Как научиться решать олимпиадные задачи по математике
5 олимпиадных задач по математике, с которыми справится не каждый взрослый
1. О вазах с яблоками и персиками
По вазам разложили 60 яблок и 60 персиков так, что во всех вазах оказалось поровну яблок, но в любых двух вазах — разное число персиков. Какое наибольшее число ваз могло быть использовано?
Показать ответ
Скрыть ответ
Во все вазы поровну разложены 60 яблок. Значит, возможное количество ваз должно выбираться из чисел, на которые 60 делится без остатка.
Известно также, что в каждой вазе должно быть разное число персиков. Попробуем разложить плоды в каждую вазу и понять, когда их станет больше 60. В первую вазу поместим 1 персик, во вторую — 2 персика, в третью — 3 персика и так далее: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 = 66. Это превышает количество персиков, которое у нас имеется, поэтому разложить их в 11 ваз не получится.
Значит, нужно брать меньше слагаемых (и меньше ваз): 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55. Это меньше, чем 60. Значит, мы можем добавить недостающее количество персиков ещё в какую-нибудь вазу: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 15 = 60. Всё сходится. Ответ — 10 ваз.
2. О порциях мороженого
Пока Чебурашка ест две порции мороженого, Винни Пух успевает съесть пять таких же порций, а пока Винни Пух ест три порции, Карлсон съедает семь. «Работая» вместе, Чебурашка и Карлсон съели 82 порции. Сколько порций за это время съел Винни Пух?
Показать ответ
Скрыть ответ
Обратим внимание на Винни Пуха: именно через него соотносится скорость поедания мороженного всеми героями. Найдём наименьшее общее кратное чисел 3 (через него Винни Пух соотносится с Карлсоном) и 5 (через него Винни Пух соотносится с Чебурашкой) — 15.
Это значит, что когда Винни съест 15 порций мороженого, Чебурашка съест 2 × 3 = 6 порций, а Карлсон 7 × 5 = 35 порций. Пока Винни ест 15 порций мороженого, Чебурашка и Карлсон вместе уничтожают 6 + 35 = 41 порцию. 82 порции мороженого они будут есть в два раза дольше, потому что 82 ÷ 41 = 2. Значит, и Винни Пух успеет съесть за это же время в 2 раза больше порций: 15 × 2 = 30.
3. Об австралийском зоопарке
В австралийском зоопарке 35% всех кенгуру серые, а 13% всех животных зоопарка — кенгуру, но не серые. Сколько процентов от всех животных в зоопарке составляют кенгуру?
Показать ответ
Скрыть ответ
Пусть n — общее количество животных в зоопарке, с — количество серых кенгуру, а k — количество всех кенгуру.
35% от общего количества кенгуру — серые. Запишем это: 0,35k = c.
13% от всех животных — это не серые кенгуру. Запишем и это: 0,13n = k − 0,35k.
Упростим полученное выражение: 0,13n = 0,65k; n = 5k; k = 1/5n = 20/100n = 20%. Значит, кенгуру составляют 20% от всех животных в зоопарке.
4. О гномах-лгунах
В комнате собралось несколько гномов, которые всегда лгут. Все они разного роста и разного веса. Каждый из них сказал: «Все остальные легче меня, и кто-то из них ниже меня». Какое из утверждений А — Г обязательно верно?
А. Самый тяжёлый гном — самый низкий
Б. Самый лёгкий гном — самый низкий
В. Самый тяжёлый гном — самый высокий
Г. Самый лёгкий гном — самый высокий
Д. Ни одно из утверждений А — Г не обязано выполняться.
Показать ответ
Скрыть ответ
Для самого тяжёлого гнома фраза «Все остальные легче меня» — истина, а её продолжение — «…и кто-то из них ниже меня» — должна быть ложью. Значит, все остальные гномы выше него. «Самый тяжёлый гном — самый низкий» — это верное утверждение. Для всех остальных гномов фраза «Все остальные легче меня» уже ложь, поэтому о них ничего сказать нельзя.
