Как научиться решать задачи по геометрии 9 класс огэ


тренинг по геометрии в 9 классе "Решение планиметрических задач из ОГЭ"

Решение планиметрических задач

из ОГЭ

Урок-тренинг по геометрии в 9 классе

Открытый урок-тренинг по геометрии в 9 классе

«Решение планиметрических задач из ОГЭ»

Цели урока:

• отработка умений решать задачи по планиметрии, предлагаемые в тестах ОГЭ;

• развитие внимания, памяти, логического мышления, интереса к предмету,

математически грамотной речи;

• воспитание трудолюбия, усидчивости, чувства ответственности,

познавательной активности.

Тип урока: урок-тренинг.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, сборник «Математика.

9 класс. Подготовка к ОГЭ – 2015» под редакцией Ф.Ф.Лысенко,

С.Ю.Кулабухова.

Ход урока

I. Организационный момент.

Сегодня у нас с вами урок по решению геометрических задач из ОГЭ, поскольку на экзамене по математике есть модуль «Геометрия». Занятие будет проходить в виде тренинга. Но сначала давайте еще раз скажем, почему важно изучать геометрию?

Геометрия – это не просто наука о свойствах геометрических

фигур. Геометрия – это целый мир, который окружает нас с

самого рождения. Ведь все, что мы видим вокруг, так или иначе

относится к геометрии, ничто не ускользает от ее внимательного

взгляда. Геометрия помогает человеку идти по миру с широко

открытыми глазами, учит внимательно смотреть вокруг и видеть

красоту обычных вещей, смотреть и думать, думать и делать

выводы.

В качестве эпиграфа нашего урока мы возьмем слова известного математика Пойа:

«Лучше решить одну задачу несколькими способами,

чем несколько задач – одним»

II. Актуализация знаний учащихся.

Задания на экзамене предлагаются каждый год разные. Мы с вами не можем знать заранее, какие задачи будут на экзамене. Поэтому, чтобы уверенно решать предложенные задачи, надо хорошо знать теорию, т.е. определения и формулировки теорем. Кроме того, в экзаменационной работе есть задание № 13, проверяющее, как ученик ориентируется в теоретическом материале. В каждом варианте в задании №13 предлагается по три вопроса, и надо из них выбрать либо верные утверждения, либо неверные. Иногда из-за одного пропущенного слова меняется смысл сказанного. Поэтому мы начнём наш тренинг с проверки знания теории.

На слайдах вы увидите задания, предлагавшиеся на экзамене в прошлом году, а также задания из сборника для подготовки к экзамену в 2015 году.

Какие из следующих утверждений верны?

1. Через любые три точки на плоскости можно провести окружность.

Неверно.

2. Площадь трапеции равна половине высоты, умноженной на разность

оснований.

Неверно.

3. Существует прямоугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны.

Верно.

4. В любой четырехугольник можно вписать окружность.

Неверно.

5. Отношение площадей подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

Неверно.

6. Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей.

Неверно.

7. Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно

диаметру описанной окружности.

Верно.

8. Одна из высот прямоугольного треугольника всегда делит его на два

подобных треугольника.

Верно.

9. Биссектрисы любого треугольника точкой пересечения делятся в отношении

2 : 1, считая от вершины.

Неверно.

10. Угол, вписанный в окружность, равен соответствующему центральному углу,

опирающемуся на ту же дугу.

Неверно.

11. Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны друг другу.

Верно.

12. Биссектрисы треугольника пересекаются в центре вписанной в него

окружности.

Верно.

III. Тренинг по решению задач.

Начнем мы с вами с решения задач из первой части экзамена, т.е. с задач, оцениваемых в 1 балл. Вы знаете, что на экзамене при решении этих задач надо только дать правильный ответ, записав его в бланк ответов.

Задача на 1 балл

В треугольнике АВС точка К – середина стороны ВС, точка Р лежит на отрезке АК, АР = 10, РК = 5, ВР = 9. Найдите ВМ.

Решение.

