Практические вопросы

1. Найдите все корни, действительные и мнимые, из x ² + 9 = 0.

2. Найдите все корни, действительные и мнимые, из x ² + 4 x + 7 = 0.

3. Найдите все корни, действительные и мнимые, из 5 x ² + 6 x + 3 = 0.

4. Найдите все корни, действительные и мнимые, x ⁴ + 12 x ² - 64 = 0.

Ниже приведены ответы на вопросы практики:

1. Ответ: x = 3 i , –3 i .

   Добавьте –9 к каждой стороне, чтобы получить x ² = –9.Извлеките квадратный корень из каждой стороны. Затем упростите выражение, используя i для отрицательного значения под корнем:

2. Ответ:

   Используйте формулу корней квадратного уравнения, чтобы найти x . Упростите выражение, используя i для отрицательного значения под корнем:

   

3. Ответ:

   Используйте формулу корней квадратного уравнения, чтобы найти x . Упростите выражение, используя i для отрицательного значения под корнем:

   

4. Ответ: x = 2, –2, 4 i , –4 i .

   Фактор левой части: ( x ² + 16) ( x ² - 4) = ( x ² + 16) ( x - 2) ( x + 2 ) = 0. Получите два действительных корня, установив x - 2 и x + 2 равными 0. Когда x ² + 16 = 0, вы обнаружите, что x ² = –16 . Извлечение квадратного корня из каждой стороны и использование i вместо –1 под корнем дает два мнимых корня.

Решение уравнений

Что такое уравнение?

Уравнение говорит, что две вещи равны. Знак равенства "=" будет выглядеть так:

Это уравнение говорит: то, что слева (x - 2) равно тому, что справа (4)

Таким образом, уравнение похоже на оператор ", это равно , что "

Что такое решение?

Решение - это значение, которое мы можем подставить вместо переменной (например, x ), которая делает уравнение истинным .

Пример: x - 2 = 4

Когда мы ставим 6 вместо x, получаем:

6–2 = 4

, что соответствует истинным

Итак, x = 6 - решение.

Как насчет других значений x?

• Для x = 5 мы получаем «5−2 = 4», что неверно , поэтому x = 5 не является решением .
• Для x = 9 мы получаем «9−2 = 4», что не соответствует действительности , поэтому x = 9 не является решением .
• и т. Д.

В этом случае x = 6 - единственное решение.

Возможно, вам захочется попрактиковаться в решении некоторых анимированных уравнений.

Более одного решения

Может быть более одного решения .

Пример: (x − 3) (x − 2) = 0

Когда x равно 3, получаем:

(3−3) (3−2) = 0 × 1 = 0

, что соответствует истинным

И когда x равно 2, получаем:

(2−3) (2−2) = (−1) × 0 = 0

, что также является истинным

Итак, решения:

x = 3 , или x = 2

Когда мы собираем все решения вместе, он называется набором решений

Приведенный выше набор решений: {2, 3}

Решения везде!

Некоторые уравнения верны для всех допустимых значений и называются Identities

Пример: sin (−θ) = −sin (θ) - одно из тригонометрических тождеств

Попробуем θ = 30 °:

sin (-30 °) = -0.5 и

−sin (30 °) = −0,5

Так что истинно для θ = 30 °

Попробуем θ = 90 °:

sin (-90 °) = -1 и

−sin (90 °) = −1

Так же истинно для θ = 90 °

Верно ли для все значения θ ? Попробуйте сами!

Как решить уравнение

Не существует "единого идеального способа" решить все уравнения.

Полезная цель

Но мы часто добиваемся успеха, когда наша цель - получить:

Другими словами, мы хотим переместить все, кроме «x» (или любого другого имени переменной), в правую часть.

Пример: Решить 3x − 6 = 9

Начать с: 3x − 6 = 9

Добавьте 6 к обеим сторонам: 3x = 9 + 6

Разделить на 3: x = (9 + 6) / 3

Теперь у нас x = что-то ,

и короткий расчет показывает, что x = 5

Как головоломка

Фактически, решение уравнения похоже на решение головоломки.И, как и в случае с головоломками, есть вещи, которые мы можем (и не можем) делать.

Вот что мы можем сделать:

Пример: Решить √ (x / 2) = 3

Начать с: √ (x / 2) = 3

Квадрат с обеих сторон: x / 2 ^{= 3 2}

Вычислить 3 ² = 9: x / 2 = 9

Умножьте обе стороны на 2: x = 18

И чем больше "трюков" и приемов вы изучите, тем лучше вы получите.

Специальные уравнения

Есть специальные способы решения некоторых типов уравнений.Узнайте, как ...

Проверьте свои решения

Вы всегда должны проверять, что ваше «решение» действительно - это решение.

Как проверить

Возьмите решения и поместите их в исходное уравнение , чтобы увидеть, действительно ли они работают.

