Как научиться умножать в уме трехзначные числа


Эффективный счёт в уме или разминка для мозга / Хабр

Эта статья навеяна топиком «Как и насколько быстро вы считаете в уме на элементарном уровне?» и призвана распространить приёмы С.А. Рачинского для устного счёта.
Рачинский был замечательным педагогом, преподававшим в сельских школах в XIX веке и показавшим на собственном опыте, что развить навык быстрого устного счёта можно. Для его учеников не было особой проблемой посчитать подобный пример в уме:

Используем круглые числа

Один из самых распространённых приёмов устного счёта заключается в том, что любое число можно представить в виде суммы или разности чисел, одно или несколько из которых «круглое»:

Т.к. на 10, 100, 1000 и др. круглые числа умножать быстрее, в уме нужно сводить всё к таким простым операциям, как 18 x 100 или 36 x 10. Соответственно, и складывать легче, «отщепляя» круглое число, а затем добавляя «хвостик»: 1800 + 200 + 190.
Еще пример:

31 x 29 = (30 + 1) x (30 - 1) = 30 x 30 - 1 x 1 = 900 - 1 = 899. 

Упростим умножение делением

При устном счёте бывает удобнее оперировать делимым и делителем нежели целым числом (например, 5 представлять в виде 10:2, а 50 в виде 100:2):
68 x 50 = (68 x 100) : 2 = 6800 : 2 = 3400; 3400 : 50 = (3400 x 2) : 100 = 6800 : 100 = 68. 

Аналогично выполняется умножение или деление на 25, ведь 25 = 100:4. Например,
600 : 25 = (600 : 100) x 4 = 6 x 4 = 24; 24 x 25 = (24 x 100) : 4 = 2400 : 4 = 600. 

Теперь не кажется невозможным умножить в уме 625 на 53:
625 x 53 = 625 x 50 + 625 x 3 = (625 x 100) : 2 + 600 x 3 + 25 x 3 = (625 x 100) : 2 + 1800 + (20 + 5) x 3 = = (60000 + 2500) : 2 + 1800 + 60 + 15 = 30000 + 1250 + 1800 + 50 + 25 = 33000 + 50 + 50 + 25 = 33125. 

Возведение в квадрат двузначного числа

Оказывается, чтобы просто возвести любое двузначное число в квадрат, достаточно запомнить квадраты всех чисел от 1 до 25. Благо, квадраты до 10 мы уже знаем из таблицы умножения. Остальные квадраты можно посмотреть в нижеприведённой таблице:

Приём Рачинского заключается в следующем. Для того чтобы найти квадрат любого двузначного числа, надо разность между этим числом и 25 умножить на 100 и к получившемуся произведению прибавить квадрат дополнения данного числа до 50 или квадрат избытка его над 50-ю. Например,

37^2 = 12 x 100 + 13^2 = 1200 + 169 = 1369; 84^2 = 59 x 100 + 34^2 = 5900 + 9 x 100 + 16^2 = 6800 + 256 = 7056; 

В общем случае (M — двузначное число):

Попробуем применить данный трюк при возведении в квадрат трёхзначного числа, разбив его предварительно на более мелкие слагаемые:

195^2 = (100 + 95)^2 = 10000 + 2 x 100 x 95 + 95^2 = 10000 + 9500 x 2 + 70 x 100 + 45^2 = 10000 + (90+5) x 2 x 100 + + 7000 + 20 x 100 + 5^2 = 17000 + 19000 + 2000 + 25 = 38025. 

Хм, я бы не сказала, что это сильно легче, чем возведение в столбик, но, возможно, со временем можно приноровиться.
И начинать тренировки, конечно, следует с возведения в квадрат двузначных чисел, а там уже и до дизассемблирования в уме можно дойти.
Умножение двузначных чисел

Этот интересный приём был придуман 12-летним учеником Рачинского и является одним из вариантов добавления до круглого числа.
Пусть даны два двузначных числа, у которых сумма единиц равна 10:
M = 10m + n, K = 10a + 10 - n. 

Составив их произведение, получим:

Например, вычислим 77 x 13. Сумма единиц этих чисел равна 10, т.к. 7 + 3 = 10. Сначала ставим меньшее число перед большим: 77 x 13 = 13 x 77.
Чтобы получить круглые числа, мы забираем три единицы от 13 и добавляем их к 77. Теперь перемножим новые числа 80 x 10, а к полученному результату прибавим произведение отобранных 3 единиц на разность старого числа 77 и нового числа 10:

13 x 77 = 10 x 80 + 3 x (77 - 10) = 800 + 3 x 67 = 800 + 3 x (60 + 7) = 800 + 3 x 60 + 3 x 7 = 800 + 180 + 21 = 800 + 201 = 1001. 

