Как научиться решать интегралы неопределенные


Решение интегралов. Рассказываем, как решать интегралы.

Интегралы и их решение многих пугает. Давайте избавимся от страхов и узнаем, что это такое и как решать интегралы!
Интеграл – расширенное математическое понятие суммы. Решение интегралов или их нахождение называется интегрированием. Пользуясь интегралом можно найти такие величины, как площадь, объем, массу и другое.
Решение интегралов (интегрирование) есть операция обратная диференциированию.
Чтобы лучше представлять, что есть интеграл, представим его в следующей форме. Представьте. У нас есть тело, но пока не можем описать его, мы только знаем какие у него элементарные частицы и как они расположены. Для того, чтобы собрать тело в единое целое необходимо проинтегрировать его элементарные частички – слить части в единую систему.
В геометрическом виде для функции y=f(x), интеграл представляет собой площадь фигуры ограниченной кривой, осью х, и 2-мя вертикальными линиями х=а и х=b .



Так вот площадь закрашенной области, есть интеграл от функции в пределах от a до b.
Не верится? Проверим на любой функции. Возьмем простейшую у=3. Ограничим функцию значениями а=1 и b=2. Построим:

Итак ограниченная фигура прямоугольник. Площадь прямоугольника равна произведению длины на ширину. В наше случае длина 3, ширина 1, площадь 3*1=3.
Попробуем решить тоже самое не прибегая к построению, используя интегрирование:

Как видите ответ получился тот же. Решение интегралов – это собирание во едино каких-либо элементарных частей. В случае с площадью суммируются полоски бесконечно малой ширины. Интегралы могут быть определенными и неопределенными.
Решить определенный интеграл значит найти значение функции в заданных границах. Решение неопределенного интеграла сводиться к нахождению первообразной.

F(x) – первообразная. Дифференцируя первообразую, мы получим исходное подинтегральное выражение. Чтобы проверить правильно ли мы решили интеграл, мы дифференциируем полученный ответ и сравниваем с исходным выражением.
Основные функции и первообразные для них приведены в таблице:

Таблица первообразных для решения интегралов


Основные приемы решения интегралов:
Решить интеграл, значит проинтегрировать функцию по переменной. Если интеграл имеет табличный вид, то можно сказать, что вопрос, как решить интеграл, решен. Если же нет, то основной задачей при решении интеграла становиться сведение его к табличному виду.
Сначала следует запомнить основные свойства интегралов:

Знание только этих основ позволит решать простые интегралы. Но следует понимать, что большинство интегралов сложные и для их решения необходимо прибегнуть к использованию дополнительных приемов. Ниже мы рассмотрим основные приемы решения интегралов. Данные приемы охватывают большую часть заданий по теме нахождения интегралов.
Также мы рассмотрим несколько базовых примеров решения интегралов на базе этих приемов. Важно понимать, что за 5 минут прочтения статьи решать все сложные интегралы вы не научитесь, но правильно сформированный каркас понимания, позволит сэкономить часы времени на обучение и выработку навыков по решению интегралов.

Основные приемы решения интегралов

1. Замена переменной.

Для выполнения данного приема потребуется хороший навык нахождения производных.

2. Интегрирование по частям. Пользуются следующей формулой.

Применения этой формулы позволяет казалось бы нерешаемые интегралы привести к решению.

3. Интегрирование дробно-рациональных функций.
- разложить дробь на простейшие
- выделить полный квадрат.
- создать в числителе дифференциал знаменателя.

4. Интегрирование дробно-иррациональных функций.
- выделить под корнем полный квадрат
- создать в числителе дифференциал подкоренного выважения.
5. Интегрирование тригонометрических функций.
При интегрировании выражений вида
применяет формулы разложения для произведения.
Для выражений
m-нечетное, n –любое, создаем d(cosx). Используем тождество sin2+cos2=1
m,n – четные, sin2x=(1-cos2x)/2 и cos2x=(1+cos2x)/2
Для выражений вида:
- Применяем свойство tg2x=1/cos2x - 1