Т. к. точка К – середина стороны ВС, то АК – медиана. Точка Р делит АК в отношении . Значит, точка Р – точка пересечения медиан треугольника.

Следовательно, ВМ тоже медиана и РМ = 4,5.

ВМ = ВР + РМ = 9 + 4,5 = 13,5.

Ответ: 13,5.

Задача на 1 балл

Найдите длину отрезка АN, если радиус изображенной на рисунке окружности ОК =3, АК = 2.

Решение.

1 способ.

АN – касательная к окружности, АМ – секущая. Если из точки А к окружности проведены касательная и секущая, то квадрат отрезка касательной от точки А до точки касания равен произведению отрезков секущей от точки А до точек пересечения секущей с окружностью. АN2 = АКАМ = 2 ∙ 8 = 16 АN = 4.

2 способ

Проведем радиус ОN. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания. Значит, ∆АNО – прямоугольный. АО = 5, NО = 3. По теореме Пифагора .

3 способ

. По основному тригонометрическому тождеству .

. .

Ответ: 4.

Во второй части экзаменационной работы есть задачи на 2, 3 и 4 балла.

Задача на 2 балла

В параллелограмме АВСD биссектриса острого угла С пересекает сторону АВ в точке М. Найдите расстояние от В до прямой СМ, если СМ = 30, СВ = 17.

Решение.

Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, проведенного из этой точки к прямой. Проведем из точки В к прямой СМ перпендикуляр ВН.

Значит, ρ(В; СМ) = ВН.

Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник. Значит, ∆СВМ – равнобедренный. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой. Следовательно, ВН – медиана, т.е.

СН = НМ = 15. По теореме Пифагора ВН = .

Ответ: 8.

Задача на 3 балла

В трапеции АВСD точка К – середина основания АВ. Известно, что СК = КD. Докажите, что трапеция равнобедренная.

Решение.

1 способ

Т. к. СК = КD, то ∆СКD – равнобедренный, а в равнобедренном треугольнике углы при основании равны . как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых DС и АВ секущей DК, как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых DС и АВ секущей СК.

Т. к. , то .

Рассмотрим ∆АКD и ∆ВКС. АК = КВ, DК = СК – по условию, − по доказанному, то ∆АКD = ∆ВКС по первому признаку равенства треугольников.

Из равенства треугольников следует, что АD= СВ трапеция АВСD – равнобедренная.

2 способ

Проведем высоты DН и СМ. ∆DКН = ∆СКМ по гипотенузе и катету (DН = СМ как расстояния между параллельными прямыми, DК = СК – по условию)

. (Дальше как в первом способе).

3 способ

Из равенства ∆DКН и ∆СКМ следует, что НК = КМ.

.

Значит, прямоугольные треугольники АDН и ВСМ равны по двум катетам

(DН = СМ как расстояния между параллельными прямыми, АН = МВ по доказанному). Из равенства треугольников следует, что АD= СВ трапеция АВСD – равнобедренная.

Задача на 4 балла

В равнобедренном треугольнике АВС стороны АВ = ВС = 10, соsАВС = . Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник.

Решение.

По теореме косинусов

1 способ

Радиус окружности, вписанной в треугольник, можно найти с помощью формулы . Площадь данного треугольника можно найти следующими способами:

1. ; 2. ; 3. .

р = . . Значит, .

2 способ.

Мы знаем, что центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения его биссектрис. Проведем биссектрису ВН. Т. к. в равнобедренном треугольнике высота, медиана и биссектриса, проведенные к основанию, совпадают, то биссектриса ВН будет и медианой, и высотой.

.

Из ∆АВН по теореме Пифагора .

Проведем радиус ОD в точку касания. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания. Прямоугольные треугольники АВН и ОВD подобны по двум углам (угол АВН – общий, углы Н и D равны как прямые). В подобных треугольниках сходственные стороны пропорциональны.

Пусть ОН= х, тогда ВО = 8 – х.

х = 3. Значит, радиус ВО = 3.

3 способ

Начало такое же, как во 2-м способе. Только рассмотрим не подобные треугольники, а прямоугольный треугольник ОВD.

Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны. Значит, АD = АН = 6. ВD = 10 – 6 = 4.

Пусть ОН = ОD = х, тогда ВО = 8 – х. По теореме Пифагора имеем уравнение:

Значит, радиус ВО = 3.

4 способ

Проведем ВН (не будем проводить ОD, но точку касания D обозначим).

Из второго способа .

Из ∆АВН по теореме Пифагора .

Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны. Значит, АD = АН = 6. ВD = 10 – 6 = 4.

По теореме о касательной и секущей ВD2 = ВМ ВН

16 = ВМ ∙ 8

ВМ = 2

МН = 2r = 8 – 2 = 6 r = 3.

Значит, радиус ВО = 3.

5 способ

Проведем ВН и АО. Т.к. центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения биссектрис, то АО – биссектриса угла А, а значит, и биссектриса треугольника АВН. Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

. Пусть ОН = х, тогда ВО = 8 – х. 16х = 48 х = 3.

Значит, радиус ВО = 3.

6 способ

Из ∆АВН: ВD = 4.

Из ∆ОВD: ОD = 3.

Значит, радиус ВО = 3.

Ответ: 3.

Домашнее задание.

Задача на 2 балла

Найдите углы вписанного в окружность четырехугольника, если три угла (в последовательном порядке) относятся как 3 : 7 : 5. В ответе укажите больший из них в градусах.

Задача на 4 балла

В равнобедренную трапецию с верхним основанием, равным 2, вписана окружность радиуса 2. Найдите нижнее основание трапеции.

Пожелания и советы учащимся

Помни и понимай, что подготовка к ОГЭ – это тяжелый труд, где

результат будет прямо пропорционален времени, потраченному на

активную подготовку к экзамену.

Выполняй как можно больше различных тестов по предмету.

Тренируйся с секундомером в руках, засекай время выполнения тестов.

Готовясь к экзаменам, мысленно рисуй себе картину успеха.

Рефлексия

Подведение итогов

Выставление оценок

Литература

1. Геометрия. 7 – 9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений / Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов и др. − М. : Просвещение, 2009.

2. Математика. 9 класс. Подготовка к ОГЭ – 2015. Учебно-тренировочные тесты по новой демоверсии / Под ред. Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова – Ростов-на-Дону: Легион, 2015.

Задачи геометрического слова

Разнообразные геометрические задачи со словами вместе с пошаговыми решениями помогут вам попрактиковаться в геометрии. Проблема со словом # 1 :

Размер одного дополнительного угла в два раза превышает размер второго. Какова мера каждого угла?

Пусть x будет мерой первого угла. Тогда второй угол равен 2x.

Поскольку углы являются дополнительными, они составляют 180 °

x + 2x = 180 °

3x = 180 °

Поскольку 3 × 60 = 180, x = 60

Размер первого угла равен 60 °

Измерение секунды равно 2x = 2 × 60 = 120 °

Проблема со словами # 2 :

Без нанесения точек, скажем, если точки (2, 4), (2, 0) и (2, -6) коллинеарны.

Если координата x или y одинакова для всех точек, то точки коллинеарны.

При внимательном рассмотрении мы видим, что координата x одинакова для всех точек. Следовательно, точки коллинеарны.

Задача со словами № 3 :

Периметр квадрата равен 8 см. Какой район?

Если периметр равен 8 см, то длина одной стороны будет 2 см, так как 2 см + 2 см + 2 см + 2 см = 8 см.

Площадь = 2 см × 2 см = 4 см 2 .

Проблема со словом # 4 :

Прямоугольный треугольник имеет острые углы, размеры которых находятся в соотношении 1: 3

Найдите размер этих острых углов.

Что нужно знать: сумма углов в треугольнике равна 180 °

Значение соотношения 1: 3

Это означает, что второй острый угол в 3 раза больше, чем первый острый угол.

