Как научиться решать примеры с остатком


Деление с остатком. Формула деления с остатком и проверка. Примеры

Деление с остатком.

Рассмотрим простой пример:
15:5=3
В этом примере натуральное число 15 мы поделили нацело на 3, без остатка.

Иногда натуральное число полностью поделить нельзя нацело. Например, рассмотрим задачу:
В шкафу лежало 16 игрушек. В группе было пятеро детей. Каждый ребенок взял одинаковое количество игрушек. Сколько игрушек у каждого ребенка?

Решение:
Поделим число 16 на 5 столбиком получим:


Мы знаем, что 16 на 5 не делиться. Ближайшее меньшее число, которое делиться на 5 это 15 и 1 в остатке. Число 15 мы можем расписать как 5⋅3. В итоге (16 – делимое, 5 – делитель, 3 – неполное частное, 1 — остаток). Получили формулу деления с остатком, по которой можно сделать проверку решения.

16=5⋅3+1

a=bc+d
a – делимое,
b – делитель,
c – неполное частное,
d – остаток.

Ответ: каждый ребенок возьмет по 3 игрушки и одна игрушка останется.

Остаток от деления

Остаток всегда должен быть меньше делителя.

Если при делении остаток равен нулю, то это значит, что делимое делиться нацело или без остатка на делитель.

Если при делении остаток больше делителя, это значит, что найденное число не самое большое. Существует число большее, которое поделит делимое и остаток будет меньше делителя.

Вопросы по теме “Деление с остатком”:
Остаток может быть больше делителя?
Ответ: нет.

Остаток может быть равен делителю?
Ответ: нет.

Как найти делимое по неполному частному, делителю и остатку?
Ответ: значения неполного частного, делителя и остатка подставляем в формулу и находим делимое. Формула:
a=b⋅c+d
(a – делимое, b – делитель, c – неполное частное, d – остаток.)

Пример №1:
Выполните деление с остатком и сделайте проверку: а) 258:7 б) 1873:8

Решение:
а) Делим столбиком:

258 – делимое,
7 – делитель,
36 – неполное частное,
6 – остаток. Остаток меньше делителя 6<7.

Подставим в формулу и проверим правильно ли мы решили пример:
7⋅36+6=252+6=258

б) Делим столбиком:

1873 – делимое,
8 – делитель,
234 – неполное частное,
1 – остаток. Остаток меньше делителя 1<8.

Подставим в формулу и проверим правильно ли мы решили пример:
8⋅234+1=1872+1=1873

Пример №2:
Какие остатки получаются при делении натуральных чисел: а) 3 б)8?

Ответ:
а) Остаток меньше делителя, следовательно, меньше 3. В нашем случае остаток может быть равен 0, 1 или 2.
б) Остаток меньше делителя, следовательно, меньше 8. В нашем случае остаток может быть равен 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 или 7.

Пример №3:
Какой наибольший остаток может получиться при делении натуральных чисел: а) 9 б) 15?

Ответ:
а) Остаток меньше делителя, следовательно, меньше 9. Но нам надо указать наибольший остаток. То есть ближайшее число к делителю. Это число 8.
б) Остаток меньше делителя, следовательно, меньше 15. Но нам надо указать наибольший остаток. То есть ближайшее число к делителю. Это число 14.

Пример №4:
Найдите делимое: а) а:6=3(ост.4) б) с:24=4(ост.11)

Решение:
а) Решим с помощью формулы:
a=b⋅c+d
(a – делимое, b – делитель, c – неполное частное, d – остаток.)
а:6=3(ост.4)
(a – делимое, 6 – делитель, 3 – неполное частное, 4 – остаток.) Подставим цифры в формулу:
а=6⋅3+4=22
Ответ: а=22

б) Решим с помощью формулы:
a=b⋅c+d
(a – делимое, b – делитель, c – неполное частное, d – остаток.)
с:24=4(ост.11)
(с – делимое, 24 – делитель, 4 – неполное частное, 11 – остаток.) Подставим цифры в формулу:
с=24⋅4+11=107
Ответ: с=107

Задача:

Проволоку 4м. нужно разрезать на куски по 13см. Сколько таких кусков получится?