С базовыми приемами на этой всё. Теперь выведем своего рода алгоритм:
Алгоритм обучения решению интегралов:
1. Разобраться в сути интегралов. Необходимо понять базовую сущность интеграла и его решения. Интеграл по сути есть сумма элементарных частей объекта интегрирования. Если речь идет об интегрирование функции, то интеграл есть площадь фигуры между графиком функции, осью х и границами интегрирования. Если интеграл неопределенный, то есть границы интегрирования не указаны, то решение сводиться к нахождению первобразной. Если интеграл определенный, то необходимо подставить значения границ в найденную функцию.
2. Отработать использование таблицы первообразных и основным свойства интегралов. Необходимо научиться пользоваться таблицей первообразных. По множеству функций первообразные найдены и занесены в таблицу. Если мы имеем интеграл, которые есть в таблице, можно сказать, что он решен.
3. Разобраться в приемах и наработать навыки решения интегралов.Если интеграла не табличного вида, то его решение сводиться к приведению его к виду одного из табличных интегралов. Для этого мы используем основные свойства и приемы решения. В случае, если на каких то этапах применения приемов у вас возникают трудности и непонимания, то вы более подробно разбираетесь именно по этому приему, смотрите примеры подобного плана, спрашиваете у преподавателя.
Дополнительно после решения интеграла на первых этапах рекомендуется сверять решение. Для этого мы дифференциируем полученное выражение и сравниваем с исходным интегралом.
Отработаем основные моменты на нескольких примерах:

Примеры решения интегралов

Пример 1:
Решить интеграл:

Интеграл неопределенный. Находим первообразную.
Для этого интеграл суммы разложим на сумму интегралов.

Каждый из интегралов табличного вида. Смотрим первообразные по таблице.
Решение интеграла:

Проверим решение(найдем производную):

Пример 2. Решаем интеграл

Интеграл неопределенный. Находим первообразную.
Сравниваем с таблицей. В таблице нет.
Разложить, пользуясь свойствами, нельзя.
Смотрим приемы. Наиболее подходит замена переменной.
Заменяем х+5 на t5. t5 = x+5 . Получаем.

Но dx нужно тоже заменить на t. x= t5 - 5, dx = (t5 - 5)’ = 5t4. Подставляем:

Интеграл из таблицы. Считаем:

Подставляем в ответ вместо t ,

Решение интеграла:

Пример 3. Решение интеграла:

Для решения в этом случае необходимо выделить полный квадрат. Выделяем:

В данном случае коэфециент ? перед интегралом получился в результате замены dx на ?*d(2x+1). Если вы найдете производные x’ = 1 и ?*(2x+1)’= 1, то поймете почему так.
В результате мы привели интеграл к табличному виду.
Находим первообразную.

В итоге получаем:

Для закрепления темы интегралов рекомендуем также посмотреть видео.

В нем мы на примере физики показываем практическое применение интегрирования, а также решаем еще несколько задач.

Надеюсь вопрос, как решать интегралы для вас прояснился. Мы дорабатываем статью по мере поступления предложений. Поэтому если у вас появились какие то предложения или вопросы по теме решения интегралов, пишите в комментариях.

Рекламная заметка: Для особо пытливых умов советуем Видео-лекции по математическому программированию. Программирование одна из дочек математики!


Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:

