Как научиться применять теоремы по геометрии


Как решать задачи по геометрии. Часть 1

Геометрическая логика при решении задач

Геометрия… Страшное слово для бесчисленного множества учеников. Они знают свойства фигур и выучили определения и теоремы, но задачи по геометрии все равно остаются какой-то китайской грамотой.

Это про тебя? Тогда ты попал туда, куда нужно!

Проблема подавляющего большинства учеников в том, что они не умеют обдумывать задачу по геометрии. Их этому не научили (ну, или они не захотели научиться, когда была возможность). Именно в этой статье, я объясню саму технологию обдумывания и, в конечном счете, нахождения решения ПРАКТИЧЕСКИ ЛЮБОЙ задачи по геометрии.

Сразу оговорюсь - без знания теории в геометрии никак. В смысле, вообще никак, от слова «совсем». Чтоб тебе было полегче при чтении этой статьи, я буду внутри решений задач в скобках курсивом указывать используемые свойства и теоремы. Но помни: если вдруг в знании теории у тебя пробел – закрытие его за тобой! Бери учебник и читай. Причем главные вещи – заучивай (или понимай). Знать теорию – обязательно!

Ладно, к делу.

Ты играл когда-нибудь в квесты? Неважно в реальной жизни или в компьютере. Во всех квестах принцип один – у тебя есть что-то (вещи, знания, навыки) и есть цель (раскрыть какую-нибудь тайну, найти некий предмет, «спасти принцессу» и т.д.). При этом путь к цели – неизвестен. И зачем нужны эти самые имеющиеся у тебя «вещи, знания, навыки» – тоже непонятно. Что делать? Как достичь цели?

Известно как: использовать то, что есть, и искать, куда это применить, чтоб продвинуться к цели. То есть, делать шаги от своего текущего местонахождения – к цели. При этом понятно, что некоторые шаги будут вести нас не туда, куда надо, а совсем даже в тупик. А иногда мы будем находить вещи или информацию, вроде бы напрямую к цели не ведущие, но как выяснится в дальнейшем – необходимую.

Более того, порой можно логически двигаться и наоборот – от цели к твоей текущей позиции. Например, если нужно «спасти принцессу из замка», то понятно, что, скорее всего, надо будет как-то попасть в замок. А для этого надо оказаться на острове, где этот замок стоит. Как попасть? Может быть на лодке. Или найти телепорт. Или использовать магию. Но на остров – надо. Начинаем искать пути на остров. Это уже логические шаги от цели к текущей позиции.

К чему весь этот разговор? Решение задачи по геометрии это точно такой же «квест», только математический . Вдумайся: у нас всегда есть некоторые исходные данные и есть то, что нужно найти (или доказать – разницы на самом деле практически нет). И наша задача – построить логическую цепочку от исходных данных к цели. Строительным материалом при этом у нас будут данные (исходные и полученные при рассуждениях), а также теоремы и свойства.

Ладно, давай уже конкретный пример разберем.

Задача. В треугольнике \(ABC\) из точки \(B\) проведена высота \(BH\). Найти длину отрезка \(AH\), если известно, что сторона \(AC\; =\; 14\) см и угол \(A\) равен углу \(C\).

Так. С чего начинается решение геометрической задачи? Ну, а с чего начинается решение квеста? Правильно, осматриваемся по сторонам, изучаем, что у нас есть и куда нас жизнь закинула.

В геометрии это означает:

  1. построить чертежа выделить из условия задачи исходные данные, то есть, выяснить, что нам дано.
  2. выделить из условия задачи исходные данные, то есть, выяснить, что нам дано.

Хорошо. Значит, текущая ситуация у нас такова:


Давайте потихоньку развеивать туман. Нам известно, что углы \(А\) и \(С\) равны, а это значит, что треугольник \(АВС\) – равнобедренный с основанием АС (теория – «признак равнобедренного треугольника: равенство углов при одной из сторон. Она и является основанием»). Это новая информация, новые данные, изначально неизвестные. Делаем шаг.


Отлично. Теперь смотрим, что у нас есть еще? Еще у нас есть информация, что \(BH\) – высота. А раз треугольник \(ABC\) – равнобедренный, то значит \(BH\) еще и медиана (теорема о высоте в равнобедренном треугольнике: высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника является медианой и биссектрисой). То есть, мы, используя новые, полученные на предыдущем шаге данные, а также исходные данные и знание теории, делаем еще один шаг и опять получаем новую информацию.


А что мы знаем про медиану? Она делит противоположную сторону на две равные части (определение медианы: отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны). Но тогда получается, что точка \(H\) делит сторону \(AC\) пополам. То есть \(AH = HC\).

Стоп. Так у нас же есть длина стороны \(AC\)! И если мы знаем, что точка \(H\) делит сторону \(AC\) пополам, значит, \(AH\) равен половине \(AC\)! Таким образом, получаем, что \(AH = AC/2 = 14/2=7\) см.


Готово. Ответ получен.

Естественно, такие конструкции с «пятном тумана» рисовать каждый раз не нужно, эта схема показывает логическую цепочку решения у нас в голове. А записывается примерно так:

Угловые свойства, постулаты и теоремы

Для изучения геометрии логически важно понимать ключевые математические свойства и уметь применять полезные постулаты и теоремы. Постулат - это утверждение, истинность которого не была доказана, но считается верной на основании для математических рассуждений. С другой стороны, теоремы являются утверждениями, которые были доказаны с использованием других теорем или утверждений.Пока некоторые постулаты и теоремы были введены в предыдущих разделах, другие новы в нашем изучении геометрии. Мы применим эти свойства, постулаты и теоремы, которые помогают проводить наши математические доказательства очень логичным и разумным образом.

