Как научиться решать геометрию
Как решать задачи по геометрии: практические советы и рекомендации
Как решать задачи по геометрии? Многие учащиеся задаются этим вопросом на протяжении многих лет. Иногда даже сам предмет вызывает страх и отвращение из-за непонимания отдельных тем. Потом бывает очень сложно преодолеть неприязнь к геометрии и снова с заинтересованностью посещать уроки.
В чем причина
Во многом все зависит от того, как преподаватель объясняет свой предмет. Если учитель сможет заинтересовать учеников, дальше дело пойдет по накатанной, и каждый урок будет захватывающим. Дети даже будут оставаться на переменке, чтобы успеть решить как можно больше задач.
Если вам плохо объясняли этот предмет или есть еще какие-то причины, по которым у вас совершенно не получается вникнуть в тему, эта статья поможет разобраться.
Как научиться решать задачи по геометрии?
Для начала нужно понять, что за один день вы вряд ли далеко продвинетесь в своих знаниях, так что настраивайтесь на длительный процесс обучения.
Также нужно определиться с целью. Если вам нужно просто решить задачу по геометрии, чтобы не получить плохую оценку за контрольную работу, достаточно лишь выучить определенную тему и потренироваться в практических аспектах.
Что делать?
Возьмите учебник и пролистайте последние несколько параграфов, которые вы изучили. Постарайтесь вникнуть в информацию, поймите, что от этого зависит то, как будут оценены ваши знания. Теперь можете взять листочек и изучить несколько задач, обязательно смотрите в текст учебника и пытайтесь понять алгоритм решения.
Если что-то не получается, обратитесь к решебнику, который выпущен специально под ваш учебник. Только не списывайте абсолютно все, старайтесь понять, как решать задачи по геометрии.
Вспомните, о чем говорил преподаватель на занятиях, возможно, какая-то информация окажется полезной.
Не стоит пренебрегать и человеческим фактором. Хорошо знающие предмет школьники или студенты не откажут вам в помощи. Некоторые из них могут объяснить гораздо доходчивее преподавателей.
А тем, кто решил не просто разобраться в отдельных темах, а научиться решать задачи и как орешки их щелкать, нужно основательно потрудиться.
Во-первых, главное – это мотивировать себя на дальнейшие занятия. Бывает так, что вопрос о том, как научиться решать задачи по геометрии, встает лишь один раз, а потом начинается просто списывание примеров из интернета. Так делать крайне нежелательно.
Развивайте усидчивость. Посмотреть в решебник намного проще, разумеется, но подумайте, какое наслаждение вы испытаете, когда самостоятельно решите сложную задачку. Поэтому лучше лишние полчаса посидеть за учебником, чем стараться списать побыстрее чье-то решение.
Может быть, геометрия вам понадобится для будущей профессии. Тогда тем более не стоит откладывать дело в долгий ящик, нужно приниматься за задачи прямо сейчас.
Во-вторых, практика, и только она, поможет вам стать на шаг ближе к своей цели!
Заведите привычку узнавать что-то новое каждый день. Просто старайтесь с утра решать одну задачу, а потом проверяйте по ключам ее правильность. Позже заметите, что с каждым днем процесс идет все быстрее и качественнее.
Самое главное здесь – не сдаваться и не обращать внимания на мелкие трудности. Если вы включите в распорядок дня этот совет, то вопрос о том, как решать задачи по геометрии, отпадет сам собой.
В-третьих, обращайтесь за помощью к знакомым.
Не бойтесь в школе лишний раз поднять руку и выйти к доске, чтобы решить сложный пример, который никто не отважился постичь. Даже если что-то пойдет не так, и вам не удастся сделать задание, ничего страшного в этом нет. Преподаватель объяснит решение примера и даже похвалит вас за смелость. Также это неплохой способ показать свои знания одноклассникам.
Ребята могут помочь с выполнением заданий, когда узнают, что вы настроены серьезно в изучении предмета.
Не вешаем нос!
Не отчаивайтесь, если никто не откликнулся на вашу просьбу. Всегда можно обратиться за помощью к репетитору, который точно объяснит, как решить задачу по геометрии. Даже при ограничении в денежных средствах хорошим выходом станут занятия по скайпу, которые ничем не хуже уроков, проходящих при личной встрече.
Вот и все советы. Будем надеяться, что вы все-таки поняли, как решать задачи по геометрии. В любом случае старайтесь применять эти методы на практике, и вы осуществите задуманное!
Как решать задачи геометрии с использованием прямоугольников и треугольников
Как решать задачи геометрии с использованием прямоугольников и треугольников
o Пункт
o Строка
o Линейный сегмент
или Луч
o Угол
o Прямоугольник
o Периметр
o Площадь
o Площадь
o Треугольник
Цели
o Ознакомьтесь с некоторыми фундаментальными геометрическими фигурами
o Вычислить периметр и площадь прямоугольника
o Вывести формулу площади треугольника
Геометрия изучает точки, линии, формы, углы и отношения между ними.Мы рассмотрим некоторые простые формы, такие как треугольники и прямоугольники, и обсудим, как вычислить некоторые из их свойств.