Пример: найти x:

2x x - 3 + 3 = 6 x - 3 (x ≠ 3)

Мы сказали x ≠ 3, чтобы избежать деления на ноль.

Умножим на (x - 3):

2x + 3 (x − 3) = 6

Переместите 6 влево:

2x + 3 (x − 3) - 6 = 0

Разверните и решите:

2x + 3x - 9-6 = 0

5x - 15 = 0

5 (х - 3) = 0

х - 3 = 0

Это можно решить, если x = 3

Проверим:

2 × 3 3–3 + 3 = 6 3–3

Держись!
Это означает деление на ноль!

И вообще, мы сказали вверху, что x 3, так что...

x = 3 на самом деле не работает, поэтому:

Есть Нет Решение!

Это было интересно ... мы думали, что нашли решение, но когда мы оглянулись на вопрос, мы обнаружили, что это запрещено!

Это дает нам моральный урок:

«Решение» дает нам только возможные решения, их нужно проверять!

Подсказки

• Запишите, где выражение не определено (из-за деления на ноль, квадратного корня из отрицательного числа или по какой-либо другой причине)
• Показать все шаги , чтобы его можно было проверить позже (вами или кем-то еще)

Решение одношаговых линейных уравнений: сложение и вычитание

Purplemath

«Линейные» уравнения - это уравнения с простой старой переменной, такой как « x », а не с чем-то более сложным, например, x ² или ^x / _y , или квадратными корнями, или другими более сложные выражения.Линейные уравнения - это самые простые уравнения, с которыми вам придется иметь дело.

Вы, наверное, уже решили линейные уравнения; ты просто не знал этого. Еще в ранние годы, когда вы учились сложению, ваш учитель, вероятно, дал вам рабочие листы для выполнения, в которых были упражнения, подобные следующим:

Заполните поле: & квадрат; + 3 = 5

Заполните поле: & квадрат; + 3 = 5

Как только вы достаточно хорошо усвоили факты сложения, вы знали, что вам нужно поставить цифру «2» внутри квадрата.

MathHelp.com

Решение уравнений работает примерно так же, но теперь мы должны выяснить, что входит в x , а не то, что входит в коробку.Однако, поскольку сейчас мы старше, чем когда заполняли поля, уравнения также могут быть намного сложнее, и поэтому методы, которые мы будем использовать для решения уравнений, будут немного более продвинутыми.

В общем, чтобы решить уравнение для данной переменной, нам нужно «отменить» все, что было сделано с переменной. Мы делаем это для того, чтобы получить переменную отдельно; с технической точки зрения мы «изолируем» переменную. Это приводит к тому, что уравнение изменяется так, чтобы говорить: «(переменная) равно (некоторому числу)», где (некоторое число) - это ответ, который они ищут.Например:

Переменная - это буква x . Чтобы решить это уравнение, мне нужно получить x отдельно; то есть мне нужно получить x с одной стороны от знака «равно» и какое-то число с другой стороны.

Поскольку я хочу только x с одной стороны, это означает, что мне не нравится «плюс шесть», который в настоящее время находится на той же стороне, что и x . Поскольку 6 - это , добавленное к x , мне нужно вычесть из этого 6, чтобы избавиться от него.То есть мне нужно будет вычесть 6 из x , чтобы «отменить» их добавление к нему 6.

Это вызывает наиболее важное соображение с уравнениями:

Неважно, с каким уравнением мы имеем дело - линейным или каким-либо другим - что бы мы ни делали с одной стороной уравнения, мы должны сделать то же самое с и с другой стороной уравнения. В этом отношении уравнения похожи на малышей:

Мы должны быть полностью, полностью справедливыми по отношению к обеим сторонам, иначе последует несчастье!

Что бы вы ни делали с уравнением, проделайте ТОЧНО ТАК ЖЕ с ОБЕИМИ сторонами этого уравнения!

Вероятно, лучший способ отследить это вычитание 6 с обеих сторон - это отформатировать свою работу следующим образом:

Это изображение анимировано на «живой» странице.

Здесь вы видите, что я вычел 6 с обеих сторон, нарисовал горизонтальную полосу «равно» под всем уравнением, а затем сложил. В левой части (LHS) уравнения это дает мне:

x плюс ничего равно x , а 6 минус 6 равно нулю

В правой части уравнения (справа) у меня:

Решение - последнее направление моей работы; а именно:

Та же процедура «отмены» работает для уравнений, в которых переменная была объединена в пару с вычитанием.

