Как научиться упрощать выражения


Преобразование выражений. Подробная теория.

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Привет!

Часто мы слышим эту неприятную фразу: «упростите выражение». Обычно при этом перед нами какое-то страшилище типа этого:

 

«Да куда уж проще» – говорим мы, но такой ответ обычно не прокатывает.

Сейчас я научу тебя не бояться никаких подобных задач.

Более того, в конце занятия ты сам упростишь этот пример до (всего лишь!) обычного числа   (да-да, к черту эти буквы).

Но прежде чем приступить к этому занятию, тебе необходимо уметь обращаться с дробями и раскладывать многочлены на множители.

Поэтому, если ты этого не сделал раньше, обязательно освой темы «Дроби, рациональные числа» и «Разложение на множители».

Прочитал? Если да, то теперь ты готов.

Let's go! (Поехали!)

СОДЕРЖАНИЕ СТАТЬИ


 

Базовые операции упрощения выражений

Сейчас разберем основные приемы, которые используются при упрощении выражений.

Самый простой из них – это

 

1. Приведение подобных

Что такое подобные? Ты проходил это в 7 классе, как только впервые в математике появились буквы вместо чисел.

Подобные – это слагаемые (одночлены) с одинаковой буквенной частью.

Например, в сумме   подобные слагаемые – это   и  .

Вспомнил?

Привести подобные – значит сложить несколько подобных слагаемых друг с другом и получить одно слагаемое.

А как же нам сложить друг с другом буквы? – спросишь ты.

Это очень легко понять, если представить, что буквы – это какие-то предметы.

Например, буква   – это стул. Тогда чему равно выражение  ?

Два стула плюс три стула, сколько будет? Правильно,   стульев:  .

А теперь попробуй такое выражение:  .

Чтобы не запутаться, пусть разные буквы обозначают разны предметы.

Например,   – это (как обычно) стул, а   – это стол.

Тогда:

 стула стола стул столов стульев стульев столов 

Числа, на которые умножаются буквы в таких слагаемых называются коэффициентами.

Например, в одночлене   коэффициент равен  .

А в   он равен  .

Итак, правило приведения подобных: 

Чтобы сложить (привести) подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и приписать буквенную часть.

Примеры:

Приведите подобные:

1.  

2.  

3.  

Ответы:

1.  .

2.   (  и   подобны, так как  , следовательно у этих слагаемых одинаковая буквенная часть).

3.  .

 

2. Разложение на множители

Это обычно самая важная часть в упрощении выражений.

После того как ты привел подобные, чаще всего полученное выражение нужно разложить на множители, то есть представить в виде произведения.

Особенно это важно в дробях: ведь чтобы можно было сократить дробь, числитель и знаменатель должны быть представлены в виде произведения.

Подробно способы разложения выражений на множители ты проходил в теме «Разложение на множители», поэтому здесь тебе остается только вспомнить выученное.

Для этого реши несколько примеров (нужно разложить на множители)

Примеры:

1.  

2.  

3.  

4.  

Решения:

1.  

2.  

3.  

4.  .

3. Сокращение дроби.

Ну что может быть приятнее, чем зачеркнуть часть числителя и знаменателя и забыть о них навсегда?

В этом вся прелесть сокращения.

Все просто:

 

 

Если числитель и знаменатель содержат одинаковые множители, их можно сократить, то есть убрать из дроби.

Это правило вытекает из основного свойства дроби:

Числитель и знаменатель дроби можно умножать или делить на одно и то же ненулевое число, от чего величина дроби не изменяется.

То есть суть операции сокращения в том, что числитель и знаменатель дроби делим на одно и то же число (или на одно и то же выражение).

Чтобы сократить дробь, нужно:

1) числитель и знаменатель разложить на множители

2) если в числителе и знаменателе есть общие множители, их можно вычеркнуть.

Примеры:

 .

 

 

Принцип, я думаю, понятен?

Хочу обратить внимание на одну типичную ошибку при сокращении.

Хоть эта тема и простая, но очень многие делают все неправильно, не понимая, что сократить – это значит поделить числитель и знаменатель на одно и то же число.

