Как научиться решать неравенства 8 класс


Как решать систему неравенств 8 класс

Основные понятия

Неравенство — алгебраическое выражение, в котором используются знаки ≠, <, >, ≤, ≥.

Числовое неравенство — в записи которого по обе стороны от знака находятся числа или числовые выражения.

Решение — значение переменной, при котором неравенство становится верным.

Решить неравенство значит найти множество, для которых оно выполняется.

Типы неравенств

Строгие — используют только больше (>) или меньше (<)

  • a < b — это значит, что a меньше, чем b.
  • a > b — это значит, что a больше, чем b.
  • a > b и b < a означают одно и тоже, то есть равносильны.

Нестрогие — используют сравнения ≥ (больше или равно) или ≤ (меньше или равно)

  • a ≤ b — это значит, что a меньше либо равно b.
  • a ≥ b — это значит, что a больше либо равно b.
  • знаки ⩽ и ⩾ являются противоположными.

Другие типы

  • a ≠ b — означает, что a не равно b.
  • a ≫ b — означает, что a намного больше, чем b.
  • a ≪ b — означает, что a намного меньше, чем b.
  • знаки >> и << противоположны.

Система неравенств

Чтобы щелкать задачки, нам пригодятся свойства числовых неравенств. Вот они:

  1. Если а > b , то b < а. Также наоборот: а < b, то b > а.
  2. Если а > b и b > c, то а > c. И также если а < b и b < c, то а < c.
  3. Если а > b, то а + c > b+ c (и а – c > b – c). Если же а < b, то а + c < b + c (и а – c < b – c). К обеим частям можно прибавлять или вычитать одну и ту же величину.
  4. Если а > b и c > d, то а + c > b + d.
    Если а < b и c < d, то а + c < b + d.
  5. Два неравенства одинакового смысла можно почленно складывать. Но важно перепроверять, т.к. возможны исключения. Например, если из 12 > 8 почленно вычесть 3 > 2, получим верный ответ 9 > 6. Если из 12 > 8 почленно вычесть 7 > 2, то полученное будет неверным.
  6. Если а > b и c < d, то а – c > b – d.
    Если а < b и c > d, то а – c < b – d.
    Из одного неравенства можно почленно вычесть другое противоположного смысла, оставляя знак того, из которого вычиталось.
  1. Если а > b, m — положительное число, то mа > mb и .
    Обе части можно умножить или разделить на одно положительное число (знак при этом остаётся тем же).
    Если же а > b, n — отрицательное число, то nа < nb и .
    Обе части можно умножить или разделить на одно отрицательное число, при этом знак поменять на противоположный.
  1. Если а > b и c > d, где а, b, c, d > 0, то аc > bd.
    Если а < b и c < d, где а, b, c, d > 0, то аc < bd.
    Неравенства одного смысла на множестве положительных чисел можно почленно перемножать.
    Следствием является: если а > b, где а, b > 0, то а2 > b2, и если а < b, то а2 < b2. На множестве положительных чисел обе части можно возвести в квадрат.
  1. Если а > b, где а, b > 0, то .
    Если а < b , то .

Таблица числовых промежутков

Полезна тем, что с ее помощью удобно записывать множество решений.

Неравенство

Графическое решение

Форма записи ответа

x < c


x ∈ (−∞; c)

x ≤ c


x ∈ (−∞; c]

x > c


x ∈ (c; +∞)

x ≥ c


x ∈ (c; +∞)

Еще один важный шаг — запись ответа. Вот, как правильно это делать:

  • Если знак строгий (>, <), точка на оси будет не закрашена, а скобка — круглой.
  • Если знак нестрогий (≥, ≤), точка на оси будет закрашена, а скобка — квадратной.
  • Скобка, рядом со знаком бесконечности всегда круглая.

Решение системы неравенств

Линейное неравенство — то, в котором неизвестное представлено в первой степени. Для его решения нужно, чтобы в левой части осталось только неизвестное в первой степени с коэффициентом равном единице. Алгоритм решения:

1. Раскрыть скобки, перенести неизвестное в левую часть, числа в правую и привести подобные слагаемые. Получится одно из следующих видов:

  • ax < b,
  • ax ≤ b,
  • ax > b,
  • ax ≥ b.

