Как научиться решать производные
Найти производную: алгоритм и примеры решений
Операция отыскания производной называется дифференцированием.
В результате решения задач об отыскании производных у самых простых (и не очень простых) функций по определению производной как предела отношения приращения к приращению аргумента появились таблица производных и точно определённые правила дифференцирования. Первыми на ниве нахождения производных потрудились Исаак Ньютон (1643-1727) и Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716).
Поэтому в наше время, чтобы найти производную любой функции, не надо вычислять упомянутый выше предел отношения приращения функции к приращению аргумента, а нужно лишь воспользоваться таблицей производных и правилами дифференцирования. Для нахождения производной подходит следующий алгоритм.
Чтобы найти производную, надо выражение под знаком штриха разобрать на составляющие простые функции и определить, какими действиями (произведение, сумма, частное) связаны эти функции. Далее производные элементарных функций находим в таблице производных, а формулы производных произведения, суммы и частного - в правилах дифференцирования. Таблица производных и правила дифференцирования даны после первых двух примеров.
Пример 1. Найти производную функции
.
Решение. Из правил дифференцирования выясняем, что производная суммы функций есть сумма производных функций, т. е.
.
Из таблицы производных выясняем, что производная "икса" равна единице, а производная синуса - косинусу. Подставляем эти значения в сумму производных и находим требуемую условием задачи производную:
.
Пример 2. Найти производную функции
.
Решение. Дифференцируем как производную суммы, в которой второе слагаемое с постоянным множителем, его можно вынести за знак производной:
Если пока возникают вопросы, откуда что берётся, они, как правило, проясняются после ознакомления с таблицей производных и простейшими правилами дифференцирования. К ним мы и переходим прямо сейчас.
Правило 1. Если функции
дифференцируемы в некоторой точке , то в той же точке дифференцируемы и функции
причём
т.е. производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций.
Следствие. Если две дифференцируемые функции отличаются на постоянное слагаемое, то их производные равны, т.е.
Правило 2. Если функции
и
дифференцируемы в некоторой точке , то в то же точке дифференцируемо и их произведение
причём
т.е. производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой.
Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной:
Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные.
Например, для трёх множителей:
Правило 3. Если функции
и
дифференцируемы в некоторой точке и , то в этой точке дифференцируемо и их частное u/v , причём
т.е. производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя.
Где что искать на других страницах
При нахождении производной произведения и частного в реальных задачах всегда требуется применять сразу несколько правил дифференцирования, поэтому больше примеров на эти производные - в статье "Производная произведения и частного функций".
Здесь же (далее) - более простые примеры на производную произведения и частного, на которых Вы увереннее освоите алгоритмы вычислений.
Замечание. Следует не путать константу (то есть, число) как слагаемое в сумме и как постоянный множитель! В случае слагаемого её производная равна нулю, а в случае постоянного множителя она выносится за знак производных. Это типичная ошибка, которая встречается на начальном этапе изучения производных, но по мере решения уже нескольких одно- двухсоставных примеров средний студент этой ошибки уже не делает.
А если при дифференцировании произведения или частного у вас появилось слагаемое u'v, в котором u - число, например, 2 или 5, то есть константа, то производная этого числа будет равна нулю и, следовательно, всё слагаемое будет равно нулю (такой случай разобран в примере 10).
Другая частая ошибка - механическое решение производной сложной функции как производной простой функции. Поэтому производной сложной функции посвящена отдельная статья. Но сначала будем учиться находить производные простых функций.
По ходу не обойтись без преобразований выражений. Для этого может потребоваться открыть в новых окнах пособия Действия со степенями и корнями и Действия с дробями.
Если Вы ищете решения производных дробей со степенями и корнями, то есть, когда функция имеет вид вроде , то следуйте на занятие "Производная суммы дробей со степенями и корнями".
Если же перед Вами задача вроде , то Вам на занятие "Производные простых тригонометрических функций".
Пример 3. Найти производную функции
.
Решение. Определяем части выражения функции: всё выражение представляет произведение, а его сомножители - суммы, во второй из которых одно из слагаемых содержит постоянный множитель. Применяем правило дифференцирования произведения: производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой:
Далее применяем правило дифференцирования суммы: производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций. В нашем случае в каждой сумме второе слагаемое со знаком минус. В каждой сумме видим и независимую переменную, производная которой равна единице, и константу (число), производная которой равна нулю. Итак, "икс" у нас превращается в единицу, а минус 5 - в ноль. Во втором выражении "икс" умножен на 2, так что двойку умножаем на ту же единицу как производную "икса". Получаем следующие значения производных:
Подставляем найденные производные в сумму произведений и получаем требуемую условием задачи производную всей функции:
А проверить решение задачи на производную можно на калькуляторе производных онлайн.