Исчисление I - Вычисление неопределенных интегралов

Онлайн-заметки Павла

Ноты Быстрая навигация Скачать

  • Перейти к
  • Ноты
  • Проблемы с практикой
  • Проблемы с назначением
  • Показать / Скрыть
  • Показать все решения / шаги / и т. Д.
  • Скрыть все решения / шаги / и т. Д.
  • Разделы
  • Неопределенные интегралы
  • Правило замещения неопределенных интегралов
  • Разделы
  • Применение производных инструментов
  • Приложения интегралов
  • Классы
  • Алгебра
  • Исчисление I
  • Исчисление II
  • Исчисление III
  • Дифференциальные уравнения
  • Дополнительно
  • Алгебра и триггерный обзор
  • Распространенные математические ошибки
  • Праймер комплексных чисел
  • Как изучать математику
  • Шпаргалки и таблицы
  • Разное
  • Свяжитесь со мной
  • Справка и настройка MathJax
  • Мои студенты
  • Заметки Загрузки
  • Полная книга
  • Текущая глава
  • Текущий раздел
  • Practice Problems Загрузок
  • Полная книга - Только проблемы
  • Полная книга - Решения
  • Текущая глава - Только проблемы
  • Текущая глава - Решения
  • Текущий раздел - Только проблемы
  • Текущий раздел - Решения
  • Проблемы с назначением Загрузок
  • Полная книга
  • Текущая глава
  • Текущий раздел
  • Прочие товары
  • Получить URL для загружаемых элементов
  • Распечатать страницу в текущем виде (по умолчанию)
  • Показать все решения / шаги и распечатать страницу
  • Скрыть все решения / шаги и распечатать страницу
  • Дом
  • Классы
  • Алгебра
    • Предварительные мероприятия
      • Целые экспоненты
      • Рациональные экспоненты
      • Радикалы
      • Полиномы
      • Факторинговые многочлены
      • Рациональные выражения
      • Комплексные числа
    • Решение уравнений и неравенств
      • Решения и наборы решений
      • Линейные уравнения
      • Приложения линейных уравнений
      • Уравнения с более чем одной переменной
      • Квадратные уравнения - Часть I
      • Квадратные уравнения - Часть II
      • Квадратные уравнения: сводка
      • Приложения квадратных уравнений
      • Уравнения, сводимые к квадратичным в форме
      • Уравнения с радикалами
      • Линейные неравенства
      • Полиномиальные неравенства
      • Рациональные неравенства
      • Уравнения абсолютных значений
      • Неравенства абсолютных значений
    • Графики и функции
      • Графики
      • Строки
      • Круги
      • Определение функции
      • Графические функции
      • Комбинирование функций
      • Обратные функции
    • Общие графы
      • Линии, окружность
  • 900 23.

    Исчисление I - Вычисление определенных интегралов

    Онлайн-заметки Павла

    Ноты Быстрая навигация Скачать

    • Перейти к
    • Ноты
    • Проблемы с практикой
    • Проблемы с назначением
    • Показать / Скрыть
    • Показать все решения / шаги / и т. Д.
    • Скрыть все решения / шаги / и т. Д.
    • Разделы
    • Определение определенного интеграла
    • Правило замещения для определенных интегралов
    • Разделы
    • Применение производных инструментов
    • Приложения интегралов
    • Классы
    • Алгебра
    • Исчисление I
    • Исчисление II
    • Исчисление III
    • Дифференциальные уравнения
    • Дополнительно
    • Алгебра и триггерный обзор
    • Распространенные математические ошибки
    • Праймер комплексных чисел
    • Как изучать математику
    • Шпаргалки и таблицы
    • Разное
    • Свяжитесь со мной
    • Справка и настройка MathJax
    • Мои студенты
    • Заметки Загрузки
    • Полная книга
    • Текущая глава
    • Текущий раздел
    • Practice Problems Загрузок
    • Полная книга - Только проблемы
    • Полная книга - Решения
    • Текущая глава - Только проблемы
    • Текущая глава - Решения
    • Текущий раздел - Только проблемы
    • Текущий раздел - Решения
    • Проблемы с назначением Загрузок
    • Полная книга
    • Текущая глава
    • Текущий раздел
    • Прочие товары
    • Получить URL для загружаемых элементов
    • Распечатать страницу в текущем виде (по умолчанию)
    • Показать все решения / шаги и распечатать страницу
    • Скрыть все решения / шаги и распечатать страницу
    • Дом
    • Классы
    • Алгебра
      • Предварительные мероприятия
        • Целые экспоненты
        • Рациональные экспоненты
        • Радикалы
        • Полиномы
        • Факторинговые многочлены
        • Рациональные выражения
        • Комплексные числа
      • Решение уравнений и неравенств
        • Решения и наборы решений
        • Линейные уравнения
        • Приложения линейных уравнений
        • Уравнения с более чем одной переменной
        • Квадратные уравнения - Часть I
        • Квадратные уравнения - Часть II
        • Квадратные уравнения: сводка
        • Приложения квадратных уравнений
        • Уравнения, сводимые к квадратичным в форме
        • Уравнения с радикалами
        • Линейные неравенства
        • Полиномиальные неравенства
        • Рациональные неравенства
        • Уравнения абсолютных значений
        • Неравенства абсолютных значений
      • Графики и функции
        • Графики
        • Строки
        • Круги
        • Определение функции
        • Графические функции
        • Комбинирование функций
        • Обратные функции
      • Общие графы
        • Прямые, окружности и кусочные функции
        • Параболы
        • Эллипсы
        • Гиперболы
        • Разные функции
        • Преобразования
        • Симметрия
        • Рациональные функции
      • Полиномиальные функции
        • Делительные многочлены
        • Нули / корни многочленов
        • Графические полиномы
        • Факс
    .