Прежде чем мы начнем, мы должны ввести понятие конгруэнтности. Углы конгруэнтные если их меры в градусах равны. Примечание : «конгруэнтно» не означает «равный». Хотя они кажутся очень похожими, конгруэнтные углы не обязательно должны указывать в том же направлении. Единственный способ получить равные углы - сложить два угла. равной меры друг над другом.

Недвижимость

Мы будем использовать следующие свойства, чтобы помочь нам рассуждать через несколько геометрических доказательства.

Рефлексивное свойство

Количество равно самому себе.

Симметричное свойство

Если A = B , то B = A .

Переходное свойство

Если A = B и B = C , то A = C .

Дополнительное свойство равенства

Если A = B , то A + C = B + C .

Угловые постулаты

Постулат сложения углов

Если точка лежит внутри угла, этот угол представляет собой сумму двух меньших углы с ножками, проходящими через данную точку.

Рассмотрим рисунок ниже, на котором точка T находится внутри ? QRS . Согласно этому постулату, мы имеем ? QRS =? QRT +? TRS . Мы действительно применили этот постулат, когда практиковались в поиске дополнений и дополнения углов в предыдущем разделе.

Постулат соответствующих углов

Если трансверсаль пересекает две параллельных прямых, пары соответствующих углы совпадают.

Converse также верно : Если трансверсаль пересекает две прямые и соответствующие если углы совпадают, то прямые параллельны.

На рисунке выше показаны четыре пары соответствующих углов.

Постулат параллели

Для данной линии и точки не на этой линии существует уникальная линия, проходящая через точка параллельна данной линии.

Постулат параллельности - это то, что отличает евклидову геометрию от неевклидовой геометрии.

Есть бесконечное количество линий, которые проходят через точку E , но только красная линия проходит параллельно линии CD . Любая другая линия до E будет в итоге пересечь линию CD .

Угловые теоремы

Теорема

об альтернативных внешних углах

Если трансверсаль пересекает две параллельных прямых, то альтернативная внешняя углы совпадают.

Converse также верно : Если трансверсаль пересекает две прямые и альтернативную внешние углы равны, тогда прямые параллельны.

Альтернативные внешние углы имеют одинаковые градусы, потому что линии параллельно друг другу.

Теорема

об альтернативных внутренних углах

Если трансверсаль пересекает две параллельных прямых, то альтернативный внутренний углы совпадают.

Converse также верно : Если трансверсаль пересекает две прямые и альтернативную внутренние углы совпадают, тогда прямые параллельны.

Альтернативные внутренние углы имеют одинаковые градусы, потому что линии параллельно друг другу.

Теорема о конгруэнтных дополнениях

Если два угла являются дополнениями одного и того же угла (или равных углов), то два угла конгруэнтны.

Теорема о конгруэнтных дополнениях

Если два угла являются дополнениями одного и того же угла (или равных углов), то два угла конгруэнтны.

Теорема о прямых углах

Все прямые углы совпадают.

Теорема

об односторонних внутренних углах

Если трансверсаль пересекает две параллельные линии , то внутренние углы с той же стороны поперечины дополнительные.

Converse также верно : Если трансверсаль пересекает две линии и внутреннюю часть углы на одной стороне трансверсали являются дополнительными, тогда линии параллельны друг другу.

Сумма градусов внутренних углов одной и той же стороны составляет 180 °.

Теорема

о вертикальных углах

Если два угла - это вертикальные углы, то они имеют равные меры.

Вертикальные углы имеют одинаковые градусы. Есть две пары вертикальных углов.

Упражнения

(1) Дано: м? DGH = 131

Найдите: m? GHK

Во-первых, мы должны полагаться на информацию, которую нам дают, чтобы начать наше доказательство.В этом В упражнении отметим, что размер ? DGH равен 131 ° .

Из представленной иллюстрации мы также видим, что строки DJ и EK параллельны друг другу. Следовательно, мы можем использовать некоторые угловые теоремы выше, чтобы найти меру ? GHK .

Мы понимаем, что существует связь между ? DGH и ? EHI : это соответствующие углы.Таким образом, мы можем использовать постулат соответствующих углов чтобы определить, что ? DGH ?? EHI .

Напротив ? EHI находится ? GHK . Поскольку они вертикальных углов, мы можем использовать теорему о вертикальных углах , чтобы увидеть, что ? EHI ?? GHK .

Теперь, по транзитивности , мы имеем ? DGH ?? GHK .

Конгруэнтные углы имеют равные градусы, поэтому размер ? DGH равен размеру ? GHK .

Наконец, мы используем замену , чтобы сделать вывод, что мера ? GHK это 131 ° . Этот аргумент организован в виде доказательства в две колонки ниже.

(2) Дано: m? 1 = m? 3

Prove: м? PTR = m? STQ

Начнем наше доказательство с того, что меры ? 1 и ? 3 равны.

На втором этапе мы используем Reflexive Property , чтобы показать, что ? 2 равен себе.

Хотя предыдущий шаг был тривиальным, он был необходим, потому что он настраивал нас на использование Добавление свойства равенства , показав, что добавление меры ? 2 к двум равным углам сохраняет равенство.

Затем с помощью постулата сложения углов мы видим, что ? PTR является сумма ? 1 и ? 2 , тогда как ? STQ является Сумма ? 3 и ? 2 .

В конечном итоге, через замену ясно, что меры ? PTR и ? STQ равны. Доказательство этого упражнения из двух столбцов показано. ниже.

