Как научиться вычислять дроби


Как решать дроби. Решение дробей.

В статье покажем, как решать дроби на простых понятных примерах. Разберемся, что такое дробь и рассмотрим решение дробей!

Понятие дроби вводится в курс математики начиная с 6 класса средней школы.

Дроби имеют вид : ±X/Y, где Y - знаменатель, он сообщает на сколько частей разделили целое, а X - числитель, он сообщает, сколько таких частей взяли. Для наглядности возьмем пример с тортом:

В первом случае торт разрезали поровну и взяли одну половину, т.е. 1/2. Во втором случае торт разрезали на 7 частей, из которых взяли 4 части, т.е. 4/7.

Если часть от деления одного числа на другое не является целым числом, ее записывают в виде дроби.

Например, выражение 4:2 = 2 дает целое число, а вот 4:7 нацело не делится, поэтому такое выражение записывается в виде дроби 4/7.

Иными словами дробь — это выражение, которое обозначает деление двух чисел или выражений, и которое записывается с помощью дробной черты.

Если числитель меньше знаменателя - дробь является правильной, если наоборот - неправильной. В состав дроби может входить целое число.

Например, 5 целых 3/4.

Данная запись означает, что для того, чтобы получить целую 6 не хватает одной части от четырех.

Если вы хотите запомнить, как решать дроби за 6 класс, вам надо понять, что решение дробей, в основном, сводится к понимаю нескольких простых вещей.

  • Дробь по сути это выражение доли. То есть числовое выражение того, какую часть составляет данное значение от одного целого. К примеру дробь 3/5 выражает, что, если мы поделили что то целое на 5 частей и количество долей или частей это этого целого - три.
  • Дробь может быть меньше 1, например 1/2(или по сути половина), тогда она правильная. Если дробь больше 1, к примеру 3/2(три половины или один с половиной), то она неправильная и для упрощения решения, нам лучше выделить целую часть 3/2= 1 целая 1/2.
  • Дроби это такие же числа, как 1, 3, 10, и даже 100, только числа это не целые а дробные. С ними можно выполнять все те же операции, что с числами. Считать дроби не сложнее, и далее на конкретных примерах мы это покажем.

Как решать дроби. Примеры.

К дробям применимы самые разные арифметические операции.

Приведение дроби к общему знаменателю

Например, необходимо сравнить дроби 3/4 и 4/5.

Чтобы решить задачу, сначала найдем наименьший общий знаменатель, т.е. наименьшее число, которое делится без остатка на каждый из знаменателей дробей

Наименьший общий знаменатель(4,5) = 20

Затем знаменатель обоих дробей приводится к наименьшему общему знаменателю


Ответ: 15/20

Сложение и вычитание дробей

Если необходимо посчитать сумму двух дробей, их сначала приводят к общему знаменателю, затем складывают числители, при этом знаменатель останется без изменений. Разность дробей считается аналогичным образом, различие лишь в том, что числители вычитаются.

Например, необходимо найти сумму дробей 1/2 и 1/3

Ответ: 5/6

Теперь найдем разность дробей 1/2 и 1/4

Ответ: 1/4

Умножение и деление дробей

Тут решение дробей несложное, здесь все достаточно просто:

  • Умножение - числители и знаменатели дробей перемножаются между собой;
  • Деление - сперва получаем дробь, обратную второй дроби, т.е. меняем местами ее числитель и знаменатель, после чего полученные дроби перемножаем.

Например:

На этом о том, как решать дроби, всё. Если у вас остались какие то вопросы по решению дробей, что то непонятно, то пишите в комментарии и мы обязательно вам ответим.

Для закрепления материала рекомендуем также посмотреть наше видео:

Также рекомендуем к использованию наш онлайн калькулятор дробей! В нем вы можете посмотреть, как строить решение, на собственных примерах.

Если вы учитель , то возможно скачать презентацию для начальной школы (http://school-box.ru/nachalnaya-shkola/prezentazii-po-matematike.html) будет вам кстати.


Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:

Почему так сложно выучить дроби?