    Определенные интегралы

    Возможно, вам сначала захочется прочитать «Введение в интеграцию»!

    Интеграция

    Integration можно использовать для поиска областей, объемов, центральных точек и многих полезных вещей. Но его часто используют, чтобы найти область под графиком функции следующим образом:

    Область может быть найдена путем добавления срезов, ширина которых приближается к нулю :

    И есть Правила интеграции, которые помогают нам получить ответ.

    Обозначение

    Символ «Интеграл» - стильная буква «S» (от «Сумма», идея суммирования срезов):

    После символа интеграла мы помещаем функцию, интеграл которой мы хотим найти (называемую интегралом).

    А затем закончите с dx , чтобы обозначить, что срезы идут в направлении x (и приближаются к нулю по ширине).

    Определенный интеграл

    Определенный интеграл имеет начальное и конечное значения: другими словами, существует интервал [a, b].

    a и b (называемые пределами, границами или границами) помещаются внизу и вверху буквы "S", например:

    Определенно Интегральное
    (от a до b )
    Неограниченный Интегральный
    (без конкретных значений)

    Мы находим Определенный интеграл, вычисляя неопределенный интеграл при a и b , а затем вычитая:

    Пример: что такое

    Нам нужен определенный интеграл , от 1 до 2, из 2x dx

    Сначала нам нужно найти Indefinite Integral .

    Используя правила интегрирования, находим, что ∫2x dx = x 2 + C

    Теперь посчитайте, что при 1 и 2:

    • При x = 1: ∫2x dx = 1 2 + C
    • При x = 2: ∫2x dx = 2 2 + C

    Вычесть:

    (2 2 + C) - (1 2 + C)

    2 2 + К - 1 2 - К

    4-1 + C - C = 3

    И "C" отменяется... так что с определенными интегралами мы можем игнорировать C .

    Результат:

    Проверить : с такой простой формой попробуем еще вычислить площадь по геометрии:

    А = 2 + 4 2 × 1 = 3

    Да, у него есть площадь 3.

    (Ура!)

    Обозначение : Мы можем показать неопределенный интеграл (без + C) внутри квадратных скобок с пределами a и b после, например:

    Пример (продолжение)

    Хороший способ показать свой ответ:

    Давайте попробуем другой пример:

    Пример:

    Определенный интеграл, от 0.От 5 до 1.0, из cos (x) dx:

    (Примечание: x должен быть в радианах)

    Неопределенный интеграл : cos (x) dx = sin (x) + C

    Мы можем игнорировать C для определенных интегралов (как мы видели выше) и получаем:

    = грех (1) - грех (0,5)

    = 0,841 ... - 0,479 ...

    = 0,362 ...

    И еще один важный пример:

    Пример:

    Определенный интеграл от 0 до 1 от sin (x) dx:

    Неопределенный интеграл : sin (x) dx = −cos (x) + C

    Поскольку мы начинаем с 0, можем ли мы просто вычислить интеграл при x = 1?

    −cos (1) = −0.540 ...

    Что? Это минус ? Но на графике это выглядит положительно.

    Ну ... мы сделали ошибку !

    Поскольку нам нужно вычесть интеграл при x = 0 . Не стоит предполагать, что он равен нулю.

    Итак, давайте сделаем это правильно, вычтя одно из другого:

    грех (x) dx

    = [−cos (x)]

    = −cos (1) - (−cos (0))

    = -0,540 ... - (-1)

    = 0.460 ...

    Так лучше!

    Но у нас может быть отрицательные области , когда кривая ниже оси:

    Пример:

    Определенный интеграл от 1 до 3 от cos (x) dx:

    Обратите внимание, что некоторые из них положительные, а некоторые отрицательные.
    Определенный интеграл даст чистое значение .