(3) Дано: м? DCJ = 71 , м? GFJ = 46

Доказательство: м? AJH = 117

Нам дается размер ? DCJ и ? GFJ , чтобы начать упражнение.Также обратите внимание, что три горизонтальные линии на рисунке параллельны друг другу. Диаграмма также показывает нам, что последние шаги нашего Для доказательства может потребоваться сложить два угла, составляющих ? AJH .

Мы обнаруживаем, что существует связь между ? DCJ и ? AJI : это альтернативные внутренние углы. Таким образом, мы можем использовать Alternate Internal Angles. Теорема утверждает, что они конгруэнтны друг другу.

По определению сравнения их углы имеют одинаковую величину, поэтому они равны.

Теперь мы заменяем мерой ? DCJ на 71 . поскольку нам дали это количество. Это говорит нам, что ? AJI также 71 ° .

Поскольку ? GFJ и ? HJI также являются альтернативными внутренними углами, мы утверждаем, что они совпадают по теореме об альтернативных внутренних углах .

Определение конгруэнтных углов еще раз доказывает, что углы равны меры. Поскольку мы знали размер ? GFJ , мы просто заменяем чтобы показать, что 46 является мерой в градусах ? HJI .

Как предсказывалось выше, мы можем использовать постулат сложения углов , чтобы получить сумму из ? AJI и ? HJI , поскольку они составляют ? AJH .В конечном итоге мы видим, что сумма этих двух углов дает нам 117 ° . Доказательство из двух столбцов для этого упражнения показано ниже.

(4) Дано: m? 1 = 4x + 9 , m? 2 = 7 (x + 4)

Найти: м? 3

В этом упражнении нам не даются конкретные градусные меры для показанных углов.Скорее, мы должны использовать некоторую алгебру чтобы помочь нам определить размер ? 3 . Как всегда, начнем с информация приведенная в задаче. В этом случае нам даны уравнения для мер из ? 1 и ? 2 . Также отметим, что существует две пары параллельных линий на схеме.

По теореме о внутренних углах одинаковой стороны , мы знаем, что сумма ? 1 и ? 2 равно 180 , поскольку они являются дополнительными.

После замены этих углов на данные нам меры и упрощения, имеем 11x + 37 = 180 . Чтобы найти x , мы сначала вычтите обе части уравнения на 37 , а затем разделите обе стороны на 11 .

После того, как мы определили, что значение x равно 13 , мы снова подключаем его к уравнению для измерения из ? 2 с намерением в конечном итоге использовать соответствующих углов Постулат .Подключение 13 к x дает нам меру 119 для ? 2 .

В итоге делаем вывод, что ? 3 также должна иметь эту степень, поскольку ? 2 и ? 3 совпадают с . Доказательство из двух столбцов, показывающее этот аргумент, показано ниже.

,

Как применить три теоремы мощности к задачам окружности

  1. Образование
  2. Математика
  3. Геометрия
  4. Как применить три теоремы мощности к задачам окружности

Марк Райан

Есть три теоремы мощности, которые вы можете использовать для решения всевозможных геометрических задач, связанных с окружностями: теоремы о степени хорды и хорды, теоремы о степени касательной-секущей и теоремы о степени секущей-секущей.

Все три теоремы о степени включают уравнение с произведением двух длин (или квадрата одной длины), которое равно другому произведению длин.И каждая длина - это расстояние от вершины угла до края круга. Таким образом, все три теоремы используют одну и ту же схему:

Эта объединяющая схема поможет вам запомнить все три теоремы о мощности. И это поможет вам избежать распространенной ошибки умножения внешней части секущей на ее внутреннюю часть (вместо правильного умножения внешней части на всю секансную), когда вы используете теорему о степени касательной-секущей или секущей-секущей. ,

Использование теоремы о мощности хорды и хорды

Теорема о мощности хорды и хорды была названа блестяще из-за того факта, что в этой теореме используется хорда и - вы можете догадаться? - еще один аккорд!

Теорема о силе хорды и хорды: Если две хорды окружности пересекаются, то произведение длин двух частей одной хорды равно произведению длин двух частей другой хорды.(Это полный рот или что?)

Другими словами,

Например, на первом рисунке

Вот диаграмма.

Теорема хорды-хорды

Использование теоремы о касательной-секущей мощности

Теорема о касательной-секущей мощности - еще один впечатляющий пример творческой номенклатуры.

Теорема касательной-секущей мощности: Если касательная и секущая проводятся от внешней точки к окружности, то квадрат длины касательной равен произведению длины внешней части секущей и длины всего секанса.(Еще один глоток.) ​​

Другими словами:

Например, на этом рисунке 8 2 = 4 (4 + 12)

Теорема о касательной-секущей мощности

Использование теоремы о степени секанс-секанс

И последнее, но не менее важное: это теорема о секущей-секущей степени. Ты садишься? В этой теореме участвуют две секущие!

Теорема о силе секущей-секущей: Если две секущие проводятся из внешней точки в окружность, то произведение длины внешней части секущей на длину всей секущей равно произведению длины секущей внешняя часть другой секущей и длина всего секанса.(Самый большой глоток из всех!)

