Как научиться строить графики функций


Построение графиков функций

Функции и их графики — одна из самых увлекательных тем в школьной математике. Жаль только, что проходит она... мимо уроков и мимо учеников. На нее вечно не хватает времени в старших классах. А те функции, которые проходят в 7-м классе, - линейная функция и парабола — слишком просты и незамысловаты, чтобы показать все разнообразие интересных задач.

Умение строить графики функций необходимо для решения задач с параметрами на ЕГЭ по математике. Это одна из первых тем курса математического анализа в вузе. Это настолько важная тема, что мы в ЕГЭ-Студии проводим по ней специальные интенсивы для старшеклассников и учителей, в Москве и онлайн. И часто участники говорят: «Жаль, что мы не знали этого раньше».

Но это не все. Именно с понятия функции и начинается настоящая, «взрослая» математика. Ведь сложение и вычитание, умножение и деление, дроби и пропорции — это все-таки арифметика. Преобразования выражений — это алгебра. А математика — наука не только о числах, но и о взаимосвязях величин. Язык функций и графиков понятен и физику, и биологу, и экономисту. И, как сказал Галилео Галилей, «Книга природы написана на языке математики».

Точнее, Галилео Галилей сказал так:«Математика есть алфавит, посредством которого Господь начертал Вселенную».

Темы для повторения:

Понятие функции

Типы элементарных функций

Преобразования графиков функций

Производная функции

1. Построим график функции

Знакомая задача! Такие встречались в вариантах ОГЭ по математике. Там они считались сложными. Но сложного ничего здесь нет.

Упростим формулу функции:

при

График функции — прямая с выколотой точкой

2. Построим график функции

Выделим в формуле функции целую часть:

График функции — гипербола, сдвинутая на 3 вправо по x и на 2 вверх по y и растянутая в 10 раз по сравнению с графиком функции

Выделение целой части — полезный прием, применяемый в решении неравенств, построении графиков и оценке целых величин в задачах на числа и их свойства. Он встретится вам также на первом курсе, когда придется брать интегралы.

3. Построим график функции

Он получается из графика функции растяжением в 2 раза, отражением по вертикали и сдвигом на 1 вверх по вертикали

4. Построим график функции

Главное — правильная последовательность действий. Запишем формулу функции в более удобном виде:

Действуем по порядку:

1) График функции y=sinx сдвинем на влево;

2) сожмем в 2 раза по горизонтали,

3) растянем в 3 раза по вертикали,

4) сдвинем на 1 вверх

Сейчас мы построим несколько графиков дробно-рациональных функций. Чтобы лучше понять, как мы это делаем, читайте статью «Поведение функции в бесконечности. Асимптоты».

5. Построим график функции

Область определения функции:

Нули функции: и

Промежутки знакопостоянства функции определим с помощью метода интервалов.

Прямая x = 0 (ось Y) — вертикальная асимптота функции. Асимптота — прямая, к которой бесконечно близко подходит график функции, но не пересекает ее и не сливается с ней (смотри тему «Поведение функции в бесконечности. Асимптоты»)

Есть ли другие асимптоты у нашей функции? Чтобы выяснить это, посмотрим, как ведет себя функция, когда x стремится к бесконечности.

Раскроем скобки в формуле функции:

Если x стремится к бесконечности, то стремится к нулю. Прямая является наклонной асимптотой к графику функции.

6. Построим график функции

Это дробно-рациональная функция.

Область определения функции

Нули функции: точки — 3, 2, 6.

Промежутки знакопостоянства функции определим с помощью метода интервалов.

Вертикальные асимптоты:

Если x стремится к бесконечности, то у стремится к 1. Значит, — горизонтальная асимптота.

Вот эскиз графика:

Еще один интересный прием — сложение графиков.

7. Построим график функции

Если x стремится к бесконечности, то и график функции будет бесконечно близко подходить к наклонной асимптоте

Если x стремится к нулю, то функция ведет себя как Это мы и видим на графике:

Вот мы и построили график суммы функций. Теперь график произведения!

8. Построим график функции

Область определения этой функции — положительные числа, поскольку только для положительных x определен

Значения функции равны нулю при (когда логарифм равен нулю), а также в точках, где то есть при

При , значение {cos x} равно единице. Значение функции в этих точках будет равно

9. Построим график функции

Функция определена при Она четная, поскольку является произведением двух нечетных функций и График симметричен относительно оси ординат.

Нули функции — в точках, где то есть при

Если x стремится к бесконечности, стремится к нулю. Но что же будет, если x стремится к нулю? Ведь и x, и sin x будут становиться меньше и меньше. Как же будет вести себя частное ?

Оказывается, что если x стремится к нулю, то стремится к единице. В математике это утверждение носит название «Первого замечательного предела».