Пример 4. Найти производную функции
Решение. От нас требуется найти производную частного. Применяем формулу дифференцирования частного: производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя. Получаем:
Производную сомножителей в числителе мы уже нашли в примере 2. Не забудем также, что произведение, являющееся вторым сомножителем в числителе в текущем примере берётся со знаком минус:
Если Вы ищете решения таких задач, в которых надо найти производную функции, где сплошное нагромождение корней и степеней, как, например, , то добро пожаловать на занятие "Производная суммы дробей со степенями и корнями".
Если же Вам нужно узнать больше о производных синусов, косинусов, тангенсов и других тригонометрических функций, то есть, когда функция имеет вид вроде , то Вам на урок "Производные простых тригонометрических функций".
Пример 5. Найти производную функции
Решение. В данной функции видим произведение, один из сомножителей которых - квадратный корень из независимой переменной, с производной которого мы ознакомились в таблице производных. По правилу дифференцирования произведения и табличному значению производной квадратного корня получаем:
Проверить решение задачи на производную можно на калькуляторе производных онлайн.
Пример 6. Найти производную функции
Решение. В данной функции видим частное, делимое которого - квадратный корень из независимой переменной. По правилу дифференцирования частного, которое мы повторили и применили в примере 4, и табличному значению производной квадратного корня получаем:
Чтобы избавиться от дроби в числителе, умножаем числитель и знаменатель на :
Проверить решение задачи на производную можно на калькуляторе производных онлайн.
Ещё больше домашних заданий на нахождение производных
Пример 12. Найти производную функции
.
Решение. Применяя правила вычисления производной алгебраической суммы функций, вынесения постоянного множителя за знак производной и формулу производной степени (в таблице производных - под номером 3), получим
.
Пример 13. Найти производную функции
Решение. Применим правило дифференцирования произведения, а затем найдём производные сомножителей, так же, как в предыдущей задаче, пользуясь формулой 3 из таблицы производных. Тогда получим
Пример 14. Найти производную функции
Решение. Как и в примерах 4 и 6, применим правило дифференцирования частного:
Теперь вычислим производные в числителе и перед нами уже требуемый результат:
Пример 15.Найти производную функции
Шаг1. Применяем правило дифференцирования суммы:
Шаг2. Найдём производную первого слагаемого. Это табличная производная квадратного корня (в таблице производных - номер 5):
Шаг3. В частном знаменатель - также корень, только не квадратный. Поэтому преобразуем этот корень в степень:
и далее дифференцируем частное, не забывая, что число 2 в первом слагаемом числителя - это константа, производная которой равна нулю, и, следовательно всё первое слагаемое равно нулю:
Корень из константы, как не трудно догадаться, является также константой, а производная константы, как мы знаем из таблицы производных, равна нулю:
,
а производная, требуемая в условии задачи:
Ещё больше домашних заданий на нахождение производных
Напоминаем, что чуть более сложные примеры на производную произведения и частного - в статьях "Производная произведения и частного функций" и "Производная суммы дробей со степенями и корнями".
Также настоятельно рекомендуем изучить производную сложной функции.
Поделиться с друзьями
Весь блок "Производная"
Введение в производные инструменты
Все дело в наклоне!
| Наклон = Изменение Y Изменение X |
| Мы можем найти средний уклон между двумя точками.
| ||
| Но как найти наклон в точке ? Измерять нечем! | ||
| Но с производными мы используем небольшую разницу... ... затем уменьшите его до нуля . |
Давайте найдем производную!
Чтобы найти производную функции y = f (x), воспользуемся формулой наклона:
Наклон = Изменение в Y Изменение в X = Δy Δx
И (из схемы) видим, что:
| x отличается от | х | Спо | х + Δx | |
| г отличается от | ф (х) | Спо | f (x + Δx) |
Теперь выполните следующие действия:
- Заполните эту формулу наклона: Δy Δx = f (x + Δx) - f (x) Δx
- Упростите как можно лучше
- Затем сделайте Δx сжатием до нуля.
Как это:
Пример: функция f (x) = x 2
Нам известно f (x) = x 2 , и мы можем вычислить f (x + Δx) :
| Начать с: | f (x + Δx) = (x + Δx) 2 | |
| Развернуть (x + Δx) 2 : | f (x + Δx) = x 2 + 2x Δx + (Δx) 2 |
Формула наклона: f (x + Δx) - f (x) Δx
Положите f (x + Δx) и f (x) : x 2 + 2x Δx + (Δx) 2 - x 2 Δx
Упростить (x 2 и −x 2 отменить): 2x Δx + (Δx) 2 Δx
Еще больше упростить (разделить на Δx): = 2x + Δx
Затем , поскольку Δx направляется к 0 , мы получаем: = 2x
Результат: производная x 2 равна 2x
Другими словами, наклон в точке x равен 2x
Мы пишем dx вместо "Δx голов в сторону 0" .
А «производная от» обычно пишется:
x 2 = 2x
"Производная x 2 равна 2x "
или просто "d dx от x 2 равно 2x "
Что означает x 2 = 2x?
Это означает, что для функции x 2 наклон или «скорость изменения» в любой точке составляет 2x .