2. Если получилось ax ≤ b.Для его решения необходимо поделить левую и правую часть на коэффициент перед неизвестным a.

3. Если a > 0, то x ≤ ba.
Если a < 0, то знак меняется на противоположный.
Получаем x ≥ ba.

4. Записываем ответ как он есть или в соответствии с таблицей числовых промежутков.

Решим пример

3 * (2 − x) > 18

Как решаем

  1. Раскрываем скобки, оставляем неизвестное слево, числа перемещаем вправо, приводим подобные слагаемые.
    6 − 3x > 18
    −3x > 18 − 6
    −3x > 12
  1. Делим обе части на коэффициент, который стоит перед неизвестным. Так как −3 < 0, знак меняется на противоположный. 
    x < 12−3
    x < −4

Ответ: x < −4 или в числовом промежутке x ∈ (−∞; −4).

И еще один

Как решаем

  1. Оставляем неизвестное слева, избавляемся от знаменателя через умножение на это число обеих частей.
  2. Делим обе части на коэффициент, который стоит перед неизвестным.
    Так как - 2 < 0, знак меняется на противоположный.

 Ответ: х < – 2.

Последний, чтобы разобраться наверняка

Как решаем

  1. Проверим, что неизвестное находится слева.
  2. Делим обе части на коэффициент, который стоит перед неизвестным в каждом из них.

 Ответ: числовой промежуток x ∈ (– 2; 0].

Запомнить все правила и научиться быстро их применять помогут на уроках математики в детской школе Skysmart. Вместо скучных параграфов ребенка ждут интерактивные упражнения с мгновенной автоматической проверкой и онлайн-доска, где можно рисовать и чертить вместе с преподавателем.

Устранение неравенств

Иногда нам нужно решить такие неравенства:

Символ

слов

Пример

>

больше

х + 3 > 2

<

менее

7x < 28

больше или равно

5 x - 1

меньше или равно

2 года + 1 7

Решение

Наша цель - иметь x (или другую переменную) отдельно слева от знака неравенства:

Примерно так: х <5
или: г ≥ 11

Мы называем это «решенным».

Пример: x + 2> 12

Вычтем 2 с обеих сторон:

х + 2 - 2> 12 - 2

Упростить:

х> 10

Решено!

Как решить

Решение неравенств очень похоже на решение уравнений ... мы делаем почти то же самое ...

... но мы также должны обратить внимание на направление неравенства .


Направление: куда «указывает» стрелка

Некоторые вещи могут изменить направление !

<становится>

> становится <

≤ становится ≥

≥ становится ≤

Безопасные дела

Эти вещи не влияют на направление неравенства:

  • Сложить (или вычесть) число с обеих сторон
  • Умножьте (или разделите) обе стороны на положительное число
  • Упростить сторону

Пример: 3x <7 + 3

Мы можем упростить 7 + 3, не затрагивая неравенство:

3x <10

Но эти вещи действительно меняют направление неравенства (например, "<" становится ">"):

Пример: 2y + 7 <12

Когда мы меняем местами левую и правую части, мы также должны изменить направление неравенства :

12 > 2лет + 7

Вот подробности:

Сложение или вычитание значения

Мы часто можем решить неравенства, добавляя (или вычитая) число с обеих сторон (точно так же, как во Введении в алгебру), например:

Пример: x + 3 <7

Если вычесть 3 с обеих сторон, получим:

х + 3 - 3 <7 - 3

х <4

И вот наше решение: x <4

Другими словами, x может быть любым значением меньше 4.

Что мы сделали?

Мы пошли от этого:

Кому:

х + 3 <7

х <4

И это хорошо работает для , прибавляя и , вычитая , потому что, если мы прибавляем (или вычитаем) одинаковую сумму с обеих сторон, это не влияет на неравенство

Пример: У Алекса больше монет, чем у Билли.Если и Алекс, и Билли получат по три монеты больше, у Алекс все равно будет больше монет, чем у Билли.

