Как научиться строить графики


Построение графиков функций

Функции и их графики — одна из самых увлекательных тем в школьной математике. Жаль только, что проходит она... мимо уроков и мимо учеников. На нее вечно не хватает времени в старших классах. А те функции, которые проходят в 7-м классе, - линейная функция и парабола — слишком просты и незамысловаты, чтобы показать все разнообразие интересных задач.

Умение строить графики функций необходимо для решения задач с параметрами на ЕГЭ по математике. Это одна из первых тем курса математического анализа в вузе. Это настолько важная тема, что мы в ЕГЭ-Студии проводим по ней специальные интенсивы для старшеклассников и учителей, в Москве и онлайн. И часто участники говорят: «Жаль, что мы не знали этого раньше».

Но это не все. Именно с понятия функции и начинается настоящая, «взрослая» математика. Ведь сложение и вычитание, умножение и деление, дроби и пропорции — это все-таки арифметика. Преобразования выражений — это алгебра. А математика — наука не только о числах, но и о взаимосвязях величин. Язык функций и графиков понятен и физику, и биологу, и экономисту. И, как сказал Галилео Галилей, «Книга природы написана на языке математики».

Точнее, Галилео Галилей сказал так:«Математика есть алфавит, посредством которого Господь начертал Вселенную».

Темы для повторения:

Понятие функции

Типы элементарных функций

Преобразования графиков функций

Производная функции

1. Построим график функции

Знакомая задача! Такие встречались в вариантах ОГЭ по математике. Там они считались сложными. Но сложного ничего здесь нет.

Упростим формулу функции:

при

График функции — прямая с выколотой точкой

2. Построим график функции

Выделим в формуле функции целую часть:

График функции — гипербола, сдвинутая на 3 вправо по x и на 2 вверх по y и растянутая в 10 раз по сравнению с графиком функции

Выделение целой части — полезный прием, применяемый в решении неравенств, построении графиков и оценке целых величин в задачах на числа и их свойства. Он встретится вам также на первом курсе, когда придется брать интегралы.

3. Построим график функции

Он получается из графика функции растяжением в 2 раза, отражением по вертикали и сдвигом на 1 вверх по вертикали

4. Построим график функции

Главное — правильная последовательность действий. Запишем формулу функции в более удобном виде:

Действуем по порядку:

1) График функции y=sinx сдвинем на влево;

2) сожмем в 2 раза по горизонтали,

3) растянем в 3 раза по вертикали,

4) сдвинем на 1 вверх

Сейчас мы построим несколько графиков дробно-рациональных функций. Чтобы лучше понять, как мы это делаем, читайте статью «Поведение функции в бесконечности. Асимптоты».

5. Построим график функции

Область определения функции:

Нули функции: и

Промежутки знакопостоянства функции определим с помощью метода интервалов.

Прямая x = 0 (ось Y) — вертикальная асимптота функции. Асимптота — прямая, к которой бесконечно близко подходит график функции, но не пересекает ее и не сливается с ней (смотри тему «Поведение функции в бесконечности. Асимптоты»)

Есть ли другие асимптоты у нашей функции? Чтобы выяснить это, посмотрим, как ведет себя функция, когда x стремится к бесконечности.

Раскроем скобки в формуле функции:

Если x стремится к бесконечности, то стремится к нулю. Прямая является наклонной асимптотой к графику функции.

6. Построим график функции

Это дробно-рациональная функция.

Область определения функции

Нули функции: точки — 3, 2, 6.

Промежутки знакопостоянства функции определим с помощью метода интервалов.

Вертикальные асимптоты:

Если x стремится к бесконечности, то у стремится к 1. Значит, — горизонтальная асимптота.

Вот эскиз графика:

Еще один интересный прием — сложение графиков.

7. Построим график функции

Если x стремится к бесконечности, то и график функции будет бесконечно близко подходить к наклонной асимптоте

Если x стремится к нулю, то функция ведет себя как Это мы и видим на графике:

Вот мы и построили график суммы функций. Теперь график произведения!

8. Построим график функции

Область определения этой функции — положительные числа, поскольку только для положительных x определен

Значения функции равны нулю при (когда логарифм равен нулю), а также в точках, где то есть при

При , значение {cos x} равно единице. Значение функции в этих точках будет равно

9. Построим график функции

Функция определена при Она четная, поскольку является произведением двух нечетных функций и График симметричен относительно оси ординат.

Нули функции — в точках, где то есть при

Если x стремится к бесконечности, стремится к нулю. Но что же будет, если x стремится к нулю? Ведь и x, и sin x будут становиться меньше и меньше. Как же будет вести себя частное ?

Оказывается, что если x стремится к нулю, то стремится к единице. В математике это утверждение носит название «Первого замечательного предела».