Переменная находится в левой части (LHS) уравнения в паре с «вычесть три». Так как я хочу получить x отдельно, мне не нравится вычитаемая из него цифра «3». Противоположность вычитанию - это сложение, поэтому я отменю «вычитание 3», добавив 3 к обеим частям уравнения, а затем добавлю вниз для упрощения, чтобы получить ответ:

Тогда мой ответ:

Вас могут попросить «проверить свои решения», по крайней мере, на ранних этапах обучения решению уравнений.Чтобы выполнить эту «проверку», вам нужно всего лишь подставить свой ответ в исходное уравнение и убедиться, что вы получили верное утверждение. (В конце концов, это определение решения уравнения; а именно, решение - это любое значение или набор значений [для более сложных уравнений, позже], что делает исходное уравнение истинным.)

Итак, чтобы проверить мое решение приведенного выше уравнения, вы должны подставить «–2» вместо x в левую часть (LHS) исходного уравнения и проверить, что это упрощает, чтобы получить исходное значение. для правой части (RHS) уравнения:

Проверок:

LHS: (–2) - 3 = –5

RHS: –5

Поскольку каждая сторона исходного уравнения теперь дает одно и то же значение, это подтверждает, что решение действительно правильное.

• Решите 4 = x - 3 и проверьте свое решение.

На этот раз переменная находится в правой части (RHS) уравнения. Это нормально; не имеет значения, где находится переменная, пока я могу изолировать ее (то есть, пока я могу получить ее отдельно по одну сторону от знака «равно»).

В этом уравнении у меня есть тройка, вычтенная из переменной.Чтобы отменить вычитание, я добавлю по три с каждой стороны уравнения.

4 = х - 3
+3 + 3
----------
7 = х

(Я мог бы записать правую часть после добавления как « x + 0», но «плюс ноль» обычно игнорируется. Вот почему я перенес только x с правой стороны .)

Теперь, как часть моей практической работы, мне нужно показать, что я проверил это решение, вставив его обратно в правую часть исходного уравнения и подтвердив, что в итоге я получил левую часть исходного уравнения; то есть я получаю 4:

«Проверка» - это то, что я сделал выше.Я четко обозначил вещи, чтобы оценщик смог найти мой «чек» (так что я получу полную оценку за упражнение). Мой окончательный ответ:

Когда я решил последнее упражнение выше, переменная оказалась справа от знака «равно». Но в своем решении я написал ответ, указав переменную слева от знака «равно». Это довольно стандартно. Когда вы решаете, переменная окажется там, где она окажется.Когда вы записываете решение, переменная идет слева. Зачем? Так как.

Это уравнение почти решено. Но не совсем так. У меня нет старого доброго x с правой стороны; вместо этого у меня - x . Что делать?

Я могу представить - x как 0 - x . Итак, что произойдет, если я добавлю x к каждой стороне уравнения?

2 = –x
+ х + х
-------
х + 2 = 0

Хорошо; это помогло.Взяв переменную и «добавив ее на другую сторону», я получил переменную в том формате, который мне нравится. И это также преобразовало исходное уравнение в простое одношаговое уравнение. Я избавлюсь от двойки в левой части, «вычтя ее до» правой части:

х + 2 = 0
-2 = -2
----------
х = -2

Этот ответ имеет смысл.Если отрицательное значение переменной равняется положительным двум, то положительное значение переменной должно равняться отрицательным двум. Итак, мой ответ:

Технически, последний пример был двухэтапным уравнением, потому что для его решения требовалось прибавить одно к обеим сторонам уравнения, а затем вычесть другое к обеим сторонам. Важно отметить, что вы можете складывать и вычитать переменные с другой стороны уравнения, точно так же, как вы можете складывать и вычитать числа с другой стороны.Точно такие же методы работают как с переменными, так и с числами.

Вы можете использовать виджет Mathway ниже, чтобы попрактиковаться в решении линейного уравнения путем сложения или вычитания. Попробуйте выполнить указанное упражнение или введите свое собственное. Затем нажмите кнопку, чтобы сравнить свой ответ с ответом Mathway. (Или пропустите виджет и продолжите урок.)

(Нажмите «Нажмите, чтобы просмотреть шаги», чтобы перейти непосредственно на сайт Mathway для платного обновления.)

URL: https://www.purplemath.com/modules/solvelin.htm

math - Как решить сложные уравнения с двумя переменными в Python?

1. Около
2. Товары
3. Для команд

1. Переполнение стека Общественные вопросы и ответы
2. Переполнение стека для команд Где разработчики и технологи делятся частными знаниями с коллегами
3. Вакансии Программирование и связанные с ним технические возможности карьерного роста
4. Талант Нанимайте технических специалистов и создавайте свой бренд работодателя

Смотрите также

• 
  Как научиться отключать мозг от мыслей
• 
  Лонгборд как научиться кататься
• 
  Как научиться самому себе сосать
• 
  Как научиться видеть фотографию
• 
  Как научиться игнорировать человека которого любишь
• 
  Как научиться посылать любовь себе
• 
  Спиритизм как научиться
• 
  Как научиться управлять природой
• 
  Как научиться замечать детали
• 
  Как научиться строить из лего
• 
  Как научиться делать вертушку ногами в воздухе