Решение:
Сначала надо метры перевести в сантиметры.
4м.=400см.
Можно поделить столбиком или в уме получим:
400:13=30(ост.10)
Проверим:
13⋅30+10=390+10=400

Ответ: 30 кусков получиться и 10 см. проволоки останется.

python - как вычисляется остаток по модулю при решении дробей?

Переполнение стека
  1. Около
  2. Товары
  3. Для команд
  1. Переполнение стека Общественные вопросы и ответы
  2. Переполнение стека для команд Где разработчики и технологи делятся частными знаниями с коллегами
  3. Вакансии Программирование и связанные с ним технические возможности карьерного роста
  4. Талант Нанимайте технических специалистов и создавайте свой бренд работодателя
.

Как найти остаток от деления в C?

Переполнение стека
  1. Около
  2. Товары
  3. Для команд
  1. Переполнение стека Общественные вопросы и ответы
  2. Переполнение стека для команд Где разработчики и технологи делятся частными знаниями с коллегами
  3. Вакансии Программирование и связанные с ним технические возможности карьерного роста
  4. Талант Нанимайте технических специалистов и создавайте свой бренд работодателя
.

Рекурсивное программирование. Как решить проблему, притворившись… | by Tom Grigg

Как решить проблему, притворившись, что у вас уже есть

Несмотря на то, что концепция рекурсии часто вводится на раннем этапе в большинстве предприятий в программировании, концепция рекурсии может показаться странной и потенциально отталкивающей при первом знакомстве с ней. Это кажется почти парадоксальным: как найти решение проблемы, используя решение той же проблемы?

Рекурсия может быть немного головной болью

Для тех, кто пытается разобраться с концепцией рекурсии, я часто чувствую, что может быть полезно сначала понять, что рекурсия - это больше, чем просто программная практика - это философия решения проблем это подходит для проблем, которые можно проработать и частично решить, оставив остальную часть проблемы в той же форме, но более легкую или меньшую в некотором роде.Это относится не только к функциям в программировании; мы можем сформулировать простые повседневные проблемы с помощью рекурсии. Например, возьмем, как я пишу этот пост: скажем, я хочу сделать его длиной около 1000 слов, если я стремлюсь писать 100 слов каждый раз, когда открываю его, тогда в первый раз я пишу 100 слов и оставляю себе 900 слов осталось написать. В следующий раз я напишу 100 слов, а осталось только 800. Я могу продолжать, пока у меня не останется 0 слов. Каждый раз я частично решаю проблему, а оставшаяся проблема уменьшается.

Код для написания моего сообщения может выглядеть так:

 write_words (words_left): 
, если осталось слов> 0:
write_100_words ()
words_left = words_left - 100
write_words (words_left)

Я мог бы также реализовать этот алгоритм итеративно:

 write_words (words_left): 
while words_left> 0:
write_100_words ()
words_left = words_left - 100

Если вы пройдете вызов функции write_words (1000) через любую реализацию, вы обнаружите, что они имеют точно такое же поведение.Фактически, любую проблему, которую мы можем решить с помощью рекурсии, мы также можем решить с помощью итераций ( для и , а также циклов). Так почему бы нам вообще использовать рекурсию?

Я пишу этот пост рекурсивно

Почему рекурсия?

Хотите верьте, хотите нет, но как только мы разберемся с этим, некоторые проблемы легче решить с помощью рекурсии, чем с помощью итераций. Иногда рекурсия более эффективна, а иногда более читаема; иногда рекурсия не быстрее и не читабельнее, но быстрее реализуется.Существуют структуры данных, такие как деревья, которые хорошо подходят для рекурсивных алгоритмов. Есть даже некоторые языки программирования, в которых отсутствует концепция цикла - чисто функциональные языки, такие как Haskell, полностью зависят от рекурсии для итеративного решения проблем. Суть проста: вам не нужно понимать рекурсию, чтобы быть программистом, но вам нужно понимать рекурсию, чтобы начать, чтобы стать хорошим программистом . На самом деле, я бы даже сказал, что понимание рекурсии - это часть умения решать проблемы, не говоря уже о программировании!