Вот как это выглядит:

Например, на этом рисунке 4 (4 + 2) = 3 (3 + 5)

Теорема о секансе-секансе ,

статей, теорем, задач и интерактивных иллюстраций по геометрии

  • 1 + 27 = 12 + 16 Сангаку
  • 120 ° Породы 90 ° [Ява]
  • 3-4-5, золотое сечение
  • 3 дороги, 3 путешественника [Java]
  • 3 Утилиты Головоломка
  • 3D-параллелизм высот
  • 3D четырехугольник - проблема гроба
  • 3-4-5 Треугольник ребенка
  • 4 Проблема путешественников
  • 5-шаговое построение золотого сечения, одно из многих
  • Квадратная сетка 5x5 и 5 кругов [Java, GeoGebra]
  • Круг от 6 до 9 точек [Java]
  • Угол 60 ° и важность того, чтобы быть другим концом диаметра
  • 60 o Породы 90 o [Ява]
  • 7 = 2 + 5 Сангаку
  • Круг из 9 точек как локус параллелизма [Java]
  • Центр из 9 точек на биссектрисе [GeoGebra]
  • Ромб 60 ° в равнобедренной трапеции 60 °
  • Лучшее решение сложной проблемы сангаку
  • Прерывистая линия в 3D
  • Случай сходства [Java]
  • Цепочка соприкасающихся кругов в многоугольнике (a la Bui Quang Tuan) [Java]
  • Цепочка соприкасающихся кругов в многоугольнике (а-ля Evelyn) [Java]
  • Характеристика линии Эйлера [Java]
  • Круг в равнобедренном треугольнике из Ирландского МО 2006 г.
  • Круг, относящийся к Incenter и Circumcenter [Java]
  • Круг, катящийся в равностороннем треугольнике [Java]
  • Круг с двумя центрами [Java]
  • Коника в треугольнике [JavaScript, GeoGebra]
  • Комбинированный локус
  • Исправленная версия исчисления доказательства теоремы Пифагора
  • Любопытная личность в треугольнике
  • Циклическое неравенство в треугольнике
  • Циклическое неравенство в треугольнике II
  • Циклическое неравенство в треугольнике для целых степеней
  • Вырожденный случай конфигурации Bottema [Java, GeoGebra]
  • Диаметр как диагональ вписанного четырехугольника [Java, GeoGebra]
  • Открытие Хиротаки Эбисуи и Таноса Калогеракиса
  • Загадка вскрытия.Доказательство # 99 теоремы Пифагора.
  • Двойное значение средней точки дуги [Java, GeoGebra]
  • Семейство циклических четырехугольников [JavaScript, GeoGebra]
  • Обобщение линии Симсона [JavaScript, GeoGebra]
  • Обобщение теоремы Пифагора
  • Обобщение теоремы Ван Обеля
  • Обобщенный принцип Кавальери-Зу
  • Геометрический предел
  • Задача геометрии из IMO 2012 - Задача 5
  • Трудный, но важный сангаку
  • Шарнирная реализация плоской мозаики [Java]
  • Лемма о равных площадях [Java]
  • Лемма на пути к Саваяме
  • Линия в квадратной сетке [Java]
  • Линия в треугольнике, проходящая через окружной центр [Java]
  • Вопрос коллинеарности: метаморфоза проблемы
  • Модифицированный сангаку
  • Мультипликативная идентичность площадей в треугольнике [Java]
  • Записка о неделимых активах Кавальери
  • Параллелограмм в треугольнике [Java]
  • Кривая заполнения плоскости за 2017 год
  • Возможно первое доказательство совпадения высот
  • Проблема из Греции через Перу
  • Задача Балканской математической олимпиады 1985 г. (Шорт-лист)
  • Проблема в конфигурации трех квадратов
  • Задача в специальном тангенциальном четырехугольнике
  • Задача в равнобедренном прямоугольном треугольнике [Java]
  • Задача в Пентагоне с прямыми углами
  • Проблема в Пентагоне с дополнительными углами
  • Проблема в трех пятиугольниках [JavaScript, GeoGebra]
  • Проблема острого треугольника
  • Проблема двух окружностей, Мигель Очоа Санчес
  • Проблема на ледяном конусе
  • Задача с равносторонними треугольниками [Java]
  • Задача с прямоугольными равнобедренными треугольниками [JavaScript]
  • Задача с тремя равносторонними треугольниками
  • Задача с двумя равнобедренными треугольниками [JavaScript]
  • Задача с двумя одинаковыми прямоугольниками
  • Пропущенный перигал и все остальные после него
  • Свойство медианы [JavaScript, GeoGebra]
  • Свойство биссектрисы угла
  • Свойство окружности через центр [JavaScript]
  • Свойство центра относительно окружности
  • Свойство циклического четырехугольника
  • Свойство равносторонних многоугольников [Java]
  • Свойство неразрешимых четырехугольников [JavaScript]
  • Свойство изогональных линий [JavaScript, GeoGebra]
  • Свойство Ортического треугольника [JavaScript, GeoGebra]
  • Свойство шестиугольника Паскаля Паскаль мог упустить из виду
  • Свойство перспективных треугольников [JavaScript, GeoGebra]
  • Свойство точек на окружности
  • Свойство точек на окружности
  • Собственность ромби [Ява]
  • Свойство линии ввода-вывода [Java]
  • Свойство строкового ввода-вывода: объединенное утверждение и доказательство [Java]
  • Свойство линии ввода-вывода: доказательство из книги [Java]
  • Свойство трапеции с прямым углом
  • Быстрое доказательство cos (pi / 7) cos (2.пи / 7) сов (3.pi / 7) = на 1/8
  • Прямоугольник в трех кругах Хиротаки Эбисуи
  • Связь в письменных тетраэдрах
  • Отношение в треугольнике
  • Восстановленный Сангаку
  • Продолжение Сангаку леммы Архимеда [Java]
  • Сангаку: два не связанных круга [Java]
  • Сангаку с египетскими привязанностями [Ява]
  • Сангаку с множеством кругов и некоторыми [Java]
  • Простое решение сложной проблемы Сангаку