Элементы геометрии
Прежде чем рассматривать некоторые более сложные фигуры, мы должны понять определенные термины, которые используются на протяжении всего изучения геометрии. Несколько основных геометрических понятий включают точки, линии и углы. Точка - это, по сути, местоположение - оно часто обозначается маленькой точкой, представляет собой местоположение в пространстве и не имеет длины, ширины или глубины.Несколько пунктов показаны ниже.
Линия в геометрии имеет большинство тех же характеристик, что и в реальной жизни (и в алгебре). Геометрическая линия прямая и бесконечно продолжается в противоположных направлениях. Если две прямые пересекаются в одной точке, то говорят, что они пересекаются на . Пример линии показан ниже; обратите внимание, что на концах линии есть стрелки, указывающие, что линия продолжается бесконечно.
Конечная часть линии называется сегментом . Сегменты линии имеют конечную (ограниченную) длину, в отличие от линий, длина которых бесконечна (неограничена). Ниже показан отрезок линии; концы отрезка показаны точками.
Луч - это часть линии только с одной конечной точкой, как показано ниже. Его длина по-прежнему бесконечна, но у него есть один идентифицируемый конец.
Когда две прямые, отрезки, лучи или их комбинация пересекаются, они образуют угол . Пример угла показан ниже.
Углы могут быть измерены в градусах (°) в диапазоне от 0 ° до 360 °. Некоторые примеры угловых мер показаны ниже.
Используя эти основные геометрические термины и фигуры, мы можем теперь перейти к изучению некоторых более сложных фигур.
Прямоугольники
Прямоугольник - это особый вид замкнутой геометрической фигуры с четырьмя сторонами; пример прямоугольника показан ниже.
Прямоугольники можно описать двумя измерениями: длиной (которую мы можем назвать l ) и шириной (которую мы можем назвать w ). Противоположные стороны прямоугольника равны по длине, а все «внутренние» углы равны 90 °; таким образом, мы можем нарисовать прямоугольник, как показано ниже.
Одной из характеристик прямоугольника, которую мы можем легко вычислить, является его периметр , т.е. , который является суммой длин всех сторон.Периметр P следующий:
P = l + w + l + w
Мы можем упростить это выражение, преобразовав сложение похожих членов в умножение:
P = l + l + w + w
P = 2 л + 2 Вт
Например, рассмотрим прямоугольник ниже.
Поскольку противоположные стороны равны по длине, прямоугольник имеет две стороны длиной 6 единиц и две стороны длиной 3 единицы.Таким образом, периметр следующий:
Периметр 18 шт. (Обратите внимание, что «единицей измерения» могут быть дюймы, футы, метры или любой другой тип измерения длины. Если указана единица измерения, используйте эту конкретную единицу; в противном случае достаточно общего термина «единицы».)
Практическая задача : Вычислите периметр прямоугольника ниже. Все размеры указаны в футах.
Решение : Напомним, что противоположные стороны прямоугольника равны по длине.Таким образом, у этого прямоугольника две стороны длиной 10 футов и две стороны длиной 2 фута. Тогда периметр P будет иметь следующий вид:
В качестве альтернативы мы могли бы просто использовать полученную выше формулу.
Практическая задача : Некий прямоугольник имеет периметр 50 метров и длину 14 метров.Какая у него ширина?
Решение : Мы можем решить эту проблему, внимательно изучив представленную информацию и применив то, что мы знаем о решении уравнений. Прежде всего, мы знаем, что периметр P прямоугольника подчиняется следующей формуле, где l - длина, а w - ширина.
Постановка задачи сообщает нам, каков периметр ( P ), а также какова его длина ( l ).Давайте введем эти значения в приведенное выше уравнение, а затем упростим результат, насколько это возможно.
Чтобы найти ширину прямоугольника, нам нужно только решить для w , используя тот же подход, который мы использовали при решении линейных уравнений.
Таким образом, ширина прямоугольника составляет 11 метров.Давайте проверим этот результат, чтобы убедиться, что он работает. Из постановки задачи мы знаем, что длина прямоугольника 14 метров.
Итак, ответ подтверждается.
Мы также можем вычислить площадь прямоугольника, которая является мерой того, сколько места он занимает. Рассмотрим прямоугольник шириной 4 единицы и длиной 2 единицы.
Давайте разделим каждую сторону на сегменты длиной 1, как показано ниже.
Теперь, используя эти части, мы нарисуем сетку, разделяющую прямоугольник.
Обратите внимание, что сетка разделена на более мелкие области, каждая сторона которых имеет длину 1 единицу.