Суть рекурсии

В общем, с помощью рекурсии мы пытаемся разбить более сложную проблему на простой шаг к решению и остаток, который является более простой версией той же проблемы.Затем мы можем повторять этот процесс, каждый раз делая один и тот же шаг к решению, пока не дойдем до версии нашей проблемы с очень простым решением (называемым базовым случаем). Простое решение нашего базового случая в совокупности с шагами, которые мы предприняли для его достижения, формирует решение нашей исходной проблемы.

Мы можем решить P, разбив проблему на шаг к решению и оставшуюся меньшую задачу той же формы, что и исходная, до тех пор, пока мы не достигнем простого решения небольшой проблемы (базовый случай).

Предположим, нам даны некоторые реальные данные некоторого типа данных, назовем это dₒ. Идея рекурсии состоит в том, чтобы притвориться, что мы уже решили проблему или вычислили желаемую функцию f для всех форм этого типа данных, которые проще, чем dₒ, в соответствии с некоторой степенью сложности , которую нам нужно определить. Затем, если мы сможем найти способ выразить f (dₒ) через один или несколько f (d) s, где все эти d s менее сложны (имеют меньшую градусов ), чем dₒ , то мы нашли способ уменьшить и решить для f (dₒ) .Мы повторяем этот процесс и надеемся, что в какой-то момент оставшиеся f (d) s станут настолько простыми, что мы сможем легко реализовать для них фиксированное закрытое решение. Затем наше решение исходной проблемы проявится по мере того, как наши решения все более простых задач объединяются и каскадом возвращаются наверх.

В приведенном выше примере написания этого поста данные - это текст, содержащийся в этом документе, ожидающий записи, а степень сложности и - длина документа.Это немного надуманный пример, но если предположить, что я уже решил задачу f (900) о том, как написать 900 слов, то все, что мне нужно сделать для решения f (1000) , - это написать 100 слов и затем выполните мое решение для 900 слов, f (900) .

Лучшим примером является рассмотрение чисел Фибоначчи, где первое число Фибоначчи равно 0, второе равно 1, а число Фибоначчи n ᵗʰ равно сумме двух предыдущих. Допустим, у нас есть функция Фибоначчи, которая сообщает нам n ᵗʰ число Фибоначчи:

 fib (n): 
if n == 0:
return 0
if n == 1:
return 1
else:
return fib (n-1) + fib (n-2)

Как выглядит выполнение этой функции? Давайте попробуем fib (4) :

Визуализация дерева рекурсии, показывающая рекурсивные вычисления, которые приводят к fib (4) = 3, обратите внимание, что вычисления выполняются в первую очередь в глубину.

Полезная мантра, которую следует использовать при рекурсивном решении проблем: « притворитесь, пока не сделаете это» , то есть представьте, что вы уже решили проблему для более простого случая, а затем попытайтесь уменьшить более крупную проблему, используя решение для этого более простого случая. Если проблема подходит для рекурсии, на самом деле должно быть только небольшое количество простых случаев, которые вам нужно явно решить, т.е. этот метод сведения к более простой задаче можно использовать для решения всех остальных случаев. Это проиллюстрировано в примере Фибоначчи fib , где для определения fib (n) мы просто действуем так, как будто мы уже вычислили fib (n-1) и fib (n-2) и, как мы надеялись, , это каскадирует и сводит проблему к все более простым случаям, пока мы не достигнем fib (0) и fib (1) , которые имеют фиксированные и простые решения.

Подделывайте, пока не сделаете это!