А как же производная? Да, наконец-то мы до нее добрались. Производная помогает более точно строить графики функций. Находить точки максимума и минимума, а также значения функции в этих точках.

10. Построим график функции

Область определения функции — все действительные числа, поскольку

Функция нечетна. Ее график симметричен относительно начала координат.

При x=0 значение функции равно нулю. При значения функции положительны, при отрицательны.

Если x стремится к бесконечности, то стремится к нулю.

Найдем производную функции
По формуле производной частного,

если или

В точке производная меняет знак с «минуса» на «плюс», — точка минимума функции.

В точке производная меняет знак с «плюса» на «минус», — точка максимума функции.

Найдем значения функции при x=2 и при x=-2.

Графики функций удобно строить по определенному алгоритму, или схеме. Помните, вы изучали ее в школе?

Общая схема построения графика функции: 

1. Область определения функции

2. Область значений функции

3. Четность — нечетность (если есть)

4. Периодичность (если есть)

5. Нули функции (точки, в которых график пересекает оси координат)

6. Промежутки знакопостоянства функции (то есть промежутки, на которых она строго положительна или строго отрицательна).

7. Асимптоты (если есть).

8. Поведение функции в бесконечности

9. Производная функции

10. Промежутки возрастания и убывания. Точки максимума и минимума и значения в этих точках.

Как проводить глубокое изучение графиков с помощью сверточных сетей графов | Тобиас Сковгаард Джепсен

Формально сверточная сеть с графами (GCN) - это нейронная сеть, которая работает с графами. Учитывая граф G = (V, E) , GCN принимает в качестве входных данных

  • входную матрицу признаков N × F⁰ матрицу признаков, X, , где N - количество узлов, а F⁰ - это количество входных характеристик для каждого узла, а
  • - матричное представление N × N структуры графа, например, матрица смежности A G.[1]

Скрытый слой в GCN, таким образом, можно записать как Hⁱ = f ( H ⁱ⁻¹, A )) где H ⁰ = X и f - это распространение [1]. Каждый слой Hⁱ соответствует матрице признаков N × F , где каждая строка является представлением признаков узла.На каждом слое эти объекты объединяются, чтобы сформировать объекты следующего слоя с использованием правила распространения f . Таким образом, на каждом последующем уровне объекты становятся все более абстрактными. В этой структуре варианты GCN различаются только выбором правила распространения f [1].

Одно из простейших возможных правил распространения: [1]:

f ( Hⁱ , A ) = σ ( AHⁱWⁱ )

где Wⁱ - матрица весов для слоя i , а σ - нелинейная функция активации, такая как функция ReLU.Весовая матрица имеет размеры F × Fⁱ ¹ ; другими словами, размер второго измерения весовой матрицы определяет количество функций на следующем уровне. Если вы знакомы со сверточными нейронными сетями, эта операция похожа на операцию фильтрации, поскольку эти веса разделяются между узлами в графе.

Упрощения

Давайте рассмотрим правило распространения на самом простом уровне.Пусть

  • i = 1 , s.t. f является функцией входной матрицы признаков,
  • σ является функцией идентичности, а
  • выбирает веса s.t. AH W ⁰ = AXW ⁰ = AX .

Другими словами, f ( X , A ) = AX .Это правило распространения, возможно, слишком простое, но мы добавим недостающие части позже. Кстати, AX теперь эквивалентен входному слою многослойного персептрона.

Пример простого графика

В качестве простого примера мы будем использовать следующий график:

Простой ориентированный граф.

И ниже его представление матрицы смежности numpy .

 A = np.matrix ([
[0, 1, 0, 0],
[0, 0, 1, 1],
[0, 1, 0, 0],
[1, 0, 1, 0]],
dtype = float
)

Далее нам нужны функции! Мы генерируем 2 целочисленных функции для каждого узла на основе его индекса.Это упрощает позднее подтверждение вычислений матрицы вручную.

 In [3]: X = np.matrix ([
[i, -i]
для i в диапазоне (A.shape [0])
], dtype = float)
XOut [3] : matrix ([
[0., 0.],
[1., -1.],
[2., -2.],
[3., -3.]
])

Применение распространения Правило

Хорошо! Теперь у нас есть граф, его матрица смежности A и набор входных функций X . Давайте посмотрим, что произойдет, если мы применим правило распространения:

 In [6]: A * X 
Out [6]: matrix ([
[1., -1.],
[5., -5.],
[1., -1.],
[2., -2.]]

Что случилось? Представление каждого узла (каждой строки) теперь является суммой характеристик его соседей! Другими словами, сверточный слой графа представляет каждый узел как совокупность его окрестности. Предлагаю вам проверить расчет на себе. Обратите внимание, что в этом случае узел n является соседом узла v , если существует ребро от v до n .