Вы здесь: Главная → Статьи → Обучение дробям

Как известно многим учителям и родителям, изучение различных операций дроби может быть трудным для многих детей. Сложно не понятие дроби - это различные операции: сложение, вычитание, умножение, деление, сравнение, упрощение, и т. Д. дробей

И простая причина, по которой обучение этим операциям оказывается трудным для многих студентов, заключается в том, как их обычно учат .Просто посмотрите на количество правил , чтобы узнать о дробях!

1. Сложение дробей - общие знаменатели Сложите числители и используйте общий знаменатель
2. Сложение дробей - разные знаменатели Сначала найдите общий знаменатель, взяв наименьшее общее кратное знаменателей. Затем преобразуйте все слагаемые, чтобы получить общий знаменатель. Затем добавьте, используя правило номер 1.
3. Нахождение эквивалентных дробей Умножьте числитель и знаменатель на одно и то же число.
4. Преобразование смешанного числа в дробное Умножьте целую часть числа на знаменатель и добавьте числитель, чтобы получить числитель. Используйте общий знаменатель, как дробную часть смешанного числа.
5. Преобразование неправильной дроби в смешанное число Разделите числитель на знаменатель, чтобы получить целую часть числа.Остаток будет числителем дробной части. Знаменатель тот же.
6. Упрощающие дроби Найдите (наибольший) общий делитель числителя и знаменателя и разделите их на него.
7. Умножение на дробь Умножьте числители и знаменатели.
8. Фракционное деление Найдите величину, обратную делителю, и умножьте на нее.
9. Сравнение дробей Переведите дроби так, чтобы у них был общий знаменатель. Затем сравните числители.
10. Преобразование дробей в десятичные Разделите в столбик или калькулятор.

Если учащиеся просто попытаются запомнить

.

Калькулятор дробей

Использование калькулятора

Используйте этот калькулятор дробей для сложения, вычитания, умножения и деления дробей. Ответы представляют собой дроби в наименьшем значении или смешанные числа в сокращенном виде.

Введите правильные или неправильные дроби, выберите математический знак и нажмите Рассчитать. Это калькулятор дробей с шагами, указанными в решении.

Если у вас отрицательные дроби, поставьте перед числителем знак минус.Поэтому, если одна из ваших дробей равна -6/7, вставьте -6 в числитель и 7 в знаменатель.

Иногда в математических задачах используется слово «из», например Что такое 1/3 от 3/8? Of означает, что вам нужно умножить, поэтому вам нужно решить 1/3 × 3/8.

Для вычисления смешанных чисел (целых и дробных) используйте Калькулятор смешанных чисел.

Вычисление с дробями с разными знаменателями

Есть 2 случая, когда вам нужно знать, имеют ли ваши дроби разные знаменатели:

  • , если вы складываете дроби
  • , если вы вычитаете дроби

Как сложить или вычесть дроби

  1. Найдите наименьший общий знаменатель
  2. Вы можете использовать ЖК-калькулятор, чтобы найти наименьший общий знаменатель для набора дробей
  3. Для первой дроби найдите число, на которое нужно умножить знаменатель, чтобы получить наименьший общий знаменатель.
  4. Умножьте числитель и знаменатель вашей первой дроби на это число
  5. Повторите шаги 3 и 4 для каждой фракции
  6. Для сложения уравнений сложите числители дробей
  7. Для уравнений вычитания вычтите числители дробей
  8. Преобразование неправильных дробей в смешанные числа
  9. Уменьшить дробь до наименьшего значения

Как умножать дроби

  1. Умножить все числители вместе
  2. Умножить все знаменатели вместе
  3. Уменьшить результат до минимума

Как разделить дроби

  1. Перепишите уравнение, как в «Сохранить, изменить, перевернуть»
  2. Оставить первую дробь
  3. Поменять знак деления на умножение
  4. Переверните вторую дробь, переключив верхнее и нижнее числа
  5. Умножить все числители вместе
  6. Умножить все знаменатели вместе
  7. Уменьшить результат до минимума

Формулы фракций

Есть способ складывать или вычитать дроби, не находя наименьший общий знаменатель (ЖКД).Этот метод предполагает перекрестное умножение дробей. См. Формулы ниже.

Вы можете обнаружить, что эти формулы проще использовать, чем производить математические вычисления, чтобы найти наименьший общий знаменатель.