  • Особая точка: пересечение диагоналей в четырехугольнике
  • Особый треугольник с линией, проходящей через точку Лемуана
  • Квадрат из параллельных линий
  • Построение линейкой середины хорды, общей для двух окружностей
  • Более сильное неравенство треугольника [Java]
  • Суши Морсель
  • Теорема М.хоромы
  • Вопрос с тремя колышками [Java]
  • Треугольник в ромбе с углом 60 градусов
  • Треугольник Антреаса Хатциполакиса [Ява]
  • Задача о треугольнике с Кавказа
  • Треугольник с углом 45 градусов в квадрате
  • Тригонометрическая идентичность в прямоугольном треугольнике из ММО 1960 г.
  • Тригонометрическое решение сложной задачи Сангаку
  • Неравенство двух треугольников
  • Неравенство двух треугольников II
  • Вид на круг Аполлония [JavaScript, GeoGebra]
  • О линии и треугольнике [Java]
  • Доказательство теоремы Пифагора Абул Вафа аль-Бузджани [Java]
  • Равносторонние треугольники, примыкающие к линии I [JavaScript, GeoGebra]
  • Биссектриса острого угла в прямоугольном треугольнике [Java]
  • Круг Адамса [Java]
  • Формулы сложения и вычитания для синуса и косинуса
  • Формулы сложения и вычитания для синуса и косинуса II
  • Неравенство Адиля Абдулаева с углами, медианами, внутренним и окружным радиусом
  • Неравенство Адиля Абдуллаева с корнями и властью
  • Собственность Александра Лупаса Incenter
  • Алгебраическое доказательство теоремы о бабочках в четырехугольниках.
  • Алгебро-геометрическое уравнение
  • Все о высотах
  • Все треугольники равнобедренные [Java]
  • Все тригонометрические неравенства в треугольнике
  • Высоты и линия Эйлера [GeoGebra]
  • Высота и сила точки [Java]
  • Высоты совпадают в одной точке: второй взгляд
  • У высот есть уши, ступня, стебель и корень
  • Аффинное свойство барицентра
  • Алгебраическая лемма с геометрическими последствиями [JavaScript]
  • Всеохватывающее неравенство
  • Всеохватывающее неравенство II
  • Угол в квадрате, соединенный с правильным пятиугольником
  • Угловое неравенство в простых многоугольниках
  • Внешний вид треугольника 30-60-90
  • Неравенство площади
  • Неравенство площадей в прямоугольном треугольнике
  • Асимметричное неравенство
  • Равносторонний треугольник в параллельных линиях
  • Евклидова конструкция с инверсией [Java, GeoGebra]
  • Расширение сангаку с касающимися кругами
  • Расширение теоремы Ван Шутена
  • Дополнительная тройка равносторонних треугольников для Наполеона [JavaScript, GeoGebra]
  • Идентификатор правильных тетраэдров
  • Идентичность в правильном семиугольнике
  • Идентичность в двухцентровой равнобедренной трапеции
  • Идентичность в (циклических) четырехугольниках [JavaScript, GeoGebra]
  • Идентичность в циклическом четырехугольнике
  • Идентичность в треугольнике
  • Идентичность в треугольнике II
  • Тождество в треугольнике с углом 135 градусов
  • Неравенство касательной к вписанной окружности
  • Неравенство в выпуклом четырехугольнике
  • Неравенство в треугольнике без тупиков
  • Неравенство в треугольнике для длин сторон, циклически измененное двумя способами
  • Неравенство в треугольнике с ограничением
  • Неравенство в треугольнике с радикалами, полупериметром, внутренним центром и внутренним радиусом
  • Неравенство в треугольнике с длинами сторон и окружным радиусом
  • Неравенство с эксрадиусом и высотой
  • Идентичность с Inradius и Circumradii
  • Неравенство сторон и площади
  • Неравенство для Cevians через Circumcenter
  • Неравенство для Cevians через Spieker Point через Brocard Angle
  • Неравенство от TST Румынии 2015 г.
  • Неравенство в треугольнике с радикалами, полупериметром и инрадиусом
  • Циклическое неравенство от 6-го ММО, 1964 г.
  • Собственность Нагеля Чевиана
  • Неравенство в остром треугольнике, предоставлено теоремой Чевы
  • Неравенство в циклическом четырехугольнике
  • Неравенство в циклическом четырехугольнике II
  • Неравенство в циклическом четырехугольнике III
  • Неравенство в циклическом четырехугольнике IV
  • Неравенство площадей треугольников, образованных кругоцентром и ортоцентром
  • Неравенство на описанном четырехугольнике
  • Неравенство в треугольнике
  • Неравенство в треугольнике II
  • Неравенство в треугольнике III
  • Неравенство в треугольнике IV
  • Неравенство в треугольнике, V
  • Неравенство в треугольнике, VI
  • Неравенство в треугольнике XI
  • Неравенство в треугольнике, преимущественно с медианами
  • Неравенство в треугольнике, охватывающем четыре основных центра
  • Неравенство в треугольнике с высотами, медианами и симедианами
  • Неравенство в треугольнике с интегралами
  • Неравенство в треугольнике с корнями и окружным радиусом
  • Неравенство в треугольнике с синусами
  • Неравенство в треугольнике с синусами II
  • Неравенство в треугольнике с окружным радиусом, внутренним радиусом и биссектрисой угла
  • Неравенство в треугольнике с синусами полууглов и кубическими корнями
  • Неравенство, связанное с точкой Ферма
  • Неравенство не в треугольнике
  • Неравенство степени 3 с Inradius
  • Неравенство с высотами и биссектрисами углов
  • Неравенство высот и медиан