Каждая из этих меньших областей представляет собой квадрат (прямоугольник, длина и ширина которого равны) со сторонами длины 1. Мы определяем одну из этих областей как 1 квадратную единицу - квадрат, размеры которого (длина и ширина) равны 1. Блок.Теперь обратите внимание, что в прямоугольнике всего 8 квадратных единиц, которые разделены на два ряда по четыре или четыре ряда по два (в зависимости от того, как вы смотрите на диаграмму). Но вычислить количество объектов (в данном случае квадратных единиц) в строках и столбцах можно путем умножения: обратите внимание, что количество квадратных единиц в прямоугольнике - это просто произведение длины и ширины. Таким образом, площадь A прямоугольника длиной l и шириной w является произведением l и w:
.
Эта формула применима к любому прямоугольнику, независимо от длины его сторон.(То есть длины могут быть натуральными, дробными, десятичными, рациональными или иррациональными числами.)
Например, допустим, у нас есть прямоугольник длиной 5 дюймов и шириной 3 дюйма, как показано ниже.
Наша цель - вычислить, сколько квадратов со стороной 1 дюйм может поместиться в этот прямоугольник - в результате получится общая площадь прямоугольника. Размещая квадраты от края до края, мы можем разместить пять из них по прямоугольнику и три по прямоугольнику.
Из диаграммы видно, что в прямоугольник можно уместить 15 квадратов размером один квадратный дюйм - таким образом, прямоугольник имеет площадь 15 квадратных дюймов. Конечно, это то, что указывает и формула:
Практическая задача : Вычислите площадь прямоугольника шириной 32 дюйма и длиной в дюйм.
Решение : Формула площади для прямоугольника применяется независимо от используемых чисел (если, конечно, они положительные).Таким образом, давайте просто воспользуемся формулой для площади A:
Треугольники
Мы также можем рассмотреть некоторые характеристики другой распространенной геометрической фигуры: треугольника. Треугольник - замкнутая геометрическая фигура с тремя сторонами; примеры треугольников показаны ниже.
Периметр треугольника рассчитывается почти так же, как периметр прямоугольника: просто складываем длины сторон треугольника (в этом случае фигура имеет только три стороны, и все эти стороны могут быть разной длины. ).Однако вычислить площадь несколько сложнее. Для прямоугольников мы смогли увидеть площадь как простые ряды и столбцы квадратов. Из-за формы треугольника мы не можем аккуратно вписать в него квадраты.
Мы должны использовать несколько иной подход к нахождению площади треугольника. Давайте рассмотрим общий треугольник, показанный ниже; этот треугольник не имеет особо особых свойств.
Теперь давайте определим два характерных размера этого (или любого) треугольника: длину основания (которую мы назовем b ) и высоту (которую мы назовем h ).База - это просто длина стороны «на земле» или в нижней части рисунка. Высота - это максимальное расстояние, которое треугольник достигает «над землей».
Площадь треугольника составляет A. Если бы у нас было два таких треугольника абсолютно одинаковой формы, общая площадь этих двух треугольников была бы 2 A. Давайте воспользуемся этим фактом, чтобы попытаться построить более знакомую фигуру. .
Сначала мы разрежем один из треугольников по высоте.
Обратите внимание, что оба разделенных треугольника имеют высоту h (точно так же, как мы определили для исходного треугольника), а их основания - x и y, , где x + y равно b. Мы не знаем, что такое x и y , но поскольку мы разрезаем треугольник, мы знаем, что сумма этих двух оснований должна равняться основанию исходного треугольника. Теперь давайте попробуем переставить части, чтобы получился прямоугольник!
Давайте теперь рассмотрим характеристики этой новой фигуры (помните, она имеет площадь 2 A, , где A, - площадь исходного треугольника).
Рисунок представляет собой прямоугольник. Обратите внимание, что противоположные стороны равны по длине (помните, что x + y = b ). Но мы знаем, как вычислить площадь прямоугольника: это просто произведение длины и ширины (в данном случае b и h ). Однако эта общая площадь составляет удвоенных площади исходного треугольника. Таким образом, произведение b и h равно 2 A.
Изучив линейные уравнения, мы узнали, как найти конкретную переменную. В этом случае мы можем выделить A , умножив обе части выражения на.
Таким образом, мы вывели формулу площади треугольника. Этот вывод, хотя и не показан в его полной математической строгости, дает правильную формулу площади для всех треугольников, а не только для указанной выше.Процесс вычисления высоты h треугольника может быть несколько сложным, но если вы знаете основание и высоту, теперь вы можете вычислить площадь треугольника.
Практическая задача : Вычислите площадь треугольника ниже.
Решение : Если мы повернем треугольник так, чтобы 10-футовая сторона оказалась внизу, мы увидим, что сегмент пунктирной линии представляет высоту треугольника.
Затем мы можем вычислить площадь треугольника, используя формулу, которую мы вывели на уроке.
.