Сокращать можно только множители.

Никаких сокращений, если в числителе или знаменателе сумма.

Например: надо упростить  .

Некоторые делают так:  , что абсолютно неверно.

Еще пример: сократить  .

«Самые умные» сделают так:

 .

Скажи мне, что здесь неверно? Казалось бы:   – это множитель, значит можно сокращать.

Но нет:   – это множитель только одного слагаемого в числителе, но сам числитель в целом на множители не разложен.

Вот другой пример:

 .

  – это выражение разложено на множители, значит, можно сократить, то есть поделить числитель и знаменатель на  , а потом и на  :

  – верно.

Можно и сразу поделить на  :

 .

Чтобы не допускать подобных ошибок, запомни...

Легкий способ как определить, разложено ли выражение на множители

 

Арифметическое действие, которое выполняется последним при подсчете значения выражения, является «главным».

То есть, если ты подставишь вместо букв какие-нибудь (любые) числа, и попытаешься вычислить значение выражения, то если последним действием будет умножение – значит, у нас произведение (выражение разложено на множители).

Если последним действием будет сложение или вычитание, это значит, что выражение не разложено на множители (а значит, сокращать нельзя).

Для закрепления реши самостоятельно несколько примеров:

Примеры:

1.  

2.  

3.  

4.  

Решения:

1. Надеюсь, ты не бросился сразу же сокращать   и  ? Еще не хватало «сократить» единицы типа такого:

 

Первым действием должно быть разложение на множители:

 .

2.  

3.  

4.  .

 

4. Сложение и вычитание дробей. Приведение дробей к общему знаменателю.

Сложение и вычитание обычных дробей – операция хорошо знакомая: ищем общий знаменатель, домножаем каждую дробь на недостающий множитель и складываем/вычитаем числители.

Давай вспомним:

1.  

2.  

3.  

Ответы:

1. Знаменатели   и   – взаимно простые, то есть у них нет общих множителей. Следовательно, НОК этих чисел равен их произведению. Это и будет общий знаменатель:

 

2. Здесь общий знаменатель равен  :

 .

3. Здесь первым делом смешанные дроби превращаем в неправильные, а дальше – по привычной схеме:

 .

Совсем другое дело, если дроби содержат буквы, например:

  или  .

Начнем с простого:

a) Знаменатели не содержат букв

Здесь все то же, что и с обычными числовыми дробями: находим общий знаменатель, домножаем каждую дробь на недостающий множитель и складываем/вычитаем числители:

 

теперь в числителе можно приводить подобные, если есть, и раскладывать на множители:

 .

Попробуй сам:

1.  

2.  

3.  

Ответы:

 

1.  

2.  .

3.  .

 

b) Знаменатели содержат буквы

Давай вспомним принцип нахождения общего знаменателя без букв:

· в первую очередь мы определяем общие множители;

· затем выписываем все общие множители по одному разу;

· и домножаем их на все остальные множители, не общие.

Пример:  .

Чтобы определить общие множители знаменателей, сперва разложим их на простые множители:

 ;

 .

 ;

 .

Подчеркнем общие множители:

Теперь выпишем общие множители по одному разу и допишем к ним все необщие (не подчеркнутые) множители:

  – это и есть общий знаменатель.

Вернемся к буквам. Знаменатели приводятся по точно такой же схеме:

· раскладываем знаменатели на множители;

· определяем общие (одинаковые) множители;

· выписываем все общие множители по одному разу;

· домножаем их на все остальные множители, не общие.

Пример:  .

Итак, по порядку:

1) раскладываем знаменатели на множители:

 

 

2) определяем общие (одинаковые) множители:

 

 

3) выписываем все общие множители по одному разу и домножаем их на все остальные (неподчеркнутые) множители:

 .

Значит, общий знаменатель здесь  . Первую дробь нужно домножить на  , вторую – на  :

 

Кстати, есть одна хитрость:

Если в разных знаменателях есть один и тот же множитель в разной степени, то в общем знаменателе такой множитель будет в максимальной из этих степеней.

Например:  .