А как же производная? Да, наконец-то мы до нее добрались. Производная помогает более точно строить графики функций. Находить точки максимума и минимума, а также значения функции в этих точках.

10. Построим график функции

Область определения функции — все действительные числа, поскольку

Функция нечетна. Ее график симметричен относительно начала координат.

При x=0 значение функции равно нулю. При значения функции положительны, при отрицательны.

Если x стремится к бесконечности, то стремится к нулю.

Найдем производную функции
По формуле производной частного,

если или

В точке производная меняет знак с «минуса» на «плюс», — точка минимума функции.

В точке производная меняет знак с «плюса» на «минус», — точка максимума функции.

Найдем значения функции при x=2 и при x=-2.

Графики функций удобно строить по определенному алгоритму, или схеме. Помните, вы изучали ее в школе?

Общая схема построения графика функции: 

1. Область определения функции

2. Область значений функции

3. Четность — нечетность (если есть)

4. Периодичность (если есть)

5. Нули функции (точки, в которых график пересекает оси координат)

6. Промежутки знакопостоянства функции (то есть промежутки, на которых она строго положительна или строго отрицательна).

7. Асимптоты (если есть).

8. Поведение функции в бесконечности

9. Производная функции

10. Промежутки возрастания и убывания. Точки максимума и минимума и значения в этих точках.

Построить график вызовов на Python, включая модули и функции?

Переполнение стека
  1. Около
  2. Товары
  3. Для команд
  1. Переполнение стека Общественные вопросы и ответы
  2. Переполнение стека для команд Где разработчики и технологи делятся частными знаниями с коллегами
  3. Вакансии Программирование и связанные с ним технические возможности карьерного роста
  4. Талант Нанимайте технических специалистов и создавайте свой бренд работодателя
.

Введение в GraphQL | GraphQL

Из этой серии статей вы узнаете о GraphQL, о том, как он работает и как его использовать. Ищете документацию о том, как создать сервис GraphQL? Существуют библиотеки, которые помогут вам реализовать GraphQL на многих разных языках. Для более глубокого изучения практических руководств посетите веб-сайт полного стека How to GraphQL. Мы также стали партнерами edX, чтобы создать бесплатный онлайн-курс Exploring GraphQL: A Query Language for APIs.

GraphQL - это язык запросов для вашего API и среда выполнения на стороне сервера для выполнения запросов с использованием системы типов, которую вы определяете для своих данных. GraphQL не привязан к какой-либо конкретной базе данных или механизму хранения, а вместо этого поддерживается вашим существующим кодом и данными.

Служба GraphQL создается путем определения типов и полей этих типов, а затем предоставления функций для каждого поля каждого типа. Например, служба GraphQL, которая сообщает нам, кто вошел в систему пользователь ( me ), а также имя этого пользователя может выглядеть примерно так:

 type Query { я: Пользователь } type User { я сделал имя: Строка } 

Наряду с функциями для каждого поля каждого типа:

 function Query_me (request) { запрос на возврат.auth.user; } function User_name (user) { return user.getName (); } 

После запуска службы GraphQL (обычно по URL-адресу веб-службы) она может получать запросы GraphQL для проверки и выполнения. Полученный запрос сначала проверяется, чтобы убедиться, что он относится только к определенным типам и полям, а затем запускает предоставленные функции для получения результата.

Например, запрос:

 { меня { название } } 

Может выдать результат JSON:

 { "меня": { "name": "Люк Скайуокер" } } 

Узнайте больше о GraphQL - языке запросов, системе типов, принципах работы службы GraphQL, а также о лучших практиках использования GraphQL в статьях, написанных в этом разделе; они помогают решать общие проблемы.

Читать дальше → Запросы и мутации.

Как рисовать функции на C ++

Переполнение стека
  1. Около
  2. Товары
  3. Для команд
  1. Переполнение стека Общественные вопросы и ответы
  2. Переполнение стека для команд Где разработчики и технологи делятся частными знаниями с коллегами
  3. Вакансии Программирование и связанные с ним технические возможности карьерного роста
  4. Талант Нанимайте технических специалистов и создавайте свой бренд работодателя
.

Структура данных для машинного обучения. Часть 2: Построение сети знаний. | автор: Favio Vázquez

Я не собираюсь приводить здесь полное описание структуры, но приведу пример того, как они работают. Помните, что я делаю это, потому что именно так мы начинаем строить онтологии, связывая данные и граф знаний.

Давайте посмотрим на примере, чтобы увидеть, что это за тройки. Это тесно связано с примером Себастьяна.

Начнем со строки «Джеффри Хинтон».

Здесь у нас есть простая строка, которая представляет первое ребро, о чем я хочу узнать больше.

Теперь, чтобы начать построение графика знаний, система распознает, что эта строка на самом деле означала человека Джеффри Хинтона. И тогда он распознает объекты, связанные с этим человеком.