Формулы для умножения и деления дробей выполняются так же, как описано выше.

Формула сложения дробей:

\ (\ dfrac {a} {b} + \ dfrac {c} {d} = \ dfrac {ad + bc} {bd} \)

Пример шагов:

\ (\ dfrac {2} {6} + \ dfrac {1} {4} = \ dfrac {(2 \ times4) + (6 \ times1)} {6 \ times4} \)

\ (= \ dfrac {14} {24} = \ dfrac {7} {12} \)

Формула вычитания дробей:

\ (\ dfrac {a} {b} - \ dfrac {c} {d} = \ dfrac {ad - bc} {bd} \)

Пример шагов:

\ (\ dfrac {2} {6} - \ dfrac {1} {4} = \ dfrac {(2 \ times4) - (6 \ times1)} {6 \ times4} \)

\ (= \ dfrac {2} {24} = \ dfrac {1} {12} \)

Формула умножения дробей:

\ (\ dfrac {a} {b} \ times \ dfrac {c} {d} = \ dfrac {ac} {bd} \)

Пример шагов:

\ (\ dfrac {2} {6} \ times \ dfrac {1} {4} = \ dfrac {2 \ times1} {6 \ times4} \)

\ (= \ dfrac {2} {24} = \ dfrac {1} {12} \)

Формула деления дробей:

\ (\ dfrac {a} {b} \ div \ dfrac {c} {d} = \ dfrac {ad} {bc} \)

Пример шагов:

\ (\ dfrac {2} {6} \ div \ dfrac {1} {4} = \ dfrac {2 \ times4} {6 \ times1} \)

\ (= \ dfrac {8} {6} = \ dfrac {4} {3} = 1 \ dfrac {1} {3} \)

Связанные калькуляторы

Для выполнения математических операций над смешанными дробями чисел используйте нашу Калькулятор смешанных чисел.Этот калькулятор также может преобразовать неправильные дроби в смешанные числа и показать, что нужно сделать.

Если вы хотите упростить отдельную дробь до наименьших значений, используйте наш Упростите калькулятор дробей.

Для объяснения того, как разложить числа на множители для нахождения наибольшего общего множителя (GCF), см. Калькулятор наибольшего общего коэффициента.

Если вы вручную упрощаете большие дроби, вы можете использовать Длинное деление с калькулятором остатков, чтобы найти целые числа и остатки.

Банкноты

Этот калькулятор выполняет вычисление сокращения быстрее, чем другие калькуляторы, которые вы можете найти. Основная причина в том, что он использует алгоритм Евклида для уменьшения дробей, который можно найти на Математический форум.

.

Сложение, вычитание, деление и умножение дробей

Инструкции по использованию

  • Введите дроби в калькулятор выше.
  • Выберите математическую операцию, которую вы хотите выполнить (сложение, вычитание, умножение, деление), используя серый раскрывающийся список выбора между двумя дробями.
  • Результаты будут обновляться автоматически при изменении любого значения в калькуляторе.
  • Флажок под калькулятором позволяет вам выбирать между уменьшением дроби до эквивалента наименьшего общего знаменателя (если установлен) или отказом от уменьшения (если не отмечен).

Как вычислить дроби вручную

Как складывать дроби

  • Найдите наименьший общий знаменатель, умножив каждый знаменатель на другой.
  • Умножьте каждый числитель на те же числа, на которые были умножены знаменатели.
  • Сложите числители.
  • Сократить результат до максимально упрощенного числа.

Как вычесть дроби

  • Найдите наименьший общий знаменатель, умножив каждый знаменатель на другой.
  • Умножьте каждый числитель на те же числа, на которые были умножены знаменатели.
  • Складываем второй числитель с первого.
  • Сократить результат до максимально упрощенного числа.

Как умножать дроби

  • Умножьте числа сверху вместе.
  • Умножьте числа внизу вместе.
  • Сократить результат до максимально упрощенного числа.

Как разделить дроби

  • Переверните вторую дробь вверх дном, чтобы получить обратное число.
  • Умножьте дроби вместе (как в разделе умножения выше).
  • Сократить результат до максимально упрощенного числа.