Видим в знаменателях одни и те же множители, только все с разными показателями. В общий знаменатель пойдут:

  в степени  

  в степени  

  в степени  

  в степени  .

Получим:

 .

Усложним задание:

 .

Как сделать у дробей одинаковый знаменатель?

Если ты сейчас бросился вычитать в первой дроби из   единицу, то ты очень и очень неправ!

Давай вспомним основное свойство дроби:

Числитель и знаменатель дроби можно умножать или делить на одно и то же ненулевое число, от чего величина дроби не изменяется.

Нигде не сказано, что из числителя и знаменателя дроби можно вычитать (или прибавлять) одно и то же число. Потому что это неверно!

Убедись сам: возьми любую дробь, например,   , и прибавь к числителю и знаменателю какое-нибудь число, например,  . Что поучилось?

 .

Итак, очередное незыблемое правило:

Когда приводишь дроби к общему знаменателю, пользуйся только операцией умножения!

Но на что же надо домножить  , чтобы получить  ?

Вот на   и домножай. А   домножай на  :

 .

Выражения, которые невозможно разложить на множители будем называть «элементарными множителями».

Например,   – это элементарный множитель.   – тоже. А вот   – нет: он раскладывается на множители  .

Это как в физике: элементарная частица – это неделимая частица, то есть она не состоит ни из каких других частиц. Например, молекула – это не элементарная частица, так как она состоит из нескольких атомов. Атом – тоже не элементарная, так как состоит из протонов, нейтронов и электронов. А вот эти протоны, нейтроны и электроны поделить нельзя. Значит, они – элементарные частицы.

Что скажешь насчет выражения

Упрощение выражений - Easy Peasy All-in-One Homeschool

Теперь, когда мы научились переводить словесные выражения в алгебраические, мы расширим наши знания о сочетании чисел и переменных, чтобы упростить эти выражения. Мы узнали, что термин - это любое произведение, частное или степень чисел и переменных. Алгебраические выражения, содержащие один или несколько терминов, называются полиномами.

Примеры

Многочлены с одним членом: 2x, xy, 4x², a³

Полиномы с двумя членами: x + 6, 5a - b, xyz +4

Полиномы с тремя членами: x + y + z, x + y - z

Вы можете упростить многочлены, используя группировку и объединение одинаковых терминов.Если термины имеют точно такие же переменные для одинаковых степеней, вы можете комбинировать их, чтобы упростить выражения.

Посмотрите на следующее выражение:

x = 1x

х + х = 2х

х + х + х = 3х

Числа 1, 2 и 3 являются коэффициентами перед x.

В алгебраическом выражении есть термины, разделенные знаками плюс и минус. В выражении 3x + 6y есть члены 3x и 6y. В таблице ниже приведены некоторые примеры терминов.

Члены выражения можно комбинировать, чтобы упростить это выражение. Помните, что можно комбинировать только похожие термины.

6x и x (можно комбинировать, потому что они похожи на члены)
Сложите или вычтите коэффициенты переменной: 6x + 1x = 7x

3x - 3y - 2 (нельзя объединить ни один из этих терминов, потому что они являются разными переменными)

8x - 3x + 2 (можно комбинировать 8x и 3x - нельзя комбинировать 2 с этими переменными)
Сложить или вычесть коэффициенты переменной: 8x - 3x = 5x
Можно переписать исходное выражение: 5x + 2

* Всегда используйте знак перед термином, чтобы обозначить операцию.

Посмотрите, как похожие термины объединены на диаграмме.

8 + 3x + 2 + 4x + x + 4

Практика

Объедините похожие члены в каждом выражении, чтобы переписать выражение

1. 2x + 5 + 5x - 4 - x

2. 5 + 7x + 4x - 3 + 6

3. x + y + 2x - 3x + 2y + 3y

4. 3x² + 5x - 10 + 6x + 20

Теперь, когда вы знаете, как комбинировать похожие термины для упрощения выражений, мы собираемся ускориться и научимся применять этот навык к более сложным выражениям и добавим свойство распределения, чтобы помочь найти эквивалентное выражение.Вы готовы?