Как решать практические задачи геометрии
Как решать практические задачи геометрии
Цели
o Определить некоторые важные этапы процесса решения практических задач геометрии
o Применять методы решения геометрических задач в практических ситуациях
УGeometry есть множество реальных приложений в повседневных ситуациях. В этой статье мы научимся применять геометрические принципы и методы для решения задач.Ключом к решению практических задач геометрии является перевод реальной ситуации в цифры, измерения и другую информацию, необходимую для концептуального представления ситуации. Например, вы уже знаете, как рассчитать площадь составной фигуры; Если бы вас попросили определить, сколько места на полу доступно в определенном здании с составной формой, вам просто нужно было бы применить те же принципы, которые вы использовали бы для расчета площади составной фигуры. Конечно, могут потребоваться некоторые измерения здания, но применяются те же методы решения проблем.
Нам следует представить базовый подход к решению практических задач геометрии. Этот подход аналогичен подходу к решению почти задачи со словом, но немного больше ориентирован на характеристики геометрических задач, в частности.
1. Определите, что вам нужно вычислить для решения проблемы. В некоторых случаях может потребоваться длина; в других случаях - измерение площади или угла. Если на протяжении всего процесса вы будете осознавать, что вам нужно определить, вы можете сэкономить значительное количество времени.
2. Нарисуйте диаграмму. Иногда могут быть полезны линейка, циркуль, транспортир или комбинация этих инструментов. Однако даже если вы используете только грубый набросок, визуальное представление проблемы может помочь вам организовать свои мысли и отслеживать важную информацию, такую как соотношение отрезков линии и углов, а также их размеры.
3. Запишите все соответствующие измерения. Если вы, например, вычисляете площадь, вам может потребоваться измерить определенную длину (в качестве альтернативы, они могут быть предоставлены вам).В любом случае запишите их и отметьте каким-либо образом на диаграмме.
4. Обратите внимание на единицы. Использование квадратных метров для измерения длины или угла может быть досадной ошибкой! Внимательно отслеживайте, какие единицы вы используете во время выполнения задачи. Если единицы не указаны, просто используйте, например, общий термин «единицы» вместо дюймов или метров.
5. Разделите цифру, если необходимо, на небольшие части. Если ваша диаграмма является составной фигурой, ее можно разделить на небольшие части, с которыми вы сможете справиться.
6. Определите все подходящие геометрические отношения. Этот шаг может значительно упростить проблему. Возможно, вы можете показать два совпадающих или похожих треугольника, или, возможно, вы сможете определить конгруэнтные сегменты или углы. Используйте этот шаг, чтобы заполнить как можно больше недостающей информации на диаграмме.
7. Посчитайте. На этом этапе вам необходимо применить полученные знания для анализа цифры и других данных для решения проблемы. Вам может потребоваться, например, применить теорему Пифагора, или вам может потребоваться вычислить периметр фигуры.Какими бы ни были детали проблемы, вам нужно будет применить свои навыки в геометрии соответствующим образом.
8. Проверьте свои результаты. Взгляните на свой ответ в контексте диаграммы - имеет ли ваш ответ смысл? Результат в миллионы квадратных метров для площади фигуры с размерами в пределах нескольких метров должен сказать вам, что вы допустили ошибку в какой-то момент своего анализа.
Не каждый шаг описанного выше подхода потребуется для решения каждой проблемы.Вы должны руководствоваться здравым смыслом при определении того, что необходимо для решения проблемы удовлетворительным и эффективным образом. Кроме того, вы не всегда можете думать о том, чтобы использовать точную последовательность шагов, описанных выше; План - это просто способ описать систематический подход к решению проблем. Оставшаяся часть этой статьи дает вам возможность проверить свои навыки геометрии с помощью нескольких практических задач. Очевидно, что эти проблемы не требуют, чтобы вы выходили на улицу и измеряли длину или углы, но имейте в виду, что проблемы, с которыми вы сталкиваетесь в повседневной жизни, могут потребовать этого!
Практическая задача : План дома показан ниже.Определите площадь, занимаемую домом.
Решение : Давайте сначала разделим схему дома на два прямоугольника и трапецию, так как мы можем вычислить площадь каждой из этих фигур. Используя свойства каждой фигуры, мы также можем ввести некоторую неизвестную информацию.
Теперь площадь большего прямоугольника равна произведению 40 футов и 20 футов, или 800 квадратных футов.Площадь меньшего прямоугольника составляет 25 футов на 6 футов, или 150 квадратных футов. Площадь трапеции следующая:
Высота ( h ) составляет 6 футов, а два основания ( b 1 и b 2 ) - 8 и 11 футов.
Сложение всех трех областей дает нам общую площадь дома 1007 квадратных футов.
Практическая задача : Путешественник поднимается на крутой холм.Уклон холма между двумя деревьями постоянный, а основание одного дерева на 100 метров выше другого. Если расстояние между деревьями по горизонтали составляет 400 метров, как далеко путешественник должен пройти, чтобы добраться от одного дерева к другому?