    Неравенство с трисекторами угла

  • Неравенство с арктангенцами в треугольнике
  • Неравенство с окружными радиусами и расстояниями до вершин
  • Неравенство с косинусами и синусами
  • Неравенство с внутренним радиусом и длинами сторон
  • Неравенство с котангенсами и окружным радиусом
  • Неравенство с касательными и сторонами
  • Неравенство с одной касательной и шестью синусами
  • Неравенство с тремя точками
  • Неравенство в треугольнике с разностью медиан
  • Неравенство с Inradius и Circumradii
  • Неравенство в треугольнике с медианами, синусами и кубическими корнями
  • Неравенство с шестью степенями
  • Неравенство сторон, высот, биссектрис угла и медианы
  • Неравенство сторон, косинусов и полупериметра
  • Неравенство с Sin, Cos, Tan, Cot и некоторыми другими
  • Неравенство с синусами
  • Неравенство с касательными и котангенсами
  • Неравенство с наиболее важными Cevians
  • Отношение Inradii в неразрешимом четырехугольнике [JavaScript]
  • Изопериметрическая задача в четырехугольнике
  • Изопериметрическая теорема [Java]
  • Старая японская теорема
  • Неожиданная пара одинаковых равных треугольников [JavaScript, GeoGebra]
  • Неожиданный ромб [JavaScript, GeoGebra]
  • Универсальное неравенство для Cevians
  • Необычное обобщение теоремы Пифагора
  • Необычное обобщение теоремы Пифагора, вариант
  • Угол: иллюстрированная классификация [Java]
  • Биссектриса угла в квадрате
  • Биссектриса угла поперечная окружность
  • Биссектриса угла в равносторонней трапеции
  • Биссектриса угла в параллелограмме [Java]
  • Биссектриса угла в прямоугольнике [Java]
  • Биссектриса угла в соприкасающихся кругах [Java]
  • Биссектриса угла [Java]
  • Биссектриса и перпендикуляры углов в четырехугольнике [Java]
  • Биссектриса угла в эллипсе [Java]
  • Биссектриса угла в эллипсе II [Java]
  • Биссектриса угла в четырехугольнике [Java]
  • Биссектриса угла в четырехугольнике - циклический и прочие [Java]
  • Биссектриса угла на окружности [Java]
  • Угловая погоня на радикальной оси [JacaScritp, GeoGebra]
  • Угловая чеканка в треугольнике 75-30-75
  • Угол в квадрате
  • Угол в прямоугольном треугольнике
  • Угловое неравенство в треугольнике с перпендикулярными медианами
  • Свойство сохранения угла [Java]
  • Угол, образуемый диаметром [Java]
  • Трисекция угла, его невозможность
  • Трисекция угла по Архимеду [Java]
  • Трисекция угла по Гиппократу [Java]
  • Трисекция углов, Пол Вьекснер [Java]
  • Трисектора углов по окружности [Java]
  • Трисекция под углом при фальцовке бумаги
  • Углы в треугольнике 4-5-6 [JavaScript]
  • Углы в кубе I [Java]
  • Углы в кубе II [Java]
  • Углы в кубе III [Java]
  • Углы в треугольнике Добавить к 180 o
  • Углы в треугольнике: упражнение
  • Углы, вписанные в отсутствующий круг [Java]
  • Еще одно совпадение на круге из 9 точек [JavaScript, GeoGebra]
  • Еще один равносторонний треугольник в конфигурации Наполеона [JavaScript, GeoGebra]
  • Другая проблема геометрии из IMO 2012 - Проблема 1
  • Еще одно золотое сечение в полукруге
  • Другая личность в треугольнике
  • Еще одна пара архимедовых близнецов - Redux [JavaScript, GeoGebra]
  • Другое свойство точек на окружности
  • Другое свойство 9-гранной окружности [JavaScript, GeoGebra]
  • Еще одно уточнение неравенства Ионеску-Вейтценбока
  • Другой сангаку на площади
  • Еще одна теорема о семи кругах [JavaScript, GeoGebra]
  • Антицентр и ортоцентры [JavaScript, GeoGebra]
  • Антикомплементарный треугольник-сюрприз [Java]
  • Антипараллельный [Java]
  • Антипараллельный и Круговой радиус [JavaSCript, GeoGebra]
  • Антипараллельность через три отражения [Java]
  • APMO 1995 Задача 3
  • APMO 1998, Задача 4
  • APMO 2002, проблема 3
  • APMO 2003, проблема 2
  • APMO 2004, проблема 2
  • Средние значения сторон и углов треугольника
  • Проблема Аполлония
  • Примерное построение регулярного Пентагона А.Дюрер
  • Арбелос - нож сапожника [Ява]
  • Еще одна пара близнецов в арбелосе [Ява]
  • Четверки Архимеда [Java]
  • Двойные круги Архимеда и брат [Java]
  • Площадь и периметр круга
  • Неравенство площадей в треугольнике
  • Неравенство площадей в трех треугольниках
  • Район Арбелос [Ява]
  • Площадь Чевианского треугольника
  • Площадь обрезанных треугольников
  • Площадь прямоугольника
  • Площадь пересечения двух равных прямоугольников [JavaScript, GeoGebra]
  • Площадь трапеции
  • Оптимизация площади трапеции
  • Площадь, площадь сектора и площадь сегмента эллипса
  • Области между двумя параллелограммами [JavaScript, GeoGebra]
  • Области в трех квадратах [JavaScript, GeoGebra]
  • Среднее расстояние до N точек
  • Цепочка кругов на хорде [Java]
  • Цепочка из четырех пересекающихся кругов [JavaScript, GeoGebra]