Что, если я решу, но "x" справа?

Неважно, просто поменяйте местами стороны, но переверните знак , чтобы он по-прежнему «указывал» на правильное значение!

Пример: 12

Если отнять 5 с обеих сторон, получим:

12 - 5 - 5

7 <х

Вот и решение!

Но это нормально, если поставить "х" слева...

... так давайте обратим внимание (и знак неравенства!):

x> 7

Вы видите, как знак неравенства все еще «указывает» на меньшее значение (7)?

И вот наше решение: x> 7

Примечание: «x» может быть справа, но людям обычно нравится видеть его слева.

Умножение или деление на значение

Также мы умножаем или делим обе стороны на значение (как в алгебре - умножение).

Но мы должны быть немного осторожнее (как вы увидите).


Положительные значения

Все хорошо, если мы хотим умножить или разделить на положительное число :

Пример: 3y <15

Если разделить обе части на 3, получим:

3 года /3 <15 /3

г <5

И вот наше решение: y <5


Отрицательные значения

Когда мы умножаем или делим на отрицательное число
, мы должны обратить неравенство.

Почему?

Ну, посмотрите на числовую строку!

Например, от 3 до 7 это , увеличение ,
, но от -3 до -7 - , уменьшение.

−7 <−3 7> 3

Видите, как меняет знак неравенства (с <на>)?

Давайте попробуем пример:

Пример: −2y <−8

Разделим обе части на −2... и отменяют неравенство !

−2y <−8

−2y / −2 > −8 / −2

г> 4

И это правильное решение: y> 4

(Обратите внимание, что я перевернул неравенство в той же строке , разделенное на отрицательное число.)

Итак, запомните:

При умножении или делении на отрицательное число отменяет неравенство

Умножение или деление на переменные

Вот еще один (хитрый!) Пример:

Пример: bx <3b

Кажется легко просто разделить обе стороны на b , что дает нам:

х <3

... но подождите ... если b равно отрицательное , нам нужно изменить неравенство следующим образом:

x> 3

Но мы не знаем, положительное или отрицательное значение b, поэтому мы не можем ответить на этот вопрос !

Чтобы помочь вам понять, представьте, что замените b на 1 или −1 в примере bx <3b :

  • , если b равно 1 , то ответ будет x <3
  • , но если b равно −1 , тогда мы решаем −x <−3 , и ответим x> 3

Ответом может быть x <3 или x> 3 , и мы не можем выбрать, потому что не знаем b .

Так:

Не пытайтесь делить на переменную для решения неравенства (если вы не знаете, что переменная всегда положительна или всегда отрицательна).

Пример побольше

Пример: x − 3 2 <−5

Во-первых, давайте уберем "/ 2", умножив обе части на 2.

Поскольку мы умножаем на положительное число, неравенства не изменятся.

x − 3 2 × 2 <−5 × 2

х-3 <-10

Теперь прибавьте 3 к обеим сторонам:

х − 3 + 3 <−10 + 3

х <−7

И это наше решение: x <−7

Два неравенства сразу!

Как решить задачу сразу с двумя неравенствами?

Пример:

−2 < 6−2x 3 <4

Во-первых, давайте очистим "/ 3", умножив каждую часть на 3.

Поскольку мы умножаем на положительное число, неравенства не меняются:

−6 <6−2x <12

Теперь вычтите 6 из каждой части:

−12 <−2x <6

Теперь разделите каждую часть на 2 (положительное число, чтобы неравенства снова не изменились):

−6 <−x <3

Теперь умножьте каждую часть на -1. Поскольку мы умножаем на отрицательное число , неравенства изменяют направление .

6> х> −3

И это решение!

Но для наглядности лучше иметь меньшее число слева, большее - справа. Так что давайте поменяем их местами (и убедимся, что неравенства указывают правильно):

−3 <х <6

Сводка

  • Многие простые неравенства могут быть решены путем сложения, вычитания, умножения или деления обеих частей, пока не останется переменная сама по себе.
  • Но эти вещи изменят направление неравенства:
    • Умножение или деление обеих сторон на отрицательное число
    • Замена левой и правой сторон
  • Не умножайте и не делите на переменную (если вы не знаете, что она всегда положительна или всегда отрицательна)

.