Дроби: история, актуальность и популярное использование

- Руководство Автор: Корин Б. Аренас , опубликовано 22 октября 2019 г.

Практически каждый день мы имеем дело с дробями. Подумай об этом. Независимо от того, получаете ли вы четвертинки для разнообразия, покупаете одежду со скидкой 75% или готовите с половиной стакана масла, вы используете дроби.

В этом разделе мы поговорим о происхождении дробей, их важности в способе передачи информации и золотом сечении.

Что такое дроби?

Дроби представляют части целого числа или любое количество равных частей. Он функционирует чтобы описать, как части соотносятся с целым числом.

Для иллюстрации представьте целое число как торт. Если вы разрежете торт на 4 равные части, один кусок будет частью этого торта. В данном случае это 1/4 часть всего торта.

  • 1 представляет один фрагмент или часть целого числа, которое называется числителем .
  • 4 представляет, сколько всего частей в целом числе, которое называется знаменателем .

Краткая история дробей

Слово Происхождение: Термин дробь происходит от латинского слово fractio что означает «сломать». В раннем английском языке это означает «сломанный кусок или фрагмент.«Английское слово« разрушение »также имеет то же происхождение слова.

Понятие дроби существует более 4000 лет. Но у разных цивилизаций есть свой способ стандартизации дробей для универсального использования.

Египтяне

Согласно Математика на протяжении веков : Мягкая история для учителей и других, египтяне были одними из первых, кто придумал форму дроби еще в 1800 году до нашей эры. Их концепция в основном ограничивалась частями, иначе известными как единичные дроби.Дроби единиц используют 1 в качестве числителя.

Египетские математики создали систему с основанием 10. идея, которая похожа на системы счисления, которые мы используем сегодня. Цифра иероглифы представляли их числа, что означает символы, соответствующие определенное значение.

Поскольку числитель всегда равен 1, они должны были указать только знаменатель. Египтяне отметили знаменатель овалом или точкой над значением. Вот несколько примеров из книги «Математика сквозь века» :

Части были выражены как суммы долей единиц.Однако система не позволяла повторять дроби единиц в этой последовательности, что затрудняло выполнение расчетов. Чтобы решить эту проблему, египтяне создали обширные списки таблиц, в которых указаны двойные значения различных частей.

Вавилоняне

Другая цивилизация, которая создала сложную систему для По словам преподавателя математики и автора Лиз Памфри, фракции принадлежали вавилонянам.

Вавилоняне организовали фракции в группы по 60 человек (основание 60).Сегодня мы обычно объединяем числа в группы по 10. Но для вычислений, таких как углы и минуты для времени, мы также используем основание 60. Система сгруппировала дроби по 10 и использовала два символа, один для единицы, а другой для 10.

Ниже приведены символы, представляющие вавилонскую систему счисления от 1 до 20:

.

Однако у них не было символа нуля (который они позже добавили около 311 года до н.э.) или знака, который функционировал как десятичная точка для обозначения дробей целого числа.Это затрудняло интерпретацию чисел.

Например, цифры ниже читаются как 12 и 15.

По словам Памфри, символы также могут читаться как разные значения:

x60 Единицы Шестидесятые Число
12 15
12 15 720 + 15
  • 12 и 15 как отдельные номера
  • 15/12
  • 12 15/60
  • 720 + 15

Как видите, отсутствие индикатора дроби делает его трудно отделить целые числа от дробей.Вероятно, они полагались на контекст, чтобы разобраться в числовых значениях.

Как египетская, так и вавилонская системы были переданы позже людям в Греции, а затем и к средиземноморской цивилизации.

Греки

В Греции практика использования дробных значений в качестве сумм единицы дроби были довольно распространены вплоть до средневековья. Например, Liber Abbaci итальянского математика Фибоначчи - это примечательный текст 13 века. Он широко использовал дроби, описывая различные способы преобразования других дробей в суммы единичных дробей.

Чтобы лучше понять, ниже приведена таблица греческого языка. цифровые символы. Обратите внимание, что они такие же, как буквы в греческом алфавит:

Стоимость Единицы Десятки Сотни
1 α ι ρ
2 β κ σ
3 γ λ τ
4 δ µ υ
5 ε ν φ
6 ϝ ξ χ
7 ζ ο ψ
8 η π ω
9 θ ϙ ϡ

Греческий запись дробей требует от читателя понимания контекста для правильного интерпретация.Чтобы выделить дробь, они помещают диакритический знак знак (‘) после знаменателя дроби.