Пусть x будет первым острым углом, тогда второй острый угол будет 3x.

x + 3x + 90 ° = 180 °

4x + 90 ° = 180 °

4x + 90 ° - 90 ° = 180 ° - 90 °

4x = 90 °

Начиная с 4 × 22.5 = 90 °, x = 22,5 °

Второй угол равен 3x = 3 × 22,5 = 67,5

Размеры двух острых углов: 22,5 и 67,5

Сложные и интересные задачи по геометрии со словами

Проблема со словом # 5 :

Средняя точка сегмента - (3, 6). Если одна конечная точка (4, 7), какова другая конечная точка?

Предположим, что x 1 - это отсутствующая координата x другой конечной точки.

Чтобы получить координату x средней точки, вам необходимо выполнить следующие математические вычисления:


x 1 = 2, поскольку 2 + 4 = 6 и 6, разделенное на 2 = 3

Предположим, y 1 - это отсутствующая координата y другой конечной точки.

Чтобы получить координату y средней точки, вам нужно будет выполнить следующие математические вычисления:


y 1 = 5, так как 5 + 7 = 12 и 12, разделенное на 2 = 6

Другая конечная точка - (2, 5)

Проблема со словами # 6 :

Сумма значений углов n-угольник равен 2340 °. Сколько сторон у этого н-угольника?

Чтобы решить эту проблему, вам необходимо знать следующую формулу:

Сумма углов в n-угольнике = (n - 2) × 180 °

n - количество сторон.Так что просто вставьте числа и решайте.

2340 ° = (n - 2) × 180 °

2340 ° = 180 ° n - 360 °

2340 ° + 360 ° = 180 ° n - 360 ° + 360 °

2700 ° = 180 ° n

Разделите обе стороны 180 °

(2700 ° ÷ 180 °) = (180 ° ÷ 180 °) n

15 = n

У n-угольника 15 сторон

Проблема со словами # 7 :

Если две линии перпендикулярны, каков наклон первой линии, если вторая линия имеет наклон 5.

Когда две линии перпендикулярны, верно следующее уравнение

Пусть m 1 × m 2 = - 1

м 1 - наклон первой линии, а м 2 - наклон второй линии

Таким образом, m 1 × 5 = -1

Разделим обе части этого уравнения на 5

1 × 5 ÷ 5) = (-1 ÷ 5)


Проблема со словами № 8 :

Диаметр пенни равен 0.750 дюймов, а диаметр четверти - 0,955 дюйма.

Вы кладете пенни сверху и точно в середину четверти. Так как монета меньше, она не покроет полностью четверть.

Какая площадь не покрыта? Изменится ли площадь, если монета не по центру?

Мы можем использовать A = πr 2 , поскольку монета имеет форму круга.

Пусть B обозначает площадь не покрытой части.

B = площадь квартала - площадь копейки

r = 0.375 дюймов для пенни и r = 0,4775 для четверти

B = 3,14 × 0,4775 × 0,4775 - 3,14 × 0,375 × 0,375

B = 0,715 - 0,441

B = 0,274 дюйма 2

До длины монеты остается внутри квартала, незакрытая площадь должна оставаться прежней.

Хотите еще задач по геометрии? Проверьте электронную книгу ниже

Электронная книга, представленная выше, покажет вам, как решать многие другие геометрические задачи со словами по мере изучения некоторых важных геометрических формул.

Есть большие проблемы с геометрическими словами?

У вас есть отличная геометрическая задача со словом? Поделитесь этим здесь с решением!

Что говорили другие посетители

Щелкните ниже, чтобы увидеть вклад других посетителей этой страницы ...

Новые уроки математики

Ваша электронная почта в безопасности. Мы будем использовать его только для информирования вас о новых уроках математики.

.

Как решать проблемы в возрасте

Следующие шаги помогут решить проблемы с возрастом.

Шаг 1:

Понимание вопроса важнее любого другого. То есть всегда очень важно понимать информацию, изложенную в вопросе, а не решать.

Шаг 2:

Если это возможно, мы должны разделить данную информацию. Потому что, когда мы разбиваем данную информацию на части, мы можем легко их понять.