Grade 8 Curriculum

Ниже приведены необходимые навыки со ссылками на ресурсы, которые помогут в освоении этого навыка. Мы также поощряем много упражнений и книжную работу. Curriculum Home

Важно: это только руководство.
Обратитесь в местный орган управления образованием, чтобы узнать их требования.

8 класс | Числа

☐ Двоичные числа

☐ Что такое шестнадцатеричные числа

☐ Преобразование из десятичного в другое базовое число и наоборот.

☐ Округлите число до необходимого количества десятичных знаков или требуемого количества значащих цифр.

☐ Поймите, что существуют другие системы счисления, такие как римские цифры, и узнайте, как переводить из одной системы в другую.

☐ Поймите, что подразумевается под сурдом, и что если вы не можете упростить число, чтобы удалить квадратный корень (или кубический корень и т. Д.), То это сурд.

☐ Вычислите квадратный корень с помощью «метода предположений».

☐ Ознакомьтесь с различными методами округления и когда их использовать

8 класс | Проценты

☐ Чтение, запись и идентификация процентов меньше 1% и больше 100%

☐ Применить проценты к: * Налог * Простой интерес * Цена продажи * Комиссия * Процентные ставки * Чаевые

☐ Разберитесь, что подразумевается под процентной ошибкой и как ее вычислить.

☐ Поймите, что подразумевается под процентными пунктами и базисными пунктами.

☐ Поймите, что подразумевается под процентным изменением (процентное увеличение или процентное уменьшение) и как его рассчитать.

☐ Разберитесь, что подразумевается под разницей в процентах и ​​как ее рассчитать.

8 класс | Коэффициенты

☐ Знайте, как разделить количество в заданном соотношении, например Доля прибыли компании в соотношении инвестиций партнеров

8 класс | Измерение

☐ Решите уравнения / пропорции для преобразования в эквивалентные измерения в рамках метрической системы измерения.

☐ Знайте метрические единицы измерения скорости (скорости): метры в секунду (мс-1) и километры в час (кмч-1)

☐ Распознавать разницу между выражениями «вес» и «масса» и знать правильную метрическую единицу измерения веса (Ньютон)

☐ Решайте уравнения / пропорции, чтобы преобразовать в эквивалентные измерения из метрической системы измерения в обычную и наоборот.

☐ Решение уравнений / пропорций для преобразования в эквивалентные измерения в рамках стандартной системы измерений США

☐ Знайте стандартные американские единицы скорости (скорости): футы в секунду (кадр / с) и мили в час (миль / час).

☐ Уметь различать выражения «вес» и «масса» и знать правильную стандартную единицу измерения веса в США (фунт-сила)

☐ Знать метрические единицы ускорения и знать, как рассчитать ускорение с учетом начальной скорости, конечной скорости и временного интервала.

☐ Преобразование из градусов Фаренгейта в Цельсия и наоборот.

.

8-й класс Объем и последовательность

Посмотреть демо наших уроков Переключить меню Зарегистрироваться Войти Поиск Поиск Time4Learning Поиск Time4Learning Войти / Зарегистрироваться Call Time4Learning ВойтиЗарегистрироватьсяКупить сейчас
  • Учебная программа
  • Субъекты
  • Обучение на дому
  • Ресурсы
  • Как это работает
  • Посмотреть демонстрации
  • Учебная программа по классам
  • Preschool curriculum nav icon Дошкольное
  • Elementary curriculum nav icon Элементарный
  • Middle School curriculum nav icon Средняя школа
  • High School curriculum nav icon Старшие классы средней школы
  • Объем и последовательность
  • Language Arts curriculum nav icon Языковые искусства
  • Math curriculum nav icon Математика
  • Science curriculum nav icon Наука
  • Social Studies curriculum nav icon
.

Смотрите также