Возможно, вы уже заметили проблемы:

  • Агрегированное представление узла не включает его собственные функции! Представление - это совокупность функций соседних узлов, поэтому только узлы, у которых есть цикл, будут включать свои собственные функции в совокупность.[1]
  • Узлы с большими степенями будут иметь большие значения в их представлении функций, а узлы с малыми степенями будут иметь маленькие значения. Это может вызвать исчезновение или взрыв градиентов [1, 2], но также проблематично для алгоритмов стохастического градиентного спуска, которые обычно используются для обучения таких сетей и чувствительны к масштабу (или диапазону значений) каждой из входных характеристик.

Далее я рассмотрю каждую из этих проблем отдельно.

Добавление петель

Чтобы решить первую проблему, можно просто добавить петлю к каждому узлу [1, 2].На практике это делается путем добавления единичной матрицы I к матрице смежности A перед применением правила распространения.

 In [4]: ​​I = np.matrix (np.eye (A.shape [0])) 
IOut [4]: ​​matrix ([
[1., 0., 0., 0.],
[0., 1., 0., 0.],
[0., 0., 1., 0.],
[0., 0., 0., 1.]
]) В [8] : A_hat = A + I
A_hat * X
Out [8]: matrix ([
[1., -1.],
[6., -6.],
[3., -3.],
[5., -5.]])

Поскольку узел теперь является соседом самого себя, собственные характеристики узла включены при суммировании характеристик его соседей!

Нормализация представлений признаков

Представления признаков могут быть нормализованы по степени узла путем преобразования матрицы смежности A, путем умножения ее на матрицу обратной степени D [1].Таким образом, наше упрощенное правило распространения выглядит так [1]:

f ( X , A ) = D ⁻¹ AX

Посмотрим, что будет. Сначала вычисляем матрицу степеней.

 In [9]: D = np.array (np.sum (A, axis = 0)) [0] 
D = np.matrix (np.diag (D))
D
Out [9]: матрица ([
[1., 0., 0., 0.],
[0., 2., 0., 0.],
[0., 0., 2., 0.],
[0., 0., 0., 1.]
])

Прежде чем применять правило, давайте посмотрим, что произойдет с матрицей смежности после ее преобразования.

.

Введение в GraphQL | GraphQL

Из этой серии статей вы узнаете о GraphQL, о том, как он работает и как его использовать. Ищете документацию о том, как создать сервис GraphQL? Существуют библиотеки, которые помогут вам реализовать GraphQL на многих разных языках. Для более глубокого изучения практических руководств посетите веб-сайт полного стека How to GraphQL. Мы также стали партнерами edX, чтобы создать бесплатный онлайн-курс Exploring GraphQL: A Query Language for APIs.

GraphQL - это язык запросов для вашего API и среда выполнения на стороне сервера для выполнения запросов с использованием системы типов, которую вы определяете для своих данных. GraphQL не привязан к какой-либо конкретной базе данных или механизму хранения, а вместо этого поддерживается вашим существующим кодом и данными.

Служба GraphQL создается путем определения типов и полей этих типов, а затем предоставления функций для каждого поля каждого типа. Например, служба GraphQL, которая сообщает нам, кто вошел в систему пользователь ( me ), а также имя этого пользователя может выглядеть примерно так:

 type Query { я: Пользователь } type User { я сделал имя: Строка } 

Наряду с функциями для каждого поля каждого типа:

 function Query_me (request) { запрос на возврат.auth.user; } function User_name (user) { return user.getName (); } 

После запуска службы GraphQL (обычно по URL-адресу веб-службы) она может получать запросы GraphQL для проверки и выполнения. Полученный запрос сначала проверяется, чтобы убедиться, что он относится только к определенным типам и полям, а затем запускает предоставленные функции для получения результата.

Например, запрос:

 { меня { название } } 

Может выдать результат JSON:

 { "меня": { "name": "Люк Скайуокер" } } 

Узнайте больше о GraphQL - языке запросов, системе типов, принципах работы службы GraphQL, а также о лучших практиках использования GraphQL в статьях, написанных в этом разделе; они помогают решать общие проблемы.

Читать дальше → Запросы и мутации.

Как построить этот график на Python?

Переполнение стека
  1. Товары
  2. Клиенты
  3. Случаи использования
  1. Переполнение стека Общественные вопросы и ответы
  2. Команды Частные вопросы и ответы для вашей команды
  3. предприятие Частные вопросы и ответы для вашего предприятия
  4. работы Программирование и связанные с ним возможности технической карьеры
  5. Талант Нанять технических талантов
  6. реклама Обратитесь к разработчикам по всему миру
,

Смотрите также