    Сделаем расчеты:

    = грех (3) - грех (1)

    = 0.141 ... - 0,841 ...

    = −0,700 ...

    Таким образом, отрицательного больше, чем положительного, с чистым результатом -0,700 ....

    Итак, нам нужно запомнить одну важную вещь:

    f (x) dx = (Площадь выше оси x) - (Площадь ниже оси x)

    Попробуйте интегрировать cos (x) с разными начальными и конечными значениями, чтобы увидеть, как работают положительные и отрицательные значения.

    Положительная область

    Но иногда мы хотим, чтобы вся область обрабатывалась как положительное значение (без вычитания части ниже оси).

    В этом случае мы должны вычислить площади отдельно , как в этом примере:

    Пример: Какова общая площадь между y = cos (x) и осью x, от x = 1 до x = 3?

    Это похоже на пример, который мы только что сделали, но теперь мы ожидаем, что вся площадь положительна (представьте, что нам нужно было это нарисовать).

    Итак, теперь мы должны делать детали отдельно:

    • Один для области над осью x
    • Один для области ниже оси x

    Кривая пересекает ось x при x = π / 2, поэтому мы имеем:

    От 1 до π / 2:

    cos (x) dx

    = грех (π / 2) - грех (1)

    = 1 - 0.841 ...

    = 0,159 ...

    От π / 2 до 3:

    cos (x) dx

    = грех (3) - грех (π / 2)

    = 0,141 ... - 1

    = -0,859 ...

    Последний выходит отрицательным, но мы хотим, чтобы он был положительным, поэтому:

    Общая площадь = 0,159 ... + 0,859 ... = 1,018 ...

    Это сильно отличается от ответа в предыдущем примере.

    непрерывный

    О да, функция, которую мы интегрируем, должна быть непрерывной между a и b : без дырок, скачков или вертикальных асимптот (где функция направлена ​​вверх / вниз в сторону бесконечности).

    Пример:

    Вертикальная асимптота между a и b влияет на определенный интеграл.

    Недвижимость

    Область выше - область ниже

    Интеграл добавляет площадь над осью, но вычитает площадь ниже, для «чистого значения»:

    f (x) dx = (Площадь выше оси x) - (Площадь ниже оси x)

    Добавление функций

    Интеграл от f + g равен интегралу от f плюс интеграл от g :

    f (x) + g (x) dx =

    ф (х) dx +

    .

    Введение в интеграцию

    Интеграция - это способ добавления фрагментов для поиска целого.

    Integration можно использовать для поиска областей, объемов, центральных точек и многих полезных вещей. Но проще всего начать с поиска области под кривой функции следующим образом:


    Какова площадь под y = f (x) ?

    Ломтики

    Мы можем вычислить функцию в нескольких точках, и сложить срезы шириной Δx вот так (но ответ будет не очень точным):

    Мы можем сделать Δx намного меньше, а сложить много маленьких кусочков (ответ становится все лучше):

    И когда срезы приближаются к нулю по ширине , ответ приближается к истинному ответу .

    Теперь мы запишем dx , чтобы обозначить, что ширина срезов Δx приближается к нулю.

    Это очень много!

    Но складывать их не нужно, есть «ярлык». Потому что ...

    ... нахождение интеграла - это , обратный нахождения производной.

    (Так что вам действительно следует знать о производных финансовых инструментах, прежде чем читать больше!)

    Как здесь:

    Пример: Что такое интеграл от 2x?

    Мы знаем, что производная x 2 равна 2x...

    ... так что интеграл от 2x равен x 2

    Вы увидите другие примеры позже.

    Обозначение

    Символ «Интеграл» - стильная буква «S»
    (для «Сумма» - идея суммирования срезов):

    После символа интеграла мы помещаем функцию, интеграл от которой мы хотим найти (называемую интегралом),

    , а затем закончите с dx , чтобы обозначить, что срезы идут в направлении x (и приближаются к нулю по ширине).

    А вот как пишем ответ:

    плюс C

    Мы написали ответ как x 2 , но почему + C?

    Это «Константа интеграции». Это из-за всех функций, производная которых равна 2x :

    Производная x 2 +4 равна 2x , а производная x 2 +99 также равна 2x и так далее! Потому что производная константы равна нулю.