5. Об изобретении Безумного Шляпника
Безумный Шляпник сделал странные часы. Минутная стрелка у них неподвижна, а циферблат и часовая стрелка вращаются так, что часы всегда показывают правильное время. Сколько оборотов за сутки делает часовая стрелка таких часов?
Показать ответ
Скрыть ответ
Минутная стрелка неподвижна. Чтобы она показывала верное время, циферблат должен двигаться в противоположном направлении (против часовой стрелки) с той скоростью, с которой в обычных часах движется минутная стрелка, то есть совершать полный оборот за 1 час, а за сутки — 24 оборота.
Часовая стрелка должна тоже показывать верное время. Вместе с циферблатом она будет делать один оборот за час, то есть 24 оборота за сутки. Также она идёт в привычном для себя направлении — один полный оборот за 12 часов и два полных оборота за 24 часа в направлении по часовой стрелке. Поэтому в итоге она сделает 24 − 2 = 22 оборота за сутки.
В подборке использовались задачи из международного математического конкурса-игры «Кенгуру» за 2018 и 2019 годы.
Как вам задачи? Сколько решили без подсказок? Делитесь в комментариях!
Читайте также 🤔
Как решать задачи в исчислении
Как решать задачи в исчислении
Опубликовано: 20 сентября 2012 г., университетская математикаТеги: математика, решение задач
Считается, что математические задачи труднее всего решить, словесные задачи продолжают пугать учащихся по всем математическим дисциплинам. Этот новый заголовок из серии «Мировые проблемы» раз и навсегда демистифицирует эти сложные проблемы, показывая даже самым боязливым математикам простые, пошаговые советы и приемы.В разделе «Как решать мировые проблемы в исчислении» рассматриваются важные концепции математического анализа и предлагаются решенные задачи и пошаговые решения. Когда студенты овладеют основными подходами к решению математических задач со словами, они будут уверенно применять эти новые математические принципы даже к самым сложным сложным задачам. Каждая глава содержит введение в тип проблемы, определения, связанные теоремы и формулы. Темы варьируются от жизненно важного обзора до исчисления до традиционных материалов первого курса по исчислению.Примеры задач с решениями и глава из 50 задач идеально подходят для самопроверки. Полностью объясненные примеры с пошаговыми решениями.
Как решать задачи со словами в исчислении - Евгений Дон. Бени Дон
Нравится:
Нравится Загрузка ...
Связанные
. .Олимпиада по математике для учеников начальной школы
Запишитесь на этот курс
Право на участие: CTY-level или Advanced CTY-level необходим балл по математике
Предварительные требования: Успешное завершение 3-го класса по математике или его эквивалента; предпочтительно завершение 4 класса по математике
Формат курса: Индивидуально
Продолжительность курса: Обычно 3 месяца
Код курса: OL1
Описание курса
Описание
Этот олимпиадный курс по математике предназначен для обучения основные стратегии решения проблем, чтобы способствовать математическому творчеству и стимулировать энтузиазм и любовь к типам задач, с которыми учащиеся сталкиваются в соревновательной математике.
Этот курс включает в себя заметки, практические задачи, оценки и видео по каждой затронутой теме, чтобы студенты могли изучить и проанализировать как материал, так и навыки решения проблем. Видео предоставлены компанией Art of Problem Solving. По мере прохождения курса студенты будут отвечать на бесплатные вопросы и сдавать практические экзамены по расписанию, чтобы помочь им приобрести опыт, используя стратегии, которые будут полезны для реальных соревнований.
Каждому студенту назначается инструктор CTY, который будет поддерживать его и давать отзывы во время курса.Студенты могут связаться со своим инструктором по электронной почте с любыми вопросами или проблемами в любое время. Можно также запланировать интерактивные онлайн-занятия один на один для подготовки к оцениваемым оценкам, которые включают домашние задания, викторины и итоговый итоговый экзамен. Кроме того, инструктор проводит еженедельные групповые занятия по стратегии, на которых студенты учатся вместе.