У этого приёма есть частный случай: всё значительно упрощается, когда у двух сомножителей одинаковое число десятков. В этом случае число десятков умножается на следующее за ним число и к полученному результату приписывается произведение единиц этих чисел. Посмотрим, как элегантен этот приём на примере.
48 x 42. Число десятков 4, последующее число: 5; 4 x 5 = 20. Произведение единиц: 8 x 2 = 16. Значит,
48 x 42 = 2016. 

99 x 91. Число десятков: 9, последующее число: 10; 9 x 10 = 90. Произведение единиц: 9 x 1 = 09. Значит,
99 x 91 = 9009. 

Ага, то есть, чтобы перемножить 95 x 95, достаточно посчитать 9 x 10 = 90 и 5 x 5 = 25 и ответ готов:
95 x 95 = 9025. 

Тогда предыдущий пример можно вычислить немного проще:
195^2 = (100 + 95)^2 = 10000 + 2 x 100 x 95 + 95^2 = 10000 + 9500 x 2 + 9025 = 10000 + (90+5) x 2 x 100 + 9000 + 25 = = 10000 + 19000 + 1000 + 8000 + 25 = 38025. 

Вместо заключения

Казалось бы, зачем уметь считать в уме в 21 веке, когда можно просто подать голосовую команду смартфону? Но если задуматься, что будет с человечеством, если оно будет взваливать на машины не только физическую работу, но и любую умственную? Не деградирует ли оно? Даже если не рассматривать устный счёт как самоцель, для закалки ума он вполне подходит.

Использованная литература:
«1001 задача для умственного счёта в школе С.А. Рачинского».

Как умножать числа # 3

Мы уже видели, как умножать на однозначные числа, используя этот простой метод, а также этот более быстрый способ с использованием перегруппировки. Мы можем комбинировать эти два метода умножения для умножения на 2-значные числа, как показано в примере ниже:

Умножение на 2-значные числа

Общая ошибка при умножении

При использовании вышеуказанного метода для умножения чисел на два или больше цифр, важно, чтобы учащиеся понимали, где и почему они должны складывать нули.В приведенном ниже примере показана довольно распространенная ошибка, которую могут допустить студенты, не полностью понимающие процесс.

Как и в случае с большинством вычислений, оценка, чтобы проверить, является ли вычисленный ответ разумным, является хорошим способом отловить ошибки, подобные приведенным выше.

Рабочие листы

Попробуйте приведенные ниже рабочие листы, чтобы попрактиковаться в умножении на 2-значные числа.

Здесь вы найдете больше распечатываемых листов умножения.

.

Умножение десятичных знаков на целые числа

Это полный урок с инструкциями и различными упражнениями о том, как умножить целое число на десятичное (пятый класс). Урок содержит множество упражнений, в том числе упражнения по шаблонам, кросс-числа, загадки и задачи со словами.

В видео ниже я объясняю, как умножать десятичные дроби на целые числа: думайте о десятичных дробях как о многих десятых, сотых или тысячных долях и просто умножайте так, как если бы десятичной точки не было.Урок продолжается под видео.



Умножение десятичной дроби на целое номер можно решить повторным сложением!

4 × 0,2 = 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2 = 0,8

Поскольку мы неоднократно добавляли число с десятыми , ответ также имеет десятых .

5 × 0.15 = 0,15 + 0,15 + 0,15 + 0,15 + 0,15 = 0,75

Поскольку мы неоднократно добавляли число с сотыми , ответ также имеет сотые .

3 × 0,006 = 0,006 + 0,006 + 0,006 = 0,018

Поскольку мы неоднократно добавляли число с тысячными , ответ также имеет тысячные .

1. Запишите каждое умножение как повторное сложение и решаем.

а. 2 × 0,8 = г. 3 × 1,5 =
с. 4 × 0,03 = г. 2 × 0,007 =

С помощью умножение: Решить 6 × 0.05, вы можете умножить 6 × 5 = 30 в уме. Вы
умножение 6 умножить на 5 сотых . Очевидно, ответ - 30 сотых . (Сравните это с
«6 умножить на 5 яблок = 30 яблоки ».)

Итак, чтобы быть сотыми , ваш ответ должен иметь две десятичные цифры : это 0,30.

Точно так же 7 × 0,008 будет тысячных , поэтому ему нужно три десятичные цифры.Итак, сначала умножаем без десятичной точки: 7 × 8 = 56, а затем представьте, что ответ должен быть 0,056.

2. Введите десятичную точку в ответ.

а. 10 × 0,4 = 40

б. 100 × 0,4 = 400

с. 1000 × 0,4 = 400

г. 7 × 0,05 = 35

ч. 8 × 0.05 = 40

i. 10 × 0,05 = 50

г. 4 × 0,004 = 16

н. 5 × 0,008 = 40

о. 3 × 0,012 = 36

г. 8 × 0,4 = 32

e. 80 × 0,4 = 320

ф. 800 × 0,4 = 3200

Дж. 10 × 0,09 = 90

к. 100 × 0,09 = 900

л. 1000 × 0,09 = 9000

стр. 10 × 0,003 = 30

кв. 100 × 0,003 = 300

р. 1000 × 0,003 = 3000

3. Продолжаем выкройки!