Решение : Поскольку эту проблему трудно себе представить, диаграмма чрезвычайно полезна. Обратите внимание, что основания деревьев различаются по высоте на 100 метров - это наше вертикальное расстояние для прогулки. Горизонтальное расстояние 400 метров.
Обратите внимание, что мы показали прямой угол, потому что горизонтальный и вертикальный сегменты перпендикулярны. Теперь мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы вычислить расстояние d , которое должен пройти турист.
Таким образом, турист должен пройти около 412 метров. Обратите внимание, что, хотя турист делает значительное (100 метров) изменение высоты во время этой прогулки, разница между фактическим расстоянием, которое он проходит, и горизонтальным расстоянием невелика - всего около 12 метров.
Практическая задача : У домовладельца есть прямоугольный огороженный двор, и он хочет положить мульчу в свои треугольные сады, как показано ниже. Внутренняя граница каждого сада всегда переходит в забор под одним углом. Если мешок мульчи покрывает около 50 квадратных футов, сколько мешков мульчи должен купить домовладелец, чтобы укрыть свой сад?
Решение : В задаче говорится, что внутренняя граница каждого сада встречается с забором во всех случаях под одинаковым углом; таким образом, мы можем сделать вывод (как показано ниже), что все треугольники равнобедренные (и что треугольники с одинаковой длиной стороны совпадают по условию ASA).Таким образом, мы можем пометить каждую сторону неизвестной переменной x или y .
Напомним, что огороженная территория прямоугольная; таким образом, угол в каждом углу составляет 90 °. Затем мы можем найти x и y , используя теорему Пифагора. Однако сначала обратите внимание, что x и y - это высота и оснований соответствующих треугольников.
Поскольку сады состоят из двух треугольников каждой формы, общая площадь сада представляет собой просто сумму x 2 и y 2 .(Если вы не следуете этому пункту, просто используйте в каждом случае формулу площади треугольника - вы получите тот же результат.)
Таким образом, домовладельцу нужно шесть мешков мульчи (всего 300 квадратных футов), чтобы покрыть свой сад. (Конечно, мы предполагаем, что он должен купить целое число мешков.)
.Как изучать геометрию | Как выучить
Геометрия - это область математики, которая занимается окружающими нас формами. Геометрия имеет дело с природой этих форм, а также с тем, что они говорят нам о мире. Эти формы относятся ко всему сущему, от биологии до дизайна зданий и других искусственных объектов. Изучение геометрии поможет вам приобрести важные навыки решения проблем и поможет вам в других областях математики, поскольку она связана с различными другими математическими темами.
Щелкните здесь, чтобы приобрести книгу
Изучая геометрию, вашим первым шагом будет научиться понимать ее основы. Вам следует сосредоточиться на областях ниже.
Основные разделы геометрии
• Линии и сегменты линий Эта область охватывает прямые и сегменты вместе с пересекающимися и совпадающими линиями. В этой теме также рассматриваются точки и лучи.
• Конгруэнтность Это одна из фундаментальных областей геометрии. Это относится к тому факту, что если вы можете повернуть одну фигуру, чтобы сделать ее идентичной другой, то эти две фигуры будут считаться конгруэнтными.
• Углы Здесь вы узнаете об углах и о том, как они соотносятся друг с другом. Вы также научитесь определять прямой, острый и тупой углы.
• Треугольники и четырехугольники Это поможет вам лучше понять, как треугольники и четырехугольники связаны друг с другом.
• Площадь, объем и периметр К основным областям геометрии относятся формулы для расчета площади, объема и периметра различных форм и твердых тел, включая параллелограммы и треугольники.
• Круги Эта область предназначена для вычисления длины окружности, диаметра и радиуса окружности.
• Четырехугольники Вы научитесь определять и описывать различные типы четырехугольников, включая квадраты, прямоугольники и параллелограммы.
• Рассечения и доказательства Эта тема включает использование свойств фигур для решения геометрических задач и доказательства их решений.
• Теорема Пифагора Теорема Пифагора - одна из основ математики и одно из отличий математики от других
Нажмите здесь, чтобы приобрести книгу
наук.Теорема Пифагора предполагает, что вы начинаете с предположения, а затем делаете выводы из ряда логических шагов. Если вы сделаете правильные предположения и последуете логическим шагам к своему выводу, то ваш результат можно будет считать заслуживающим доверия и его можно будет использовать для подтверждения других результатов. Доказанный результат становится теоремой.
Советы по изучению геометрии
• Работайте над своим геометрическим словарем Вы знаете, что такое луч? Вы знаете, что такое вершина? Это важные концепции геометрии, которые полезны для понимания проблем и поиска их решений.Другие геометрические термины, которые вам следует изучить, включают ромб, трапецию и симметрию.