Итак, когда x = 2 , наклон равен 2x = 4 , как показано здесь:
Или, когда x = 5 , наклон составляет 2x = 10 и так далее.
Примечание: иногда f ’(x) также используется для обозначения" производной от ":
f ’(x) = 2x
" Производная f (x) равна 2x "
или просто " f-тире x равно 2x "
Попробуем другой пример.
Пример: Что такое x 3 ?
Мы знаем f (x) = x 3 и можем вычислить f (x + Δx) :
| Начать с: | f (x + Δx) = (x + Δx) 3 | |
| Развернуть (x + Δx) 3 : | f (x + Δx) = x 3 + 3x 2 Δx + 3x (Δx) 2 + (Δx) 3 |
Формула наклона: f (x + Δx) - f (x) Δx
Положите f (x + Δx) и f (x) : x 3 + 3x 2 Δx + 3x (Δx) 2 + (Δx) 3 - x 3 Δx
Упростить (x 3 и −x 3 отменить): 3x 2 Δx + 3x (Δx) 2 + (Δx) 3 Δx
Еще больше упростить (разделить на Δx): = 3x 2 + 3x Δx + (Δx) 2
Тогда , поскольку Δx направляется к 0 , получаем: = 3x 2
Результат: производная x 3 равна 3x 2
Поиграйте с этим с помощью плоттера производных.
Производные от других функций
Мы можем использовать тот же метод для вычисления производных других функций (например, синуса, косинуса, логарифмов и т. Д.).
Пример: какова производная sin (x)?
В правилах производных финансовых инструментов он указан как cos (x)
Готово.
Использование правил может быть сложной задачей!
Пример: какова производная от cos (x) sin (x)?
Вы не можете просто найти производную от cos (x) и умножить ее на производную от sin (x)... вы должны использовать «Правило продукта», как описано на странице «Производные правила».
На самом деле получается cos 2 (x) - sin 2 (x)
Итак, это ваш следующий шаг: научитесь использовать правила.
Обозначение
«Сжимать к нулю» на самом деле записывается как предел, например:
"Производная f равна пределу, поскольку Δx стремится к нулю f (x + Δx) - f (x) по Δx"
Или иногда производная записывается так (объяснено в Производных как dy / dx):
Процесс нахождения производной называется «дифференцированием».
Вы, , проводите дифференциацию ... до получаете производную.
Куда дальше?
Иди и узнай, как находить деривативы с помощью правил деривативов, и получи много практики:
.
Взятие производных на Python. Узнайте, как работать с математической частью… | Дарио Радечич
Это будет что-то, что будет описано в вашем классе Calc 1 или онлайн-курсе, включая только функции, которые имеют дело с отдельными переменными, например, f (x) . Цель состоит в том, чтобы пройти некоторые основные правила дифференциации, пройти их вручную, а затем на Python. Давайте начнем.
Правило мощности
Правило мощности утверждает следующее:
Что довольно понятно, если вы слушали какой-то класс calc раньше.Если нет, давайте рассмотрим простой пример. Ваша функция f (x) равна x до пятой. Теперь используйте правило мощности, чтобы вычислить производную. Это довольно просто:
Теперь давайте посмотрим, как вычислить это в Python. Первым делом нужно импортировать библиотеку, а затем объявить переменную, которую вы будете использовать в качестве буквы в своих функциях. Вот как это сделать для функции с одной переменной:
После того, как эти ячейки выполнены, становится тривиальной задачей взять производную ( та же функция, что и выше ):
Обратите внимание на это красивое форматирование печати - выглядит как уравнение написано в LaTeX!
Правило продукта
Правило произведения гласит, что если f (x) и g (x) являются двумя дифференцируемыми функциями, то производная вычисляется как первая функция, умноженная на производную второй плюс второй раз производная от первого.Это могло показаться немного запутанным, если выразить это словами, поэтому вот обозначение:
Давайте посчитаем один пример вручную. У нас есть следующее:
Как видите, квадрат x плюс 1 будет f (x) , а косинус x будет g (x) . А вот как это сделать на Python:
Также просто. Обязательно посмотрите, где вы ставите эти скобки. Также обратите внимание, что вы не можете использовать косинус из math или numpy библиотек, вам нужно использовать один из sympy .
Правило цепочки
Если вы решите глубже погрузиться в алгоритмы машинного обучения, вы увидите, что правило цепочки всплывает повсюду - градиентный спуск , обратное распространение , вы называете это. Он имеет дело с вложенными функциями, например f (g (x)) , и заявляет, что производная вычисляется как производная внешней функции, умноженная на внутреннюю функцию, а затем все умноженные на производную внутренней функции. . Вот обозначение:
А вот простой пример, рассчитанный вручную:
Реализация Python снова настолько проста, насколько это возможно:
.xslt - как решать производные с xml?
Переполнение стека- Около
- Товары
- Для команд
- Переполнение стека Общественные вопросы и ответы
- Переполнение стека для команд Где разработчики и технологи делятся частными знаниями с коллегами