    Итак, когда мы меняем операцию (чтобы найти интеграл), мы знаем только 2x , но там могла быть константа любого значения.

    Итак, мы завершаем идею, просто написав + C в конце.

    Кран и резервуар

    Интеграция похожа на наполнение бака из-под крана.

    Вход (до интегрирования) - расход от крана.

    Объединение потока (складывание всех маленьких кусочков воды) дает нам объема воды в резервуаре.

    Простой пример: постоянный расход

    Интеграция

    : при расходе 1 объем резервуара увеличивается на x

    Производная: если объем резервуара увеличивается на x , то расход равен 1

    Это показывает, что интегралы и производные противоположны!

    Теперь для увеличения расхода

    Представьте, что поток начинается с 0 и постепенно увеличивается (возможно, двигатель медленно открывает кран).

    По мере увеличения расхода бак наполняется все быстрее и быстрее.

    Интеграция: при расходе 2x объем резервуара увеличивается на x 2

    Производная: если объем резервуара увеличивается на x 2 , то расход должен быть 2x

    Пример: с расходом в литрах в минуту и ​​баком, начинающимся с 0

    Через 3 минуты ( x = 3 ):

    • расход достиг 2x = 2 × 3 = 6 литров / мин,
    • и объем достиг x 2 = 3 2 = 9 литров

    И через 4 минуты ( x = 4 ):

    • расход достиг 2x = 2 × 4 = 8 литров / мин,
    • и объем достиг x 2 = 4 2 = 16 литров

    Мы можем сделать и обратное:

    Представьте, что вы не знаете скорость потока.
    Вы знаете только, что объем увеличивается на x 2 .

    Мы можем пойти в обратном направлении (используя производную, которая дает нам наклон) и найти, что скорость потока равна 2x .

    Пример:

    • Через 1 минуту объем увеличивается на 2 литра / минуту (наклон объема равен 2)
    • Через 2 минуты объем увеличивается со скоростью 4 литра / минуту (наклон объема равен 4)
    • Через 3 минуты объем увеличивается со скоростью 6 л / мин (наклон 6)
    • и т. Д.

    Итак, интеграл и производная - это противоположности.

    Мы можем записать это так:

    Интеграл расхода 2x сообщает нам объем воды:

    ∫2x dx = x 2 + C

    И наклон увеличения объема x 2 + C возвращает нам скорость потока:

    (x 2 + C) = 2x

    И, эй, мы даже получили хорошее объяснение этого значения "C"... может быть, в баке уже есть вода!

    • Поток по-прежнему увеличивает объем на ту же величину
    • И увеличение объема может вернуть нам скорость потока.

    Которая учит нас всегда добавлять «+ C».

    Прочие функции

    Итак, мы уже поиграли с y = 2x , так как же нам интегрировать другие функции?

    Если нам посчастливится найти функцию на стороне результата производной, то (зная, что производные и интегралы противоположны), мы получим ответ.Но не забудьте добавить C.

    Пример: что такое ∫cos (x) dx?

    Из таблицы Rules of Derivatives мы видим, что производная sin (x) равна cos (x), поэтому:

    ∫cos (x) dx = sin (x) + C

    Но многое из этого "обращения" уже сделано (см. Правила интеграции).

    Пример: Что такое ∫x 3 dx?

    В правилах интеграции есть «Правило власти», которое гласит:

    ∫x n dx = x n + 1 n + 1 + C

    Мы можем использовать это правило с n = 3:

    ∫x 3 dx = x 4 4 + C

    Знание того, как использовать эти правила, является ключом к успешной интеграции.

    Итак, познакомьтесь с этими правилами и получите много практики .

    Изучите правила интеграции и практикуйтесь! Практика! Практика!
    (для начала вам нужно задать несколько вопросов)

    Определенные и неопределенные интегралы

    До сих пор мы выполняли неопределенных интегралов .

    Определенный интеграл имеет фактические значения для вычисления между ними (они помещаются внизу и вверху буквы "S"):

    Неопределенный Интегральный Определено Интегральное

    Чтобы узнать больше, прочтите «Определенные интегралы».

    .

    Смотрите также