Шаг 3:

Как только мы четко поймем данную информацию, решение проблем, связанных с возрастом, не станет сложной задачей.

Шаг 4:

Когда мы пытаемся решить задачи по возрастам, мы должны ввести «x» или «y» или какой-либо другой алфавит для неизвестного значения (= ответ на наш вопрос). Наконец, мы должны получить значение для алфавита, которое было введено для неизвестного значения.

Шаг 5:

Если требуется, мы должны нарисовать картинку для данной информации.Рисование картинки для данной информации даст нам четкое представление о вопросе. Для большинства задач по возрасту изображение не требуется.

Шаг 6:

Используя алфавит, введенный для неизвестного значения, мы должны перевести английское утверждение (информацию), данное в вопросе, как математическое уравнение.

При переводе мы должны переводить следующие английские слова как соответствующие математические символы.

из -------> x (умножение)

am, is, are, was, were, will, будет, будет --------> = (равно)

Step 7:

После того, как мы правильно переведем английское заявление (информацию), данное в вопросе, как математическое уравнение, 90% работы будет завершено.Остальные 10% только получают ответ. Это решение для неизвестного.

Это шаги, которые наиболее часто используются в разделе «Как решать возрастные проблемы».

Мы надеемся, что описанные выше шаги дадут ясный ответ людям, у которых есть вопрос «Как решать проблемы с возрастом?»

Давайте посмотрим, как эти шаги задействованы в решении задачи по возрастам, указанным ниже.

Проблема:

Возраст мужчины в три раза превышает возраст двух его сыновей и пяти лет, следовательно, его возраст будет вдвое больше, чем их возраст.Найти настоящий возраст мужчины.

Решение:

Шаг 1:

Позвольте нам понять данную информацию. В вопросе приведены две информации.

1. Возраст человека в три раза превышает возраст двух его сыновей. (В настоящее время)

2. Через 5 лет его возраст будет вдвое больше, чем их возраст. (Через 5 лет)

Шаг 2:

Цель вопроса:

Настоящий возраст мужчины =?

Шаг 3:

Введите необходимые переменные для информации, указанной в вопросе.

Пусть «х» будет настоящим возрастом мужчины.

Пусть «y» будет суммой настоящих возрастов двух сыновей.

Понятно, что значение «х» предстоит найти. Потому что это цель вопроса.

Шаг 4:

Преобразуйте данную информацию в виде математического уравнения, используя «x» и «y».

Первая информация:

Возраст человека в три раза превышает возраст двух его сыновей.

Перевод:

Возраст человека -----> x

Is -----> =

Трехкратная сумма возрастов двух его сыновей -----> 3y

Уравнение, связанное с первой информацией с использованием «x» и «y»:

x = 3y ------ (1)

Вторая информация:

Через 5 лет его возраст будет вдвое больше, чем их возраст. .

Перевод:

Возраст человека через 5 лет -----> x + 5

Сумма возрастов двух его сыновей через 5 лет равна

-----> y + 5 + 5 = y + 10

(Здесь мы дважды прибавили 5 по причине двух сыновей)

Удвоить сумму возрастов двух сыновей -----> 2 (y + 10)

Было бы - ---> =

Уравнения, относящиеся ко второй информации с использованием «x» и «y»:

x + 5 = 2 (y + 10) ----- (2)

Шаг 5:

Решите уравнения (1) и (2):

Подставьте x = 3y в уравнение.

(2) -----> 3y + 5 = 2 (y + 10)

3y + 5 = 2y + 20

y = 15

Подставим y = 15 в уравнение.

(1) -----> x = 3 ⋅ 15

x = 45

Итак, нынешний возраст мужчины составляет 45 лет.

Помимо вышеперечисленного, если вам нужны еще какие-либо сведения по математике, воспользуйтесь нашим пользовательским поиском Google здесь.

Вы также можете посетить следующие веб-страницы, посвященные различным вопросам математики.