Например, число β (2) становится ½ при записи с диакритический знак, β ’.

Аналогично, µβ (42) становится 1/42 при записи в µβ ’.

Однако здесь возникает путаница: µβ ’может также означать 40 ½. Вот почему понимание контекста имеет решающее значение при интерпретации греческих дробей.

Римлянам

У римлян дроби выражались только словами, которые усложняли любые вычисления.

Их система была основана на единице веса, называемой «as». При таком подходе 1 as было равно 12 uncia (римский основная единица измерения, основа современной унции). Таким образом, дроби имеют знаменатели со значениями кратными 12.

В таблице ниже указаны римские дроби. с соответствующими условиями:

Дробь Римский термин
11/12 deunx для de uncia, забрал 1/12
10/12 декстаны для декстанов, отнято 1/6
9/12 dodrans for de quadrans, 1/4 отнято
8/12 bes - bi as for duae partes, 2/3
7/12 перегородка для septem unciae
6/12 полуфабрикаты
5/12 quincunx для quinque unciae
4/12 триенс
3/12 квадранты
2/12 секстан
1/12 UNCIA
1/24 semuncia
1/48 сицилийский
1/72 сценарий
1/144 сценарий
1/288 scrupulum
китайский

Китайцы написали Девять Главы по математике , датируемые примерно 100 г. до н. Э.С. Он включает в себя текст о дробях, аналогичный тем, которые мы используем сегодня.

Согласно «Математика на протяжении веков» , он содержал большинство обычных правил вычисления с дробями, например, как складывать, делить и умножать дроби, а также сокращать дробь до наименьшего значения.

Однако их система избегала использования неправильных дробей. Например, вместо неправильной дроби 9/4 они использовали бы ее эквивалентную смешанную дробь

.

Как работать с дробями на TI-84 Plus

  1. Education
  2. Графические калькуляторы
  3. Как работать с дробями на TI-84 Plus

Джефф МакКалла, CC Edwards

Нет ключа дроби на калькуляторе TI-84 Plus, но многие инструменты дроби встроены в этот калькулятор. Для начала, не является ли дробь просто замаскированным делением? Таким образом, нажатие / между двумя числами создает дробь.

Установка режима

Вы предпочитаете дроби или десятичные числа? Вы бы предпочли работать с неправильной дробью или смешанным числом? На эти вопросы нет правильного ответа, но что сделает вас (или вашего учителя) счастливыми? Изменение режима вашего калькулятора заставляет рассчитанные ответы принимать форму, которая вам нравится.Быть осторожен; это важное решение с вашей стороны!

Установка режима влияет не только на вычисления на главном экране, но и на способ отображения списков и последовательностей.

Чтобы изменить форму вычисляемых ответов, нажмите [MODE]. С помощью клавиш со стрелками перейдите к 11-й строке ОТВЕТЫ. Здесь есть три варианта, которые влияют на отображение вычисленных ответов:

  • АВТО: При выборе АВТО ответы отображаются в формате, аналогичном тому, как вводятся выражения.Если выражение содержит десятичную дробь, то следует ожидать, что ответ будет в десятичной форме. Если выражение вводится в дробной форме, следует ожидать, что ответ будет выражен в дробной форме. Смотрите первый экран.

  • DEC: В режиме DEC ответы должны отображаться в виде десятичных знаков. Смотрите второй экран.

  • FRAC - APPROX: Когда это возможно, в режиме FRAC - APPROX ответы отображаются в виде дробей. Смотрите третий экран.

Вам нужно принять еще одно решение о режиме. Какой тип дроби вы предпочитаете: неправильные дроби или смешанные числа? Нажмите [MODE] и измените ФРАКЦИОННЫЙ ТИП на один из этих двух вариантов:

  • n / d: Дроби отображаются в упрощенной форме дробей.

    Числитель дроби должен содержать менее семи цифр, а знаменатель дроби не должен превышать 9999.

