «почему» в преподавание математики в начальной и средней школе.
  • В общем, учащимся нужно думать, рассуждать, анализировать и использовать свой мозг в различных школьных предметах (не только по математике).

В данной статье мы сосредоточимся только на первом пункте.


Понимание концепций геометрии / Уровни Ван Хиле

Можно ожидать, что дети до первого класса находятся на первом уровне ван Хиле - визуальном. Это означает, что дети узнают геометрические фигуры по внешнему виду, а не по их свойствам.На этом уровне дети в основном изучают названия фигур, таких как квадрат, треугольник, прямоугольник и круг.

В начальной школе (2–5 классы) дети должны исследовать геометрические фигуры и играть с ними, чтобы достичь второго уровня Ван Хиле (описательного / аналитического). Именно тогда они могут определять свойства фигур и распознавать их по их свойствам, а не полагаться на внешний вид .

Например, учащиеся должны понять, что прямоугольник имеет четыре прямых угла, и даже если он повернут на своем «углу», он все равно остается прямоугольником.Дети должны узнать о параллельных линиях и понять, что делает фигуру параллелограммом. Студенты должны разделять фигуры на разные формы (например, делить квадрат на два прямоугольника), комбинировать формы для образования новых и, конечно, давать названия новым формам.

Рисование также помогает . Научите студентов пользоваться линейкой, циркулем и протектором и дайте им много практики, чтобы рисовать квадраты, прямоугольники, параллелограммы и круги с помощью соответствующих инструментов и с максимальной точностью.Например, попросите учащихся нарисовать равнобедренный треугольник с верхним углом 40 ° или ромб со сторонами 4 дюйма и одним углом 66 °. Я часто использую это в своей книге Math Mammoth Geometry 1.

Если все пойдет хорошо, в средней школе (6-8 классы) учащиеся перейдут на третий уровень Ван Хиле (абстрактный / относительный), где они смогут понимать и формировать абстрактные определения, различать необходимые и достаточные условия для концепции, и понять отношения между различными формами .Таким образом, ученики будут подготовлены к формальным доказательствам и дедуктивным рассуждениям в геометрии средней школы.

Эксперименты показали, что это действительно возможно при правильном обучении. Ключ состоит в том, чтобы подчеркнуть геометрические концепции и предоставить учащимся множество практических занятий, таких как рисование фигур и работа с манипуляторами, вместо простого запоминания формул и определений и вычисления площадей, периметров и т. Д. См. Ниже некоторые примеры действий, которые помогут детям и молодежи развивать геометрическое мышление.


Как помочь студентам усвоить единую геометрическую концепцию

  • Покажите учащимся как правильные, так и неправильные примеры геометрической концепции. Покажите концепцию разными способами или представлениями (например, повернутым, отраженным, перекошенным). Попросите учащихся различать правильные и неправильные примеры . Это поможет избежать неправильных представлений.
  • Попросите учащихся сами нарисовать правильные и неправильные примеры . Например, детей 4-го класса можно попросить нарисовать параллельные и непараллельные линии.В 5-м классе попросите учащихся нарисовать параллелограммы и четырехугольники, которые равны , а не параллелограммам.
  • В связи с предыдущим пунктом попросите учащихся дать определение концепции . Это заставляет их задуматься о том, какие свойства в определении необходимы, а какие нет.
  • Позвольте ученикам экспериментировать, исследовать и играть с геометрическими идеями и фигурами. Используйте манипуляторы, рисунки, приложения или программное обеспечение (подробнее о них ниже).
  • Попросите учащихся составить свой собственный блокнот по геометрии, заполненный примерами, непримерами, определениями и другими примечаниями и рисунками.

Компьютеры и интерактивная геометрия

Компьютер или планшет действительно полезны в обучении геометрии, потому что он позволяет динамических и интерактивных манипуляций с фигурами . Учащийся может перемещать, вращать, отражать или растягивать фигуру, а также наблюдать, какие свойства остаются неизменными.

Например, предположим, вы изучаете равнобедренные треугольники в 4-м классе.Вы можете просто использовать текстовый редактор. Например, в MS Word есть панель инструментов для рисования, которая имеет автофигуру для равнобедренного треугольника (у нее также есть одна для прямоугольного треугольника и параллелограмма). Попросите детей нарисовать несколько равнобедренных треугольников и перетащить их, чтобы они становились больше и меньше. Попросите их также повернуть их. Спросите: «Что изменится? Что не изменится? Что останется прежним? Можете ли вы нарисовать эту фигуру на бумаге?»

Существуют также программы и приложения динамической геометрии, специально разработанные для обучения геометрии в интерактивном и исследовательском стиле.Такие программы использовались в исследовательских экспериментах и ​​в школах с хорошими результатами. После того, как вы увидите, что можно сделать с помощью программного обеспечения для динамической геометрии, очень легко влюбиться в него -

.

Смотрите также