.Математический трюк

- умножение двухзначных чисел

(последнее обновление: 1 июня 2018 г.)


Большинство людей вынимают калькуляторы каждый раз, когда сталкиваются с математической задачей, но это не обязательно должны быть вы. Существуют различные математические приемы, которые помогут быстрее и эффективнее решать математические задачи. Вот несколько приемов, которые вы можете использовать для умножения двузначных чисел размером до 19 x 19.

Этот математический трюк чрезвычайно быстр и прост. Всего за два шага вы можете умножить двузначные числа от 11 до 19.

Шаг № 1: Умножьте единичные цифры в каждом множителе вместе. Запишите ответ и при необходимости укажите числа.

Шаг № 2: Определите, какая цифра меньше между каждым множителем. Используйте это число и добавьте его к целому числу большего множителя. Если есть какие-либо перенесенные числа, добавьте и их. Запишите эти числа рядом со своим первым числом.

Вуаля! У вас есть решенное уравнение. Давайте посмотрим на это с цифрами.

Уравнение: 14 x 15

Шаг 1: Умножьте 4 на 5, что равно 20.Запишите ноль и несите 2.

Шаг № 2: Найдите меньшую цифру в множителе, равном 4, и прибавьте ее к большему множителю - 15. Добавьте 2, которые вы взяли из первого шага. Это означает, что ваше уравнение: 4 + 15 + 2 = 21. Добавьте 21 рядом с нулем.

Ваш окончательный ответ: 210.

Этот математический трюк по-прежнему быстр, но требует нескольких дополнительных шагов. Ключ к этому методу состоит в том, чтобы составить уравнение таким образом, чтобы все факторы располагались друг над другом.

Шаг № 1: Умножьте единичные цифры и запишите свой ответ. При необходимости возьмите с собой любые продукты.

Шаг № 2: Перемножьте крестиком и сложите числа. Если вам приходилось носить с собой номер из первого шага, обязательно включите его в свое дополнение. При необходимости перенесите любые продукты снова.

Шаг № 3: Умножьте только цифры десятков. Если вы взяли товар из шага № 2, добавьте это к своему ответу.

Шаг № 4: Объедините все свои ответы.

Давайте сейчас проверим.

Уравнение: 14 x 15

Шаг № 1: Умножьте 4 на 5, что равно 20. Запишите ноль и перенесите 2.

Шаг № 2: Умножьте 5 на 1 и 4 на 1. Вам нужно будет прибавить 2 к вашему ответу из уравнения 5 × 1. Это из-за 2, которую вы перенесли с шага №1. Ваше уравнение должно выглядеть так: 7 + 4 = 11. Напишите 1 и перенесите 1.

Шаг № 3: Умножьте 1 на 1, что равно 1.Затем вы добавите 1 из шага №2. Это означает, что ваш ответ - 2. Запишите его.

Шаг № 4: Объедините свои ответы.

Ваш окончательный ответ: 210

Вот та же задача, записанная по-другому:

Если один из ваших факторов - 11, используйте этот трюк, чтобы ускорить процесс. Это займет всего несколько простых шагов, и вы получите ответ в кратчайшие сроки.

Шаг 1: Найдите множитель, НЕ равный 11.Разделите каждое число пробелом между ними.

Шаг № 2: Используя тот же множитель, сложите десятки и единицы вместе. Поместите продукт в пустое пространство между двумя цифрами на шаге №1.

И это ваш ответ. Давай попробуем с числами. Это может иметь немного больше смысла.

Уравнение: 14 x 11

Шаг № 1: Определите, какой коэффициент не равен 11. В этом уравнении это 14. Разделите цифры, чтобы ваш ответ выглядел так: 1_4.

Шаг # 2: Сложите цифры множителя из шага 1 вместе. Это означает, что 1 + 4 = 5. Поместите 5 в пустое место в своем ответе.

Ваш окончательный ответ: 154

На шаге № 2, если вы сложите свои числа и их больше 10, вам нужно будет нести продукт и добавить его к своей первой цифре. Давайте посмотрим на пример.

Уравнение: 19 x 11

Шаг 1: Найдите множитель, НЕ равный 11.В данном случае это 19. Разделите числа пробелом между ними. Ваш ответ должен выглядеть так: 1_9

Шаг № 2: Сложите цифры множителя. Это означает, что сложите 1 и 9. Это даст вам 10. Запишите ноль в пустое место. Вам нужно перенести 1 и прибавить ее к разряду сотен.

Ваш окончательный ответ: 209

Немного потренировавшись, вы, возможно, научитесь умножать двузначные числа в уме.

Проверьте свои навыки, сыграв несколько математических викторин на Sporcle.

Комментарии

комментария

.

Смотрите также