Еженедельная сессия стратегии будет проводиться онлайн каждый вторник вечером с 19 до 19:50. ET. Посещаемость не является обязательной, и все занятия записываются, чтобы студенты могли посмотреть их позже.Инструкции и подробности размещены на веб-сайте курса для зачисленных студентов.
Темы включают:
- Рисование рисунка или диаграммы
- Использование выведения
- Упрощение
- Поиск шаблона
- Создание организованного списка
- Создание таблицы
- Использование числовых операций
- Работа в обратном направлении
- Базовая геометрия
- Оценка и устранение
Чтобы просмотреть подробный список тем, щелкните вкладку Список тем.
Необходимые материалы
Для этого курса нет необходимых материалов.
Список тем
Этот курс предназначен для обучения основным стратегиям решения задач, развития математического творчества и стимулирования энтузиазма и любви к тем типам задач, с которыми учащиеся сталкиваются в соревновательной математике. Учащиеся подробно изучают математические темы и стратегии и отрабатывают нестандартные задачи на соревнованиях. Виртуальный веб-класс предоставляет учащимся интерактивные возможности.Студенты и преподаватели встречаются в виртуальном классе для решения проблем, разъяснения концепций и групповых занятий.
В этом курсе будут рассмотрены следующие стратегии решения проблем:
Тема 1: Рисование изображения или диаграммы
Как теоретические, так и прикладные задачи будут использоваться, чтобы показать, как эскиз помогает понять и смоделировать проблему.
Тема 2: Использование дедукции
Учащиеся будут применять принципы логики для решения классических загадок, таких как загадки, связанные с цветными шляпами и личностью говорящего правду, в дополнение к нестандартным математическим задачам.
Тема 3: Упрощение
Студенты изучат методы уменьшения количества и сложности вычислений для упрощения задач, включающих операции с целыми числами, сложные дроби, факториалы и экспоненты.
Тема 4: Поиск шаблона
Учащиеся будут исследовать закономерности, включающие время, аддитивные числовые последовательности и повторное умножение.
Тема 5: Составление списка
В этой теме подробно рассматриваются стратегии составления списков для подсчета и расстановки, а также делимость и остатки, закладывая прочную основу для дальнейшей работы с более формальными концепциями модульной арифметики, теории чисел и комбинаторики.
Тема 6: Составление таблицы
Студенты используют таблицы для упорядоченного сравнения неизвестных величин для проверки возможных решений, что служит основой для других алгебраических методов в последующих курсовых работах.
Тема 7: Использование числовых операций
Студенты будут расширять свое понимание числовых операций и множителей по мере того, как они применяют методы для решения неизвестных цифр и полных магических квадратов.
Тема 8: Работа в обратном направлении
Эта тема знакомит студентов с различными ситуациями, для которых наилучшей стратегией является начало с заданного результата и работа в обратном направлении.
Тема 9: Базовая геометрия
Учащиеся развивают свою способность изменять зрительную перспективу, рассматривая различные подходы к нестандартным задачам области и периметра.
Тема 10: Оценка и устранение
Для понимания проблем и проверки обоснованности решений часто требуются сильные навыки оценки. В этой теме учащиеся применяют свое чувство числа, чтобы делать оценки, поскольку они сужают количество возможных решений проблем, связанных с показателями, делимостью и остатками.
Технические требования
Для этого курса требуется правильно обслуживаемый компьютер с высокоскоростным доступом в Интернет и современный веб-браузер (например, Chrome или Firefox). Студент должен иметь возможность общаться с инструктором по электронной почте. Посетите страницу "Технические требования и поддержка" для получения более подробной информации.
Виртуальный онлайн-класс Zoom
В этом курсе используется виртуальный онлайн-класс для обсуждения с инструктором. Класс работает на стандартных компьютерах с настольным клиентом Zoom, а также на планшетах или портативных компьютерах, поддерживающих приложение Zoom Mobile.Студентам, которые не могут посещать сеансы в реальном времени, понадобится компьютер с установленным клиентом Zoom для настольных ПК для просмотра записанных встреч. Настольный клиент Zoom и мобильное приложение Zoom доступны для бесплатной загрузки.