  • Цепочка вписанных кругов [Java]
  • Цепочка из шести пересекающихся кругов [JavaScript, GeoGebra]
  • Описание симедианной точки с помощью медиан и ортического треугольника
  • Описание трапеции [JavaScript, GeoGebra]
  • Погоня за секущими углами [JavaScript]
  • Конкурс в Арбелосе [JavaScript, GeoGebra]
  • Параллелизм в Arbelos [Java]
  • Согласование биссектрисы угла [JavaScript, GeoGebra]
  • Параллельные аккорды в круге, равном наклоне
  • Конциклические точки в Арбелосе [Ява]
  • Прямоугольник в Арбелосе [Java]
  • Прямоугольные области в круге [JavaScript, GeoGebra]
  • Красные и розовые области
  • Треугольник Рило, расширенный [GeoGebra]
  • Маленький треугольник из малого треугольника
  • Квадрат, угол 45 градусов и двойник Пифагора
  • Квадрат, полукруг и другие кривые [JavaScript, GeoGebra]
  • Площади в Арбелосе [Ява]
  • Двойные сегменты в Арбелосе [Ява]
  • Архимедовы братья и сестры вне брака, i.е., Arbelos (JavaScript, GeoGebra)
  • Архимеда Книга лемм
  • Кусочки Арбелоса [JavaScript, GeoGebra]
  • Закон Архимеда рычага [Java]
  • Метод Архимеда
  • Близнецы Архимеда в период Эдо
  • Разделители площади и периметра в треугольнике
  • Неравенство площадей в трапеции
  • Неравенство площадей в треугольнике
  • Неравенство площадей в треугольнике II
  • Площадь двухцентрового четырехугольника
  • Площадь круга Леонардо да Винчи [Ява]
  • «Площадь круга» раввина Абрахама бар Хийя Ханаси [Ява]
  • Площадь равнобедренного треугольника
  • Площадь среднего треугольника [Ява]
  • Площадь параллелограмма [Java]
  • Площадь формулы параллелограмма сдвигом
  • Площадь Союза двух квадратов [Ява]
  • Площадь треугольника [Java]
  • Области и центроид в треугольнике [Java]
  • Районы по кругу
  • Площади в разрезе [Java]
  • Области в двух параллелограммах и перевод [JavaScript, GeoGebra]
  • Среднее арифметико-геометрическое неравенство
  • Среднее арифметическое Сангаку [Java]
  • Среднее арифметическое Сангаку II [Java]
  • Вокруг окружения [Ява]
  • Вокруг вписанного многоугольника [Java]
  • Ремесленники против математиков
  • Азиатско-тихоокеанский воздушный змей [Java]
  • Присвоение номеров точкам на плоскости
  • Иллюзия ассимиляции [Java]
  • Ось подобия трех кругов
  • Барбье, Теорема [Java]
  • Барицентр Чевианского треугольника
  • Барицентрические координаты
  • Проблема Бэтмена [JavaScript, GeoGebra]
  • Бендер: визуальная иллюзия [Java]
  • Расширение Bespectacled Eyeballs [JavaSCript, GeoGebra]
  • Между крестом и квадратом (лежит золотое сечение)
  • Между большим и малым кругами [Java]
  • Точка и теорема Бевана [Java]
  • За пределами Пифагора
  • За пределами Вивиани [JavaScript]
  • Бимедианы и диагонали в четырехугольнике
  • Бимедианы в правильном тетраэдре [Java]
  • Биссектальный круг [Java]
  • Биссектрисы
  • Деление фигуры пополам
  • Деление инь и ян пополам
  • Биссектриса воображаемого угла может быть действительной
  • Биссектриса и пропорции [JavaScript]
  • BMO 2014, проблема 3 [JavaScript, GeoGebra]
  • Bottema разрушает изоляцию Японии [Java]
  • Теорема Боттемы [Java]
  • Бутылки в стойке для вина [Java]
  • Ограниченное расстояние
  • Границы суммы расстояний до вершин [JavaScript]
  • Формула и теорема Брахмагупты
  • Теорема Брахмагупты [Java]
  • Отождествления Брахмагупты и Махавиры
  • Брианшон в эллипсе [Java]
  • Теорема Брианшона [Java]
  • Иллюзия кирпичной стены [Java]
  • Стул невесты [Java]
  • Краткое введение в рациональную тригонометрию
  • Точка Брокара и отношение окружных радиусов
  • Теорема о разорванной хорде [Java]
  • Прерывистая линия в треугольнике
  • Строительство моста [Java]
  • Наведение мостов [Java]
  • Иллюзия выпуклых линий [Java]
  • Теорема о бабочке
  • Коллинеарность Кабарта
  • Камуфляжная бабочка
  • Набор и функции Кантора
  • Теорема Кантора [Java]
  • Теорема Карно
  • Теорема Карно
  • Теорема Карно из теоремы Птолемея
  • Теорема Карно (обобщение теоремы Уоллеса) [Java]
  • Теорема Карно для коник
  • Ковер с дырочкой [Java]
  • Теорема о коврах [Java]
  • Теорема Кейси [Java]
  • Овалы Кассини и геометрическая оптимизация [JavaScript, GeoGebra]
  • центра подобия
  • Центроид, характерное свойство
  • Центроид и окружной центр в равнобедренных тетраэдрах
  • Центроид и центр в равнобедренных тетраэдрах
  • Центроид на вписанном круге в равнобедренном треугольнике
  • Центроид на вписанной окружности в прямоугольном треугольнике
  • Центроиды и окружные центры
  • Центроиды в многоугольнике [Java]
  • Цевианский параллелограмм [JavScript, GeoGebra]
  • Поиск углов между биссектрисами [JavaScript]
  • Погоня за углами в шестиугольнике Паскаля [Java]
  • Круг, равнобедренный треугольник и фиксированная точка [Java]
  • Круговой центр по Paperfolding