ЗАДАЧИ СО СЛОВАМИ

Задачи со словами HCF и LCM

Задачи со словами на простых уравнениях

Задачи со словами на линейных уравнениях

Задачи со словами на квадратных уравнениях

Проблемы со словами в поездах

Проблемы со словами по площади и периметру

Проблемы со словами по прямому и обратному изменению

Проблемы со словами по цене за единицу

Проблемы со словами по скорости за единицу

задачи по сравнению ставок

Преобразование обычных единиц в текстовые задачи

Преобразование метрических единиц в текстовые задачи

Word задачи по простому проценту

Word задачи по сложным процентам

ngles

Проблемы с дополнительными и дополнительными углами

Проблемы со словами с двойными фактами

Проблемы со словами тригонометрии

Проблемы со словами в процентах

Проблемы со словами

Задачи

Задачи с десятичными словами

Задачи со словами о дробях

Задачи со словами о смешанных фракциях

Одношаговые задачи с уравнениями со словами

Проблемы со словами с линейным неравенством

Задачи

Проблемы со временем и рабочими словами

Задачи со словами на множествах и диаграммах Венна

Проблемы со словами на возрастах

Проблемы со словами из теоремы Пифагора

Процент числового слова проблемы

Проблемы со словами при постоянной скорости

Проблемы со словами при средней скорости

Проблемы со словами при сумме углов треугольника 180 градусов

ДРУГИЕ ТЕМЫ

Сокращения прибыли и убытков

Сокращение в процентах

Сокращение в таблице времен

Сокращение времени, скорости и расстояния

Сокращение соотношения и пропорции

Область и диапазон рациональных функций

Область и диапазон рациональных функций

функции с отверстиями

Графики рациональных функций

Графики рациональных функций с отверстиями

Преобразование повторяющихся десятичных знаков в дроби

Десятичное представление рациональных чисел

с использованием длинного корня видение

L.Метод CM для решения временных и рабочих задач

Преобразование задач со словами в алгебраические выражения

Остаток при делении 2 степени 256 на 17

Остаток при делении степени 17 на 16

Сумма всех трехзначных чисел, делимых на 6

Сумма всех трехзначных чисел, делимых на 7

Сумма всех трехзначных чисел, делимых на 8

Сумма всех трехзначных чисел, образованных с использованием 1, 3 , 4

Сумма всех трех четырехзначных чисел, образованных ненулевыми цифрами

Сумма всех трех четырехзначных чисел, образованных с использованием 0, 1, 2, 3

Сумма всех трех четырехзначных чисел числа, образованные с использованием 1, 2, 5, 6

.Учебная программа по геометрии для старших классов

| Time4Learning

Посмотреть демо наших уроков Переключить меню Зарегистрироваться Войти Поиск Поиск Time4Learning Поиск Time4Learning Войти / Зарегистрироваться Call Time4Learning ВойтиЗарегистрироватьсяКупить сейчас
  • Учебная программа
  • Субъекты
  • Обучение на дому
  • Ресурсы
  • Как это работает
  • Посмотреть демонстрации
  • Учебная программа по классам
  • Preschool curriculum nav icon Дошкольное
  • Elementary curriculum nav icon Элементарный
  • Middle School curriculum nav icon Средняя школа
  • High School curriculum nav icon Старшие классы средней школы
  • Объем и последовательность
  • Language Arts curriculum nav icon Языковые искусства
  • Math curriculum nav icon Математика
  • Science curriculum nav icon Наука
.

Планы уроков математики для четвертого класса

Посмотреть демо наших уроков Переключить меню Зарегистрироваться Войти Поиск Поиск Time4Learning Поиск Time4Learning Войти / Зарегистрироваться Call Time4Learning ВойтиЗарегистрироватьсяКупить сейчас
  • Учебная программа
  • Субъекты
  • Обучение на дому
  • Ресурсы
  • Как это работает
  • Посмотреть демонстрации
  • Учебная программа по классам
  • Preschool curriculum nav icon Дошкольное
  • Elementary curriculum nav icon Элементарный
  • Middle School curriculum nav icon Средняя школа
  • High School curriculum nav icon Старшие классы средней школы
.

Смотрите также