• Правильные инструменты Вам понадобится транспортир, желательно прозрачный. Прозрачные пластиковые транспортиры значительно упрощают считывание и измерение углов. Линейка тоже важна, желательно также четкая. Четкая линейка позволяет удлинить линии, что упрощает их измерение. Убедитесь, что на вашей линейке и транспортире указаны дюймы и сантиметры, поскольку разные уравнения могут иметь разные единицы измерения.Вам понадобится инструмент, который будет полезен обоим. Компас станет вашим следующим наиболее важным инструментом; компасы позволяют делать симметричные изогнутые линии. Хороший карандаш важен для рисования тонких линий. Лучший вариант - карандаш для технического рисования с грифелем 0,05 мм.
• Научитесь определять формы и углы Изучите свойства плоских фигур, таких как круги и прямоугольники, а также свойства твердых форм, таких как цилиндры и сферы.
• Научитесь определять треугольники по их углам Например, угол, имеющий один угол в 90 градусов, является прямым.Также следует научиться определять острые и тупые углы.
• Научитесь определять треугольники по длинам сторон Равносторонний треугольник имеет стороны одинаковой длины. Чем отличается равнобедренный треугольник? Что такое треугольник Скален? Изучите различия, чтобы классифицировать разные типы треугольников.
• Область понимания Это измерение того, сколько места что-то занимает в двух измерениях. Вы можете сравнить размер своего заднего двора с меньшим или большим задним двором соседа, чтобы понять территорию.Как вы измеряете пространство, которое занимает объект? Один из способов сделать это - использовать единичные квадраты. Определите количество площади; квадрат размером в 1 дюйм - хороший пример. Затем вы можете увидеть, сколько квадратов в 1 дюйм помещается в пространство, которое вы хотите измерить. Если уместится пять квадратов (без перекрытия), то можно сказать, что объект занимает пять квадратных дюймов.
Щелкните здесь, чтобы приобрести книгу
• Общие сведения о периметре Термин относится к границе фигуры. Когда вы вычисляете периметр в геометрии, вы определяете длину границы фигуры.Это делается путем сложения длин разных сторон. Сумма сторон равна периметру фигуры.
• Понимание симметрии Это одна из фундаментальных областей математики. Симметрия может существовать в алгебраических вычислениях и в геометрических конструкциях. Важно, чтобы вы исследовали геометрическую симметрию, создавая рисунки и изучая их свойства.
• Понять сходство Хотя значения симметрии и подобия близки в стандартном английском языке, эти слова несут разное значение в геометрии.Вам следует поработать над пониманием определения подобия и того, как оно применяется к треугольникам и тригонометрии треугольников. • Запоминание формул Вы захотите запомнить формулы, но более важно помнить, как прийти к формуле. Например, понимание формулы для определения площади прямоугольника и понимание взаимосвязи между прямоугольниками и треугольниками может помочь вам рассчитать площадь треугольника. Изучая основные формулы, вы можете упростить изучение сложной геометрии.
Джошуа Л. Дэвис III - учитель математики, репетитор по математике и наставник с 18-летним опытом преподавания в государственных школах и 38-летним стажем репетиторства. Поскольку я постоянно расту, изучая и чувствуя, как мои ученики учатся и обрабатывают информацию, я развил исключительную способность преподавать и объяснять математику понятным для всех способом. Я люблю преподавать математику и общаться с другими людьми. Что мне нравится больше всего, так это то, что я каждый день учусь новым методам обучения у всех своих учеников.
.
Задачи по геометрии GMAT - Magoosh Блог GMAT
Задачи GMAT по геометрии проверяют ваши способности к пространственному мышлению . Можете ли вы взглянуть на схему точек, линий и / или кругов и выделить важные детали, которые приведут к правильному ответу?
Если вы ответили нет , не бойтесь! Прочитав этот пост, изучив фундаментальных геометрических формул и проработав эти практические вопросы по геометрии, у вас будут инструменты, необходимые для успеха в день тестирования!
Содержание
Как пользоваться геометрическими формулами
Очень важно понимать, что геометрические формулы - это полезные инструменты, а НЕ волшебные палочки.Формулы геометрии, безусловно, важны! Но может возникнуть соблазн подумать, что все, что вам нужно сделать, это запомнить кучу формул. Сами по себе формулы не могут гарантировать вам высокий балл в разделе GMAT Quant. Вам также необходимо знать, когда и как применять формулы.
Кроме того, редко бывает, что для решения проблемы требуется только одна формула. Чаще всего вам нужно сложить несколько разных формул, как кусочки пазла. Лучшие специалисты по решению проблем используют целенаправленный подход .Другими словами, начните с того, что вам нужно решить. Затем работайте в обратном направлении, определяя, какая информация будет полезна для достижения этой цели. Кроме того, вы должны помнить данную информацию как из диаграммы, так и из постановки вопроса. Используйте это, чтобы построить мост к своей цели.