Рекурсия имеет несколько нюансов и действительно зависит от того, какую проблему вы пытаетесь решить. Однако есть некоторые общие шаги, которые мы можем придумать, которые могут более или менее вести нас в правильном направлении. Эта стратегия состоит из трех этапов:

  1. Упорядочить данные
  2. Решить маленькие дела
  3. Решить большие дела

Как я уже сказал ранее, я думаю, что может быть полезно провести пример, когда мы узнаем , но помните, что рекурсия зависит от проблемы, поэтому постарайтесь сосредоточиться здесь на общих принципах.Мы будем использовать простой пример переворота строки, т.е. мы хотим написать функцию перевернуть так, чтобы reverse ('Hello world') = 'dlrow olleH' . Я бы порекомендовал вернуться и посмотреть, как эти шаги применимы к функции Фибоначчи, а затем попробовать их на некоторых других примерах (в Интернете есть множество упражнений).

Упорядочьте данные

Этот шаг является ключевым для начала рекурсивного решения проблемы, но его часто не замечают или не выполняют неявно.С какими бы данными мы ни работали, будь то числа, строки, списки, бинарные деревья или люди, необходимо явно найти соответствующий порядок, который даст нам направление для решения проблемы. Этот порядок полностью зависит от проблемы, но для начала стоит подумать об очевидном порядке: числа идут со своим собственным порядком, строки и списки могут быть упорядочены по их длине, двоичные деревья могут быть упорядочены по глубине, а люди могут быть упорядочены. бесконечным количеством разумных способов, например.грамм. рост, вес или звание в организации. Как упоминалось ранее, этот порядок должен соответствовать степени сложности для проблемы, которую мы пытаемся решить.

Закажите эти данные, ага!

После того, как мы упорядочили наши данные, мы можем думать о них как о чем-то, что мы можем уменьшить. Фактически, мы можем записать наш порядок в виде последовательности:

0 , 1 , 2 ,…, n для целых чисел (т.е. для целых данных d , степень (d) = d )

[], [■], [■, ■],…, [■,…, ■] для списков
(примечание len = 0, len = 1,…, len = n i.е. для данных списка d , степень (d) = len (d) )

Двигаясь справа налево, мы переходим через общие («большие») случаи к базовым («маленьким») случаям. В нашем примере обратный , мы работаем со строкой, и мы можем выбрать длину строки в качестве порядка или градуса нашей задачи.

Разбирай маленькие дела

Обычно это самая простая часть. Как только у нас будет правильный порядок, нам нужно посмотреть на мельчайшие элементы в нашем порядке и решить, как мы будем их обрабатывать.Обычно существует очевидное решение: в случае reverse (s) , как только мы дойдем до len (s) == 0 и у нас будет reverse ('') , тогда мы знаем наш ответ, потому что пустая строка ничего не сделает, т. е. мы просто вернем пустую строку, поскольку у нас нет символов для перемещения. После того, как мы решили наши базовые случаи и знаем свой порядок, решение общего случая так же просто, как уменьшение проблемы таким образом, чтобы градуса данных, с которыми мы работаем, переместились в сторону базовых случаев.Мы должны быть осторожны, чтобы не пропустить ни одного небольшого случая: причина, по которой они называются базовыми случаями, заключается в том, что они покрывают основу упорядочения - в более сложных задачах рекурсии обычно пропускают базовый случай, поэтому что шаг сокращения проходит мимо разумного конца нашего порядка и начинает работать с бессмысленными данными или приводит к ошибке.

Решайте важные дела

Здесь мы обрабатываем данные прямо в нашем порядке, то есть данные высокой степени. Обычно мы рассматриваем данные произвольной степени градуса и стремимся найти способ решения проблемы, сводя ее к выражению, содержащему ту же проблему меньшей степени градуса , т.е.грамм. в нашем примере Фибоначчи мы начали с произвольного n и уменьшили fib (n) до fib (n-1) + fib (n-2) , что является выражением, содержащим два экземпляра задачи, с которой мы начали , меньшей степени (n-1 и n-2 соответственно).

Большой футляр?