Расследование

Можно ли написать выражение для периметра рисунка ниже? (Объедините похожие термины в выражении). Не могли бы вы в этом помочь? (да)

Чтобы найти периметр прямоугольника, вы просто складываете все стороны вместе. В этом случае у нас есть x + y + x + y, и когда мы объединяем эти члены, мы получаем 2x + 2y. Формула для определения периметра прямоугольника: 2L x 2W.Мы могли бы использовать свойство распределения, чтобы объединить наши длины и ширину.

Попробуем то же самое с треугольником? Помните, просто сложите все стороны вместе, как будто вы собираетесь построить забор вокруг этого треугольника.

Во-первых, нам нужно объединить все стороны вместе. Наше выражение будет выглядеть так:

3x + 9 + x - 4 + 2x + 3.

Теперь мы можем перегруппировать нашу информацию так, чтобы похожие термины были вместе.

(3x + x + 2x) + (9 - 4 + 3)

Наконец, мы упрощаем наши термины.

6x + 8

Периметр этого треугольника равен 6x + 8.

Какие свойства вы использовали, чтобы упростить приведенное выше выражение?

Еще одна фигура, и вы будете готовы перейти к следующему шагу в упрощении выражений! Используйте свойства чисел, чтобы найти периметр рисунка ниже.

В этом прямоугольнике мы можем использовать формулу Периметра прямоугольника для упрощения. (2 х 2 Вт)

Итак, наше выражение будет выглядеть так:

2 (6x + y + 8) + 2 (3x + 2y + 14)

Сначала распределите все термины внутри скобок по числам вне скобок:

2 (6x) + 2 (y) + 2 (8) + 2 (3x) + 2 (2y) + 2 (14)

Затем умножьте 2 на каждый член и перепишите без скобок:

12x + 2y + 16 + 6x + 4y + 28

Теперь используйте коммутативные и ассоциативные свойства, чтобы упорядочить числа для более простых комбинаций:

(12x + 6x) + (2y + 4y) + (16 + 28)

Наконец, упростите каждую группу терминов, чтобы найти периметр этого прямоугольника.

18x + 6лет + 44

Практика

Объедините похожие члены в каждом выражении, чтобы переписать выражение

6. 14лет + 14x + 14 - 6x - 14

7. Найдите периметр прямоугольника с двумя сторонами 4x и двумя сторонами 8y.

8. Найдите периметр треугольника со сторонами: 4x + 8, x - 3, 3x + 4

9. Найдите периметр многоугольника со сторонами: 5x², 2x, 4x², 6x

10. Найдите периметр прямоугольника со сторонами: 5x + 2y - 7 и 2x + 3y + 6

(источник)

,Алгоритм

- Стратегии упрощения математических выражений

Переполнение стека
  1. Около
  2. Товары
  3. Для команд
  1. Переполнение стека Общественные вопросы и ответы
  2. Переполнение стека для команд Где разработчики и технологи делятся частными знаниями с коллегами
  3. работы Программирование и связанные с ним технические возможности карьерного роста
  4. Талант Нанимайте технических специалистов и создавайте свой бренд работодателя
.Алгоритм

- Как упростить выражения Big-O

Переполнение стека
  1. Около
  2. Товары
  3. Для команд
  1. Переполнение стека Общественные вопросы и ответы
  2. Переполнение стека для команд Где разработчики и технологи делятся частными знаниями с коллегами
  3. работы Программирование и связанные с ним технические возможности карьерного роста
  4. Талант Нанимайте технических специалистов и создавайте свой бренд работодателя
  5. реклама Обратитесь к разработчикам и технологам со всего мира
.

python - как упростить выражение для сложной константы с помощью sympy?

Переполнение стека
  1. Около
  2. Товары
  3. Для команд
  1. Переполнение стека Общественные вопросы и ответы
  2. Переполнение стека для команд Где разработчики и технологи делятся частными знаниями с коллегами
  3. работы Программирование и связанные с ним технические возможности карьерного роста
  4. Талант Нанимайте технических специалистов и создавайте свой бренд работодателя
.

Смотрите также