В этом посте вы познакомитесь с наиболее важными формулами GMAT Geometry. Цель здесь - просто помочь вам просмотреть - поэтому нажимайте ссылки, чтобы узнать больше о материале.
Затем вы можете проверить свои навыки, ответив на несколько практических вопросов по геометрии.Подробные решения приведены в самом конце.
Готовы? Пошли!
Линии и углы
Прежде всего, знайте свои термины: параллель (то же направление) против перпендикуляра (пересекаются под прямым углом) линий, внутренних углов против внешних углов , дополнительных ( добавление углов до 180 °) по сравнению с дополнительным (добавление углов до 90 °).
Вам следует просмотреть основные геометрические формулы. Например, на этой диаграмме показаны все возможности, в которых линия пересекает две перпендикулярные линии.
Чтобы узнать больше о прямых и углах, ознакомьтесь с нашим сообщением об углах и параллельных линиях в GMAT и нашим видеоуроком Геометрия: линии и углы .
Треугольники
С треугольниками связано множество формул и огромное количество терминологии! В этой статье мы можем только поверхностно коснуться.
Терминология, относящаяся к сторонам
- Равносторонний - Все три стороны равны.Все углы равны 60 °.
- Равнобедренный - Две равные стороны и соответствующие равные углы.
- Scalene - Ни одна из сторон или углов не равны друг другу.
Терминология, относящаяся к углам
- Острый - Все три угла меньше 90 °
- Правый - Один угол равен 90 ° (справа)
- Тупой - Один угол больше 90 °
Сумма углов = 180 ° (для любого треугольника)
Теорема Пифагора: \ (a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 \), где \ (a, b \) - катетов, а \ (c \) - гипотенуза прямоугольного треугольника.(Но также постарайтесь запомнить наиболее распространенные троек Пифагора : 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17 и 7-24-25.)
Площадь: \ (A = \ frac {1} {2} bh \), где \ (b \) - основание, а \ (h \) - высота.
Площадь равностороннего треугольника со стороной \ (s \): \ (A = \ frac {3} {2} \ cdot \ sqrt {3} \ cdot s \)
Подробнее см. просматривая наши видеоуроки, Треугольников - Часть I и Прямоугольников .
И еще больше ресурсов можно найти здесь:
Четырехугольники и другие многоугольники
Основная формула площади для прямоугольников и параллелограммов: \ (A = bh \) (базовое умножение на высоту).Это все, что вам действительно нужно для геометрии GMAT, потому что более сложные формы обычно можно разбить.
Полезно знать следующие формулы углов:
Сумма внутренних углов \ (n \) -стороннего многоугольника = \ (180 (n - 2) \) градусов.
Если многоугольник правильный (все стороны и углы равны), то любой угол имеет размер \ (\ frac {180 (n - 2)} {n} \) градусов.
Для дополнительного обзора ознакомьтесь с этим видеоуроком о Regular Polygons .2 \)
Окружность: \ (A = 2 \ pi r \)
Большинство задач, связанных с кругами, можно решить, не полагаясь на множество причудливых геометрических формул. Вам просто нужно использовать свой математический здравый смысл. Нужно знать площадь сектора? Просто узнайте, какую часть всего круга он представляет!
Дополнительные ресурсы можно найти здесь:
Твердые тела
Обычно в любом заданном тесте GMAT есть только пара вопросов о твердой геометрии.Поэтому мы не будем здесь углубляться в эту тему, но вы можете просмотреть следующие ссылки, чтобы узнать больше.
GMAT Geometry Practice (Вопросы по решению проблем)
Задача 1
Нажмите здесь, чтобы получить ответ
E.
Все три возможны. (На самом деле, если подумать, количество точек пересечения могло быть любым из 0, 1, 2, 3, 4, 5, или 6!)
Задача 2
Щелкните вот ответ
Б.2 = 36 \ пи \).
Задача 3
Нажмите здесь, чтобы получить ответ
C.
Чтобы найти площадь, нам нужно знать основание и высоту. STV треугольника равнобедренный, поэтому мы знаем, что SV = 16 - это основание, но не знаем высоту.
Высота будет представлена отрезком перпендикулярной линии от вершины T, делит пополам основание SV, в точке, которую мы назовем W.
Таким образом, SW = 8. Теперь посмотрим на прямоугольный треугольник STW: у него есть ножка. = 8 и гипотенуза = 17.Это избавит вас от огромного количества вычислений, если вы уже запомнили тройку Пифагора 8-15-17. Таким образом, TW = 15, и это высота. Это позволяет вам найти область: \ (\ frac {1} {2} \) \ (b \) \ (h \) \ (= \ frac {1} {2} \) \ ((16) \) \ ((15) \) \ (= 120 \)
Задача 4
Щелкните здесь, чтобы получить ответ
Используйте формулу для угла правильного многоугольника (с \ (n = 5 \)):
\ (\ frac {180 (5 - 2)} {5} = 108 \) градусов.