Когда дело доходит до , обратного , мы можем рассматривать произвольную строку длиной n , и мы можем притвориться, что наша функция reverse работает со всеми строками длиной менее n. Как мы можем использовать это, чтобы решить задачу для строки длиной n ? Что ж, мы могли бы просто перевернуть строку, содержащую все, кроме последнего символа, и затем вставить этот последний символ впереди. В коде:

 reverse (строка) = reverse (строка [-1]) + reverse (строка [: - 1]) 

, где строка [-1] соответствует последнему символу, а строка [: - 1] соответствует строке без последнего символа (это питонизмы). Этот последний обратный (строка [: - 1]) член является нашей исходной задачей, но работает со строкой длиной n-1 , т.е.е. мы выразили нашу первоначальную проблему в виде шага к решению в сочетании с той же проблемой пониженной степени.

Объединяя решение для нашей функции reverse , мы получаем следующее:

 reverse (string): 
if len (string) == 0:
return ''
else:
return string [-1] + reverse (string [: - 1])
Визуализация рекурсивной функции reverse, работающей с некоторыми выборочными данными.

Часто необходимо учитывать несколько рекурсивных случаев, поскольку данные одного типа данных могут принимать несколько разные формы, но это полностью зависит от проблемы.В качестве примера рассмотрим, что если бы мы хотели сгладить список элементов, некоторые из которых сами могут быть списками, нам нужно было бы различать случаи, когда элемент, который мы извлекаем из списка, является отдельным элементом или подсписком, ведущим как минимум до двух рекурсивных случаев.

.

Как научить делению в столбик: пошаговый метод

В этой статье я объясню, как обучить делению в столбик в несколько шагов. Вместо того, чтобы показывать студентам сразу весь алгоритм, мы искренне воспринимайте это «шаг за шагом».

До ребенок готов учить деление в столбик, он должен знать:

  • таблицы умножения (по крайней мере неплохо)
  • базовая концепция деления, основанная на таблицах умножения
    (например, 28 ÷ 7 или 56 ÷ 8)
  • базовое деление с остатками (например, 54 ÷ 7 или 23 ÷ 5)

Одна из причин, почему деление в столбик затруднено

Деление в длину - это алгоритм, который повторяет основные шаги
1) Делить; 2) Умножить; 3) Вычесть; 4) Отбросьте следующую цифру.

Из этих шагов №2 и №3 могут стать трудными и запутать учащихся, потому что они, по-видимому, не имеют отношения к разделению - они имеют отношение к нахождению остатка. На самом деле, чтобы указать на это, мне нравится объединять их в один "умножить и вычесть" шаг.

Чтобы избежать путаницы, я рекомендую обучать полному делению в таком мода на то, что дети сначала НЕ подвергаются всем этим шагам. Вместо этого вы можете научить этому в несколько «ступенек»:

  • Шаг 1: Все цифры четные.Здесь студенты отрабатывают только разделительную часть.
  • Шаг 2: Остаток в единицах. Сейчас, студенты практикуют часть "умножить и вычесть" и связать это с поиском остаток.
  • Шаг 3: Остаток в десятках. Ученики теперь используйте весь алгоритм, в том числе «отбрасывание следующей цифры», с использованием 2-значного дивиденды.
  • Шаг 4: Остаток в любом месте ценности. Студенты практикуют весь алгоритм, используя более длинные дивиденды.

Шаг 1. Деление четное по всем цифрам

Мы делим числа, в которых каждая цифра сотен, десятков и единиц делится на делитель без остатка. ЦЕЛЬ на этом первом легком шаге чтобы студенты привыкли к двум вещам:

  1. Чтобы привыкнуть к большому делению «угол», чтобы частное писалось сверху.
  2. Чтобы привыкнуть спрашивать, сколько раз делитель переходит в различные цифры делимого.

Ниже приведены примеры проблем для этого шага. Студенты должны проверить каждый деление на умножение.

На этом этапе ученики также учатся смотреть на первые две цифры делимого, если делитель не «входит» в первую цифру:

ч до
0
4
.

Смотрите также