  • Un / d: По возможности дроби отображаются в виде смешанного числа.

    Чтобы избежать ошибок и потенциальных проблем, введите U , n и d как целые числа с максимум тремя цифрами.

Преобразование дробей и десятичных знаков

Существует простой способ преобразовать десятичную дробь в дробь независимо от настройки режима. Вы можете получить доступ к функциям Frac и Dec в первых двух опциях в меню Math. Функция Frac отображает ответ в виде дроби.

Введите выражение и нажмите [MATH] [ENTER] [ENTER], чтобы отобразить выражение в виде дроби. Нажмите [MATH] [ENTER] [ENTER], и ваш ответ будет преобразован в дробь. Смотрите первый экран. Если ваш калькулятор не может преобразовать выражение в дробь, он сообщит вам об этом, повторно отобразив десятичную дробь.

Как преобразовать бесконечное повторяющееся десятичное число в дробь? Просто введите не менее десяти цифр повторяющегося десятичного разделителя и нажмите [MATH] [ENTER] [ENTER]. Смотрите второй экран.

Функция Dec преобразует дробную часть в десятичную.Введите дробь и нажмите [MATH] [2] [ENTER]. Конечно, если вы не думаете наперед и ваш ответ в форме дроби, просто нажмите [MATH] [2] [ENTER], чтобы отобразить ваш ответ в виде десятичной дроби. Пример показан на третьем экране.

Доступ к контекстным меню

Знаете ли вы, что на вашем калькуляторе есть четыре скрытых контекстных меню? Это четыре меню: FRAC (меню дроби), FUNC (меню функций), MTRX (меню матрицы) и YVAR (меню переменных Y). Чтобы получить доступ к скрытому меню FRAC, нажмите [ALPHA] [Y =].Смотрите первый экран. Обратите внимание, что после нажатия [АЛЬФА] клавиши в верхней части клавиатуры становятся программными клавишами, которые активируют экранные меню.

В меню MTRX можно получить доступ только к , нажав [ALPHA] [ZOOM] для доступа к контекстному меню MTRX. Однако к остальным контекстным меню также можно получить доступ через стандартные меню. Например, к меню FRAC также можно получить доступ в двух местах в меню MATH. Пресс

(внизу меню NUM), чтобы найти меню FRAC в стандартном меню.Смотрите второй и третий экраны.

Ввод дробей и смешанных чисел

Нажмите [ALPHA] [Y =] для доступа к меню FRAC. Первые две опции в меню FRAC представляют собой простые в использовании шаблоны фракций:

Для преобразования используются следующие два варианта:

  • Преобразует смешанное число в неправильную дробь или неправильную дробь в смешанное число. Смотрите второй экран.

  • Преобразует дробную часть в десятичную или наоборот.Смотрите третий экран.

Ввод комплексных чисел дробями

Шаблон фракции н / д имеет свои ограничения. Комплексные числа не могут использоваться в шаблоне дроби n / d. Чтобы ввести комплексное число, i , нажмите [АЛЬФА] [.]. При вводе комплексного числа в шаблон дроби n / d появляется сообщение об ошибке, как показано на первом экране.

Не волнуйтесь! Вы можете вводить комплексные числа в дроби по старинке, используя круглые скобки и клавишу деления.Ваш калькулятор автоматически упрощает дроби, которые содержат комплексное число в знаменателе. Смотрите второй экран.

Ввод сложных фракций

Сложные дроби - это дроби, которые содержат одну или несколько дробей в числителе или знаменателе. Другими словами, сложные дроби содержат дроби внутри дробей. Нет проблем. Сложные дроби можно легко ввести в калькулятор, используя шаблон дробей n / d несколько раз для одной и той же дроби.

Нажмите [ALPHA] [Y =], чтобы получить доступ к шаблону дроби n / d.

Об авторе книги

Джефф МакКалла - учитель математики в Епископальной школе Святой Марии в Мемфисе, штат Теннесси. Он стал соучредителем группы TI-Nspire SuperUser и получил президентскую награду за выдающиеся достижения в преподавании естественных наук и математики. C.C. Эдвардс - педагог, который провел множество семинаров по использованию калькуляторов TI.

.

Смотрите также