Теперь посмотрим на равнобедренный треугольник ABC с углом 108 ° в точке B.Два других угла равны: назовите каждый \ (x \).
Зная, что сумма углов в треугольнике равна 180, мы знаем, что \ (108 + x + x = 180 \), что приводит к \ (x = \) 36 °.
Наконец, ∠BCA = ∠ECD. Учитывая, что ∠BCA = \ (x \) = 36 °, то ∠ECD = 36 °. Это означает, что ∠ACE = 108 ° - 36 ° - 36 ° = 36 °
Задача 5
Нажмите здесь, чтобы получить ответ
B.
Поскольку ED параллелен GH, треугольники FED и FHG подобны . Зачем? Вертикальные углы равны: ∠GFH = ∠DFE, и пары чередующихся внутренних углов также равны: ∠G = ∠D и ∠H = ∠E.
Давайте начнем с треугольника FED. Угол ∠E охватывает диаметр, поэтому E = 90 °. Таким образом, треугольник FED прав с гипотенузой FD = 13 и катетом ED = 5. Это означает, что FE = 12 (просто вспомните тройку Пифагора 5-12-13).
Затем, поскольку GH = 15 в три раза больше ED, коэффициент масштабирования равен 3. Увеличьте FE на 3, чтобы получить FH = 36. Наконец, найдите площадь, используя знакомую формулу для треугольников: \ (A = \ frac {1 } {2} (36) (15) = 270 \).
Ниже приведено изображение с указанием длины каждой стороны (данные выделены желтым):
Задача 6
Нажмите здесь, чтобы получить ответ
D.2 = 36 \ пи \).
Шаг # 2: Один сектор («кусок пирога») занимает 60 °, что составляет одну шестую окружности.
Следовательно, площадь сектора равна: \ (\ frac {1} {6} (36 \ pi) = 6 \ pi \).
Шаг № 3: Теперь посмотрим на равносторонний треугольник.
Длина его стороны равна \ (s = 6 \), поэтому, используя формулу быстрого доступа, его площадь равностороннего треугольника равна \ (9 \ sqrt {3} \).
Шаг № 4: Найдите площадь круглого сегмента, который является названием для этого небольшого оставшегося фрагмента, части сектора, которая находится за треугольником.
Площадь сегмента = (Площадь сектора) - (Площадь треугольника) = \ (6 \ pi - 9 \ sqrt {3} \).
Шаг № 5: Теперь обратите внимание, что заштрихованная область на диаграмме - это всего лишь два равносторонних треугольника минус два круглых сегмента.
\ (2 (9 \ sqrt {3}) \) - \ (2 (6 \ pi - 9 \ sqrt {3}) \) \ (= 18 \ sqrt {3} - 12 \ pi + 18 \ sqrt {3} = 36 \ sqrt {3} - 12 \ pi \)
Задача 7
Нажмите здесь, чтобы получить ответ
D.
Поскольку EGC = 70 °, мы знаем, что ∠A = 70 ° (альтернативные внутренние углы).
Далее, поскольку AB = BC, мы видим, что треугольник ABC равнобедренный, что означает, что ∠ACB = 70 °. Сумма трех углов должна составлять 180 °, поэтому мы получаем ∠B = 40 °.
На этом этапе мы достигаем очень сложного хода: и B, и ∠H представляют собой углы, образованные парами параллельных прямых - стороны каждой параллельны соответствующим сторонам других. Это означает, что ∠B = ∠H = 40 °.
Далее, поскольку EF = FH, треугольник AFH также равнобедренный, что означает ∠GEF = 40 °.Опять же, углы треугольника должны составлять в сумме 180 °, так что это говорит нам, что ∠F = 100 °.
Наконец, ∠F и ∠D - это два угла на одной стороне одной и той же прямой между двумя параллельными прямыми (одинаковые боковые внутренние углы). Эти углы должны быть дополнительными, т.е. D = 180 ° - 100 ° = 80 °.
Дополнительная практика GMAT Geoemtry (вопросы о достаточности данных)
Все перечисленные выше 7 задач относятся к категории Problem Solving .Вы также можете попрактиковаться в ответах на несколько вопросов по геометрии GMAT , перейдя по этим ссылкам Magoosh:
Заключение
Геометрия GMAT не требует большого количества сложных формул. Во всяком случае, вам следует больше сосредоточиться на улучшении ваших геометрических стратегий, особенно на том, как использовать диаграммы в ваших интересах.
О чем говорит диаграмма: какие предположения вы можете сделать? Что не следует предполагать? Можете ли вы использовать оценку?
Наши видео-уроки по стратегиям геометрии и оценка помогут вам развить эти навыки!
Если вы дочитали до конца поста, то престижно! Надеюсь, вы сможете применить то, что узнали здесь, для успешной сдачи экзамена GMAT Quantitative!