  • Центры окружностей на радикальных осях [Java]
  • Круговые цепи на треугольниках Наполеона [Java]
  • Круговое совпадение по окружности / a> [JavaScript, GeoGebra]
  • Круг в квадрате, вписанный в круг [Java]
  • Круговые вращения и фиксированные точки
  • Круги в барицентрических координатах
  • Окружности по сторонам треугольника из австрийского MO 2005 г.
  • Окружности, касающиеся окружности [Java]
  • Окружности, касающиеся медианы в центроиде [JavaScript, GeoGebra]
  • Круги с касательными диаметрами [Java]
  • Сева и Менелай встречаются на дорогах
  • Сева в описанном четырехугольнике
  • Теорема Чевы
  • Теорема Чевы и бамбуковый элемент Фибоначчи [Java]
  • Cevian Cradle [Java]
  • Cevian Cradle II [JavaScript, GeoGebra]
  • Cevian Nest [Java]
  • Цвианский треугольник [Java]
  • Цвианы и полукруги [JavaScript]
  • Cevians через Circumcenter
  • Цепочка вписанных кругов [Java]
  • Хаос, появление [Java]
  • Характеристика прямоугольных треугольников
  • Теорема Часлеса
  • Cherchez le quadrilatère cyclique [Java]
  • Cherchez le quadrilatère cyclique II [Java]
  • Аккорды, параллелизм и ортотреугольник [Java]
  • Хроматическое число плоскости
  • Теорема о художественной галерее Чватала [Java]
  • Круг и гипербола как кривые маяка
  • Круг и гипербола как Lighthouse Curves II
  • Круг пересекает треугольник [Java]
  • Параллелизм кругов и спиральное сходство [Java]
  • Деление круга Евклидом и Леонардо [Ява]
  • Круг Аполлония в равностороннем треугольнике
  • Круг подобия [Ява]
  • Вращение круга и фиксированные точки [JavaScript, GeoGebra]
  • Круг по кругу [Java]
  • По кругу через Incenter [Java]
  • Круг через центр и антипараллели [Java]
  • Теорема об укладке кругов [Java]
  • Круги и параллели [Java]
  • Окружности и полукруги в прямоугольнике [Java]
  • Круги покрывают четырехугольник [Java]
  • Круги в круговом сегменте
  • Круги в правильном многоугольнике [Java]
  • Круги в треугольниках Морли [Java]
  • Круги на ножках прямоугольного треугольника [Java]
  • Круги на Чевиане [Java]
  • Круги через Ортоцентр [Java]
  • Круги с равными коллинеарными аккордами [Java]
  • Круговая иллюзия Поггендорфа [Java]
  • Круг, вписанный в круговой сегмент [Java]
  • Кругоцентр и ортоцентр
  • Окружной центр и ортоцентр изогонально сопряжены
  • Окружность центра на биссектрисе [Java]
  • Чиркумцевский треугольник [Ява]
  • Классификация четырехугольников [Java]
  • Cleavance Center [Java]
  • Кливер [Java]
  • Алгебры Клиффорда
  • Цепь Клиффорда [Ява]
  • Восхождение на пирамидальные склоны
  • Теорема Клафа: простейшее доказательство [JavaScript, GeoGebra]
  • Коаксальные круги на серединном перпендикуляре [Java]
  • Теорема о коаксиальных кругах [Java]
  • Теорема о коллажах [Java]
  • Коллинеарные пересечения и произведения соотношений [JavaScript, GeoGebra]
  • Коллинеарность из IMO 2013 (проблема 4) [Javacript, GeoGebra]
  • Коллинеарность в бицентрических четырехугольниках [Java]
  • Коллинеарность в касательных окружностях
  • Коллинеарность через параллельность [Java]
  • Коллинеарность с ортоцентром [Java]
  • Чередование цветов на множестве Мандельброта [Java]
  • Раскраска с тремя цветами
  • Раскраски на плоскости
  • Общие центроиды ведут к равностороннему треугольнику [JavaScript, GeoGebra]
  • Общий аккорд и касательная [Java]
  • Общие касательные к двум окружностям I [Java]
  • Общие касательные к двум окружностям II [Java]
  • Конструкция только для компаса - хорда, касательная к внутреннему кругу [Java, GeoGebra]
  • Четырехугольник, полный [Java]
  • Комплексные числа и геометрия
  • > Совпадение в правом треугольнике
  • Совпадение по кругу [JavaScript, GeoGebra]
  • Concurrence Not from School Geometry [Java, GeoGebra]
  • Параллелизм медиан и средних треугольников
  • Параллельность высот в треугольнике - тригонометрическое доказательство
  • Concyclic Points на выставке IMO 2014 [JavaScript, GeoGebra [
  • Непрерывность в прямоугольнике [Java]
  • Совпадение в равностороннем треугольнике [JavaScript, GeoGebra]
  • Совпадение десяти кругов из девяти точек [JavScript, GeoGebra]
  • Параллелизм в треугольнике Intouch [Java]
  • Параллельные и параллельные линии в параллелограмме [JavaScript, GeoGebra]
  • Параллельные Cevians и конус на ногах [JavaScript, GeoGebra]
  • Конциклические точки от середины дуги [GeoGebra, JavaScript]
  • Concyclic Incenters in Bicentric Quadrateral [JavaScript, GeoGebra]
  • Конциклические точки в Неописуемом четырехугольнике [JavaScript, GeoGebra]
  • Концикличность из коллинеарности [JavaScript, GeoGebra]
  • Концикличность двух полукругов [JavaScript, GeoGebra]
  • Конциклические точки двух эллипсов с ортогональными осями [JavaScript, GeoGebra]
  • .

    Смотрите также