Затем у нас есть несколько сущностей, связанных с Джеффри, но мы еще не знаем, что это такое.

Между прочим, это Джеффри Хинтон, если вы его не знаете:

https://www.thestar.com/news/world/2015/04/17/how-a-toronto-professors-research-revolutionized-artificial- интеллект.html

И затем система начнет давать имена отношениям:

Теперь мы назвали отношения, в которых мы знаем, какой тип соединения у нас есть для нашей основной сущности.

Эта система может некоторое время находить соединения соединений и, таким образом, создавать огромный граф, представляющий различные отношения для нашей «строки поиска».

Для этого в графе знаний используются тройки. Примерно так:

Чтобы иметь тройку, нам нужны субъект и объект, а также предикат, связывающий их.

Итак, как вы можете видеть, у нас есть объект <Джеффри Хинтон>, связанный с объектом с помощью предиката . Это может показаться простым для нас, людей, но для этого с помощью машин требуется очень обширная структура.

Так формируется граф знаний и как мы связываем данные с помощью онтологий и семантики.

Итак, что нам нужно для создания успешного графа знаний? Партха Саратхи из Cambridge Semantics написала отличный блог об этом.Вы можете прочитать это здесь:

Подводя итог, он говорит, что нам нужны:

  • Люди, которые это видят: Вам нужны люди, обладающие знаниями и технологиями в критически важных для бизнеса областях.
  • Разнообразие данных и, вероятно, их большой объем : Ценность и масштаб внедрения корпоративной сети знаний прямо пропорциональны разнообразию данных, которые она охватывает.
  • Хороший продукт для его создания : Граф знаний должен быть, среди прочего, хорошо управляемым, безопасным, легко подключаемым к вышестоящим и последующим системам, анализируемым в масштабе и, чаще всего, облачным дружелюбный.Таким образом, продукт, используемый для создания современной корпоративной сети знаний, должен быть оптимизирован для автоматизации, поддерживать соединители для широкого спектра систем ввода, предлагать стандартизированный вывод данных для последующих систем, обеспечивать возможность быстрого анализа любого объема данных и обеспечивать управление удобный.

Вы можете прочитать больше здесь:

Google:

Google - это в основном график огромных знаний (с большим количеством дополнений), и они создали, возможно, самую большую структуру данных, которая существует на этом.У Google есть миллиарды фактов, которые включают информацию о миллионах объектов и взаимосвязи между ними. И позвольте нам исследовать их систему, чтобы узнать о ней.

Здесь вы можете узнать больше:

LinkedIn:

Моя любимая социальная сеть LinkedIn имеет огромную базу знаний, построенную на основе «сущностей» LinkedIn, таких как участники, должности, должности, навыки, компании, географические местоположения, школы, и т.д. Эти сущности и отношения между ними образуют онтологию профессионального мира.

Insights помогает руководителям и специалистам по продажам принимать бизнес-решения и повышать вовлеченность участников в LinkedIn:

https://engineering.linkedin.com/blog/2016/10/building-the-linkedin-knowledge-graph

Помните, что LinkedIn (и почти каждая) графа знаний должна масштабироваться по мере регистрации новых участников, размещения новых вакансий, появления новых компаний, навыков и названий в профилях и описаниях должностей и т. д.

Вы можете узнать больше здесь:

Графы знаний для финансовых учреждений:

Концептуальная модель для согласования данных из различных источников и создания управляемых наборов данных для использования в бизнес-сценариях.

В этой статье Марти Лафлин показал пример того, что платформа Anzo может сделать для банка, и там вы можете видеть, что эта технология не только связана с поисковыми системами, но и работает с разрозненными данными.

Там он показывает, как граф знаний может помочь этому типу учреждения:

  • Альтернативные данные для аналитики и машинного обучения
  • Анализ рисков процентных свопов
  • Наблюдение за торговлей
  • Аналитика мошенничества
  • Разработка и выбор функций
  • Перенос данных

и другие.Иди взгляни.

Для создания графа знаний вам нужна семантика и онтологии, чтобы найти полезный способ связывания данных, который однозначно идентифицирует и связывает данные с общепринятыми бизнес-терминами и, таким образом, выстраивает структуру, лежащую в основе фабрики данных.

Когда мы строим граф знаний, нам нужно сформировать тройки для связывания данных с использованием онтологий и семантики. Кроме того, создание графа знаний зависит в основном от трех вещей: людей, которые его видят, разнообразия данных и хорошего продукта для его построения.

Вокруг нас множество примеров графов знаний, о которых мы даже не подозреваем. Большинство успешных компаний в мире внедряют и мигрируют свои системы для создания фабрики данных и, конечно же, всего, что внутри нее.

.

Смотрите также